Forelesningsrapporter
15.5. Jeg gjennomgikk det meste av kapittel 12, som diskuterer restriksjoner p? fundamentalgruppen til mangfoldigheter med negativ krumning. Et sentralt hjelperesultat er ogs? viktig i seg selv: Cartans teorem om eksistens av geodeter i frie homotopiklasser av lukkede kurver. Bortsett fra to sm? generaliseringer av Preissmans teorem er vi da ferdige med dette semesterets pensum.
Siste forelesning blir 22.5, da vi foruten ? avslutte kapittel 12 vil gjennomg? oppgaver fra kapittel 9: Prim?rt oppgavene 1,4 og 5, eventuelt ogs? 1 og 6.
27.3. Vi avsluttet kapittel 6, og dermed har vi v?rt gjennom de viktigste delene av den lokale differensialgeometrien. Deretter gikk vi over til kapittel 7, der vi begynte ? diskutere geodetisk kompletthet og det viktige Hopf-Rinows teorem. Det blir ingen forelesning 3. april, og vi fortsetter med beviset for Hopf-Rinow og Hadamards teoremer 10. april. Jeg vil da ogs? gjennomg? oppgavene 1 og 2 fra kapittel 6.
Merk ogs? at de obligatoriske oppgavene blir lagt ut 8. april, med innnlevering 25. april.
20.3. Vi holder n? p? med kapittel 6, Isometric immersions, som handler om relasjoner mellom geometrien p? en mangfoldighet M' og en undermangfoldighet M. Her spiller normalbunten til M i M' en viktig rolle, og den andre fundamentalformen er en 2-tensor p? M med verdier i normalbunten. Som tangentbunten arver ogs? normalbunten en metrikk og konneksjon (og dermed krumning) fra TM', og fundamentalligningene gir relasjoner mellom de tre krumningstensorene og den andre fundamentalformen. N?kkelen til ? forst? disse ligningen er ? studere hvordan konneksjonen p? TM' splitter opp i tangensielle og normale komponenter n?r den anvendes p? henholdsvis vektorfelter og normalfelter p? M. Jeg vil avslutte dette neste gang, og vil da ogs? trenge en mer systematisk diskusjon av hvordan man naturlig induserer konneksjoner fra vektorbunter til bunter som blir konstruert ved tensorprodukt og Hom-funktorer.
De obligatoriske oppgavene vil bli lagt ut i begynnelsen av uke 15, med innlevering i l?pet av uke 17. N?rmere detaljer kommer senere.
6.3. Etter ? ha definert Ricci-krumning og skalarkrumning og vist at disse er veldefinert, gikk vi videre til kapittel 5 og Jacobifelter. Dette er vektorfelter langs geodeter som tilfredsstiller Jacobiligningen og representerer infinitesimale variasjoner av geodeter. Jacobiligningen er en viktig manifestasjon av interaksjonen mellom krumning og geodeter, og vil spille en stor rolle fremover. Vi rakk frem til 'Conjugate points'.
Oppgaver til neste gang: 5.2, 5.6, 5.7.
27.2. I dag begynte vi ? diskutere krumning i kapittel 4. P? en m?te kan vi si at kapittel 3 beskrev hvordan det kvalitative bildet av geodetiske kurver i en liten omegn om et punkt i en vilk?rlig Riemannsk mangfoldighet er det samme som i det Euklidske rom. Krumning skal derimot vise seg ? v?re et m?l p? lokale forskjeller mellom Riemannske mangfoldigheter (opp til lokal isometri). Vi kom s? langt at vi fikk definert krumningstensoren og vist de viktige (a)symmetriegenskapene, og vi definerte snittkrumningen og viste at den bestemmer fullstendig hele krumningstensoren. Men merk at vi ikke har noen formel som uttrykker krumningstensoren ved snittkrumningen i alminnelighet - bare n?r vi har konstant krumning (lemma 3.4).
13.2. Jeg snakket om eksponensialavbildningen og noen resultater om normale omegner og minimaliserende egenskaper for geodetiske kurver, til og med Proposisjon 3.6 i kapittel 3. Merk de viktige tekniske hjelperesultatene 3.4 (symmetri av kovariant derivasjon) og 3.5 (Gauss' lemma), som vi ogs? vil f? bruk for senere.
Neste uke (20.2) begynner jeg med ? gjennomg? oppgave 1 i kapittel 3 (s.77-78).
30.1. Jeg fortsatte med generell teori for affine konneksjoner og de viktige relaterte begrepene kovariant derivasjon og parallell transport. Ingenting av dette krever noen Riemannsk metrikk, og gjelder for enhver affin konneksjon p? tangentbunten. Men hvis mangfoldigheten har en metrikk, ?nsker vi at konneksjonen p? en naturlig m?te skal v?re kompatibel med metrikken. Dette kan uttrykkes b?de ved konneksjonen selv, kovariant derivasjon og parallell transport (Def. 2.3.1, Prop. 2.3.2 og Cor. 2.3.3). Det sentrale teoremet er Teorem 2.3.6, som sier at en Riemannsk mangfoldighet har en entydig bestemt affin konneksjon som er symmetrisk og kompatibel med metrikken (Levi-Civitakonneksjonen). Denne konneksjonen, med tilh?rende kovariant derivasjon og parallelltransport, vil v?re v?rt viktigste verkt?y i dette kurset, s? det er lurt ? l?re seg dette ordentlig med en gang.
Neste gang (6.2) vil vi se p? noen oppgaver fra kapittel 2: Oppgave 1, 2, 3, 7 og 8 (sml. ogs? oppgave 1.4).
23.1. Det fundamentale begrepet og det som bestemmer geometrien p? en Riemannsk mangfoldighet er metrikk, og mesteparten av tiden i dag gikk med til dette. Venstreinvariante metrikker p? Liegrupper ble brukt som eksempler, men diskusjonen av biinvariente metrikker p? side 40-42 hoppet jeg over.
Deretter begynte jeg ? snakke om affine konneksjoner i kapittel 2, diskuterte definisjonen og viste eksistens. En ting som ikke er klart ut fra definisjonen men som f?lger n?r vi uttrykker konneksjonen i lokale koordinater, er at verdien i et punkt p av den deriverte av vektorfeltet Y langs vektorfeltet X bare avhenger av Xp og av Y langs en hvilken som helst kurve gjennom p som har Xp som tangentvektor i p. Denne observasjonen vil bli viktig senere. Neste gang fortsetter vi med covariant derivasjon og Riemannske konneksjoner.
16.1. Jeg gikk kort igjennom de viktigste begrepene fra kapittel 0, med s?rlig vekt p? sammenhengen mellom de to tolkningene av tangentvektorer: som ekvivalensklasser av kurver og som derivasjoner. Neste gang (23.1) starter jeg med de fundamentale definisjonene av metrikker og konneksjoner i kapitlene 1 og 2.