Her kommer en kort rapport fra hver forelesning:
Tirsdag 15/1:
Etter ? ha sagt litt om kurset repeterte jeg f?rst noen begreper fra MAT 1100: partiellderivert, gradient, Jacobi-matrise og deriverbarhet. Deretter begynte jeg p? seksjon 2.7 der jeg f?rst presenterte kjerneregel p? matriseform. Jeg ganget s? ut matrisen og fikk kjerneregelen p? komponentform. Presenterte deretter denne formelen fra en litt annen synsvinkel (heftet side 105-106). Avsluttet med ? regne et eksempal av samme type som eksempel 1 i heftet. Vi fortsetter med litt flere eksempler neste gang.
Onsdag 16/1:
Avsluttet seksjon 2.7 med et par eksempler (ett av samme type som eksempel 2 i heftet og ett av samme type som eksempel 4) og et uformelt argument for kjerneregelen (ikke et fullstendig bevis). Begynte deretter p? seksjon 2.8 der jeg i tillegg til ? g? igjennom setningene 2.8.1-2.8.4 (med bevis), rakk ? presentere eksempel 3.
Tirsdag 22/1:
Jeg avluttet f?rst seksjon 2.8 med ? si noen ord om egenverdier. Deretter gikk jeg over p? seksjon 2.9 der jeg definerte affinavbildninger, viste at de avbilder (parallelle) rette linjer p? (parallelle) rette linjer, og utledet at |det(A)| er arealforst?rrelsesfaktoren til en affinavbildning. Til slutt innf?rte jeg lineariseringen av en vektorvaluert funksjon, formulerte teorem 2.9.6 og illustrerte lineariseringer ved tangentplan.
Onsdag 23/1:
Den f?rste (dr?ye) timen brukte jeg til ? demonstrere de enkleste delene av MATLAB. En kommentert utgave av kj?ringen ligger her . Etter pause snakket jeg om seksjon 3.1. Jeg fikk definert buelengde og (s? vidt) den deriverte til en parametrisert kurve.
Tirsdag 29/1:
Startet med definisjonen av den deriverte og forklarte begrepene hastighet, fart, akselerasjon og baneakselerasjon. Skrev opp setning 3.1.4 og beviste korollar 3.1.5 og setning 3.1.6. Understreket at baneakselerasjon normalt er FORSKJELLIG FRA lengden til akselerasjonsvektoren, og illustrerte dette med ? forklare fenomenet i eksempel 7.
Gikk ganske raskt gjennom seksjon 3.2 med vekt p? den praktiske bruken av formlene. Til slutt begynte jeg p? seksjon 3.3 der jeg rakk ? definere linjeintegral og vise et eksempel p? hvordan de regnes ut.
Onsdag 30/1:
Den f?rste timen brukte jeg til MATLAB. Denne gangen var hovedtemaene lagring og (enkel) programmering. En redigert versjon av kj?ringen finnes her .
Etter pause fortsatte jeg p? linjeintegraler. Jeg avsluttet seksjon 3.3 ved ? forklare at linjeintegraler er uavhengig av parametrisering og at integralet over en komplisert kurve kan deles opp i enklere deler. Jeg illustrerte hvordan man ville gj?re dette for integrasjon rundt et rektangel, men utf?rte ikke regningene (se eksempel 2 i heftet for et tilsvarende argument med utregninger). Deretter begynte jeg p? seksjon 3.4. Brukte litt tid p? ? snakke om kraft og arbeid som en motivasjon for definisjonen. Gikk deretter gjennom definisjon 3.4.1 og regnet et enkelt eksempel (litt enklere enn eksempel 1).
Tirsdag 5/2:
Fortsatte ? snakke om linjeintegraler av vektorfelt. Nevnte f?rst hvordan integralet over en kurve kan deles opp i biter (setning 3.4.3) og skisserte deretter beviset for hvorfor linjeintegralet er uavhengig av veien (setning 3.4.4). Som et eksempel regnet jeg et linjeintegral rundt en halvsirkel. Gikk s? over p? seksjon 3.5 der jeg beviste setning 3.5.1 og definerte konservative vektorfelt. Nevnte at disse feltene er viktige i fysikk og mekanikk. Beviste s? setning 3.5.3 og regnet et eksempel av samme type som Eksempel 4 i seksjon 3.5, men med bare to variable. Til slutt sa jeg noen f? ord om kjeglesnitt og illustrerte hvoedan de frmkommer n?r man snitter over en kjegle.
Jeg har f?tt et par sp?rsm?l som tyder p? at folk har vanskelig for ? forestille seg at et arbeid kan v?re negativt. Det kan det v?re - f.eks. vil et arbeid man utf?rer for ? bremse en bevegelse, v?re negativt (det tapper gjenstanden man bremser for energi).
Onsdag 6/2:
Snakket f?rst om parabler. Definerte dem f?rst geometrisk ved hjelp av brennpunkt og styrelinje, Utledet ligningen for en parabel i "normaposisjon" (y^2=4ax) og s? deretter p? ligninger for parabler i mer geneelle posisjoner. Regnet et eksempel av samme type som eksempel 1 i seksjon 3.6. Formulerte og beviste refleksjonsegenskapen for parabler og sa litt om hva den brukes til.
Gikk s? over til ? snakke om ellipser. Definerte dem geometrisk og viste hvordan man kan komme frem til en ligning for ellipser i "normalposisjon", men gjennomf?rste ikke regningene. Beskrev ogs? ligningene for ellipser i andre posisjoner og regnet et eksempel av samme type som eksempel 2 i heftet. Neste gang snakker jeg litt om refleksjonsegenskapen for ellipser og g?r deretter l?s p? hyperbler.
Tirsdag 12/2:
Beviste f?rst refleksjonsegenskapen for ellipser, og gikk deretter over til ? snakke om hyperbler. Skrev opp den geometriske definisjonen og viste hvordan man utlede formelen x^2/a^2-y^2/b^2=1, men gikk ikke gjennom regningene. Sa ogs? noen ord om assymptoter. Snakket s? litt om hyperbler i andre posisjoner og gikk gjennom et eksempel av samme type som eksempel 3 i heftet. Nevnte refleksjonsegenskapen, men utledet den ikke. Til slutt snakket jeg litt om grafisk fremstilling med vekt p? niv?kurver og konturer.
Onsdag 13/2:
Gikk f?rst gjennom stoffet om normalvektorer og tangentplan og regnet et eksempel. Snakket s? om andre koordinatsyystemer (polar-, sylinder. og kulekoordinater). Gikk deretter gjennom geometrisk fremstilling av vektorfelt med spesiell vekt p? Jacobi-determinanten som arealforst?rrelsesfaktor. Til slutt snakket jeg om parametriserte flater. Brukte en st?ende sylinder som hovedeksempel. Vi er n? ferdig med kapittel 3. P? tirsdag begynner vi p? kapittel 6.
Tirsdag 19/2:
Gikk gjennom seksjon 6.1 og 6.2 med unntak av MATLAB-delen. Gjennomf?rte ikke bevisene, men fors?kte ? forklare ideene bak resultatene.
Onsdag 20/2:
Snakket f?rst om dobbeltintegrasjon i MATLAB (b?de rektangul?re og ikke-rektangul?re omr?der). Sa s? noen ord om Riemannsummer f?r jeg fortsatte med seksjon 6.3. Her forklarte jeg setning 6.3.1 og regnet et enkelt eksempel f?r jeg gikk over til setning 6.3.2. Gjennomgikk eksempel 3 i detalj fordi det er en feil i heftet som forplanter seg gjennom hele eksemplet (den ?vre grensen til r skal v?re 2cos(theta) og ikke 2|sin(theta)|). En rettelse vil bli lagt ut. Til slutt snakket jeg litt fra 6.4 om arealberegninger og massebestemmelser. I dette avsnittet vil jeg ellers konsentrere meg om arealet til flater og flateintegraler.
Tirsdag 26/2:
Viste f?rst hvordan man kommer frem til formelen for arealet til en parametrisert flate (nederst p? side 34). Viste s? hvordan man kan bruke formelen til ? finne arealet til en sylinder, og utledet deretter formelen for arealet til en funksjonsgraf. Gikk raskt gjennom definisjonen av flateintegraler (6.4.1) uten ? regne et eksempel.
Etter pause begynte jeg p? seksjon 6.5 om Greens teorem. Etter ? ha formulert teoremet regnet jeg et eksempel av samme type som eksempel 1, men med en trekant sistedenfor en firkant. Gjennomgikk s? argumentet for at det er "nok" ? bevise Greens teorem for enkle omr?der (dvs. argumentet knyttet til figur 3), og viste til slutt lemma 6.5.3 (men det gikk kanskje i forteste laget!)
I morgen er det ?yvind Ryan som foreleser. Han vil ta med litt mer stoff fra seksjon 6.5, f?r han raskt tar med seg litt terminologi fra 6.6 og g?r videre til 6.7.
Onsdag 27/2:
?yvind Ryan foreleste. Han gjennomgikk f?rst et eksempel p? hvordan man kan regne ut arealet til et omr?de ved hjelp av Greens teorem, og gikk s? fort gjennom de begrepene i seksjon 6.6 som er n?dvendige for 6.7. I denne seksjonene regnet han tre eksempler litt av samme type som eksemplene 1, 2 og 3 i heftet. P? tirsdag fortsetter vi med seksjon 6.7 og 6.8.
Tirsdag 4/3:
Begynte p? seksjon 6.8 der jeg definerte dobbeltintegralet av en positiv funksjon over et ubegrenset omr?de. Snakket om setning 6.8.2 (litt mindre formelt enn i heftet), men gjennomgikk ikke beviset. Gjennomgikk s? eksempel 2 siden det er viktig i sannsynlighetsregning og statistikk. Til slutt nevnte jeg at uegentlige integraler av funksjoner med vekslende fortegn er litt mer skummelt, men overlot dette til selvstudium.
Jeg gikk s? l?s p? seksjon 6.9 der jeg definerte trippelintegraler og formulerte setning 6.9.2. Gikk gjennom setning 6.9.3 og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1. Formulerte s? setning 6.9.5 og regnet et eksempel som ligner sterkt p? eksempel 3. Det er mange eksamensoppgaver av denne typen, s? selv om regningene er lange, gjelder det ? f? med seg dette stoffet. P? tirsdag gjennomg?r jeg seksjon 6.10 og 6.11.
Onsdag 5/3:
Begynte med ? forklare bytte av variabelformelen for trippelintegraler. Regnet s? ut Jacobideterminanten for skifte til sylinderkoordinater, og regnet et eksempel (av samme type som eksempel 2) der jeg skiftet til slike koordinater. Regnet s? ut Jacobideterminanten for skifte til kulekoordinater, og regnet et eksempel ned bytte til slike koordinater (en variant av eksempel 3 i heftet). Jeg gikk s? over til seksjon 6.11 og sa noen ord om hvordan man regner ut masse og volum ved hjelp av trippelintegraler. Som et eksempel fant jeg en formel for massen til en kule der tettheten bare avhenger av avstanden til sentrum. Jeg avsluttet med et langt og grusomt eksempel som viser at gravitasjonsfeltet fra en kule med rotasjonssymmetrisk massefordeling er den som om all massen var samlet i sentrum (dette gjelder bare for punkter utenfor kulen). Regneteknisk er dette en variant av eksempel 4. Du finner en variant av beregningene i oppgave 6.10.7
Vi er n? ferdig med kapittel 6. P? tirsdag begynner vi med kapittel 4.
Tirsdag 11/3:
Rapport fra ?yvind Ryan: Jeg gjennomgikk hele 4.1, og det meste av 4.2, derav eksempler p? alle typerlignigssystemer (entyding, ingen, og undelig mange l?sninger), samt radreduksjon, trappematriser og trappeform, pivotelementer, pivots?yler, basisvariable og frie variable, samt deres rolle i ? finne l?sninger av ligningssystemer.
I 4.2 rakk jeg til og med setning 4.2.4 med bevis. Jeg rakk ikke korollar 4.2.5 og setning 4.2.6.
Onsdag 12/3:
Jeg fikk f?rst gjennom resten av seksjon 4.2. Tok s? seksjon 4.3 der jeg regnet ett eksempel av samme type som eksempel 2 og ett der jeg startet radreduksjonen med en matrise som ikke var p? trappeform. Gikk gjennom 4.3.2 0g 4.3.3, og illustrerte hvordan man kan bruke MATLAB til ? finne redusert trappeform (gikk gjennom et eksempel av samme type som eksempel 3). Til slutt gjennomgikk jeg seksjon 4.4 der jeg fulgte heftet ganske tett, men valgte litt andre eksempler. Tirsdag etter p?ske starter vi p? seksjon 4.5
Tirsdag 25/3:
Tok fatt p? seksjon 4.5. Etter ? ha minnet om hva vi vet om inverse matriser fra MAT1100, beviste jeg lemma 4.5.2 og setning 4.5.3, og nevnte ogs? setning 4.5.4. Forklarte deretter metoden for ? finne inverse matriser og gikk gjennom et eksempel av samme type som Eksempel 2 i heftet. Nevnte kort MATLAB-kommandoen "inv", men resten av MATLAB-stoffet er greit ? lese p? egen h?nd.
Begynte s? p? seksjon 4.6 der jeg innf?rte begrepet line?rkombinasjon og gikk gjennom setning 4.6.1, 4.6.2 og korollar 4.6.3. Jeg pr?vde ogs? ? illustrere line?rkombinasjoner geometrisk ved ? p?peke at alle line?rkombinasjonene til én vektor utgj?r en linje, mens line?rkombinasjonene av to vektorer (normalt) danner et plan. I morgen foreleser ?yvind Ryan over resten av seksjon 4.6.
Onsdag 26/3:
?yvind Ryan foreleste. Her er hans rapport: "Jeg gikk igjennom resten av 4.6: Line?r uavhengighet (hvordan sjekke om vektorer er line?rt uavhengige, hvordan finne en line?rt uavhengig delmengde), basiser (inkludert hvordan man kan utvide en line?rt uavhengig mengde til en basis), og line?re avbildninger."
Etter forelesningspausen i neste uke fortsetter vi med seksjon 4.8 (4.7 er ikke pensum).
Tirsdag 8/4:
Begynte p? seksjon 4.8. Forklarte hva en element?r matrise er, viste noen eksempler, og forklarte virkning av element?re matriser ved matrisemultiplikasjon (setning 4.8.2). Forklarte ogs? at den inverse til en element?r matrise er en element?r matrise, og beviste setning 4.8.4.
Startet s? p? seksjon 4.9. Definerte f?rst determinanter og viste hvordan de kan regnes ut ved hjelp av definisjonen. Beviste deretter lemma 4.9.1 og 4.9.2 og skrev opp teorem 4.9.9 uten bevis. Viste deretter hvordan vi kan bruke radoperasjoner til ? regne ut determinanter, og regnet et eksempel av samme type som eksempel 2 i heftet. Til slutt beviste jeg teorem 4.9.10.
Onsdag 9/4:
Utledet f?rst formelen det(AB)=det(A)det(B) som i heftet (men bare under antagelsen at det(A)≠0 og det(B)≠0). Brukte dette til ? vise at det(A^(-1))=1/det(A) og at det(A^T)=det(A). Til slutt s? vi p? utvikling av determinanter langs vilk?rlige rader og s?yler, og regnet to eksempler av samme type som i heftet.
Begynte p? seksjon 4.10 der jeg f?rst definerte egenvektorer og egenverdier, og deretter utledet lemma 4.10.1. Brukte dette lemmaet til ? finne egenverdiene og egenvektorene til en 2-gamger-2 matrise (p? samme m?te som i eksempel 1 i heftet).
Tirsdag 15/4:
Etter et liten repetisjon av hvordan man finner egenverdier, regnet jeg et eksempel der vi fant egenverdiene til en 3-ganger-3-matrise med komplekse egenverdier og egenvektorer. Nevnte at hvis matrisen er reeell, kommer de komplekse egenverdiene og egenvektorene i konjugerte par (setning 4.10.4). Beviste s? setning 4.10.3, og nevnte at dersom en matrise mar multiple egenverdier, beh?ver det ikke finnes en basis av egenvektorer. Skrev opp spektralteoremet for symmetriske matriser (4.10.6). Til slutt gikk jeg gjennom setning 4.11.1 og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1 i seksjon 4.11, men med en 2-ganger-2-matrise istedenfor en 3-ganger-3-matrise (for ? v?re presis regnet jeg oppgave 4.11.5).
Vi er n? ferdig med kapittel 4, og i morgen begynner ?yvind p? kapittel 5.
Onsdag 16/4:
?yvind Ryan hadde f?tt den utakknemlige oppgavene ? forelese det ganske teoretiske stoffet i 5.1 og 5.2. Her er hans rapport:
"Jeg rakk i dag gjennom det meste av 5.1 og 5.2 (?pne, lukkede mengder, f?lger og konvergens av f?lger, delf?lger, Bolzano-Weierstrass, Cauchy-f?lger), bortsett fra ? formulere og bevise teorem 5.2.6 (at alle Cauchy-f?lger er konvergente) og dermed ogs? korollar 5.2.7."
Neste gang avslutter vi seksjon 5.2, tar en titt p? 5.3 (som er mer oppgavestoff enn teori) og g?r l?s p? seksjon 5.4 der teorien fra 5.2 kommer til nytte.
Tirsdag 22/4
Avsluttet f?rst seksjon 5.2 ved ? vise at alle Cauchy-f?lger konvergerer. Snakket deretter om problemstillingene i seksjon 5.3 uten ? kj?re noen programmer, men ved ? illustrere uformelt forskjellige typer oppf?rsel som et system kan ha. Etter pause begynte jeg p? seksjon 5.4 der jeg akkurat rakk ? bevise Banachs fikspunktsteorem. I morgen begynner jeg p? seksjon 5.5.
Onsdag 23/4:
Begynte med seksjon 5.5. Repeterte (for dem som har MAT-INF1100) Newtons metode for funksjoner av en variabel. Gikk deretter over til ? snakke om metoden for funksjoner av flere variable. Utledet iterasjonsskjemaet og viste sammenhengen med (ikke-line?re) ligningssystemer med m ligninger og m ukjente. Illustrerte metoden p? et eksempel. Jeg gikk ikke inn p? programmering av metoden - det er det lettere ? l?re fra heftet. Nevnte Kantorovitsj' teorem, men gikk ikke inn p? detaljene.
Til slutt begynte jeg p? seksjon 5.6. Jeg minnet om hva vi vet om omvendte funksjoner i det en-dimensjonale tilfellet, og brukte dette som en motivasjon for den flerdimensjonale teorien. Rakk akkurat ? formulere "omvendt funksjonsteorem", men fikk ikke vist et eksempel.
Tirsdag 29/4:
Etter en litt treg start kom jeg i gang med "omvendt funksjonsteorem". Jeg gikk ikke gjennom beviset, men fors?kte ? antyde hvordan Banachs fikspunktteorem blir brukt, og jeg beviste ogs? formelen for den deriverte til den omvendte funksjonen. Gikk s? gjennom et eksempel av samme type som eksempel 1 i heftet. Derettet begynte vi p? "implisitt funksjonsteorem". Jeg forklarte problemstillingen p? omtrent samme m?te som i heftet og skrev deretter opp teoremet. Gikk gjennom eksempler av omtrent samme type som eksempel 2 og 3 i heftet.
Gikk s? igjennom seksjon 5.7 (inkludert et fullstendig bevis for ekstremalverdisetningen). Til slutt begynte jeg s? vidt p? seksjon 5.8 der jeg rakk ? skrive opp setning 5.8.2 og illustrere den.
Onsdag 30/4:
Fortsatte p? seksjon 5.8. Definerte f?rst stasjon?re punkter og viste ved et eksempel hvordan man finner dem. Tok s? fatt p? annenderiverttesten som jeg beviste "med litt juks" (dvs. jeg holdt meg til den grunnleggende ideen og utelot feilleddsestimatene). Viste hvordan man kommer fra den generelle formen 5.8.6 til spesialformen 5.8.7 for funksjoner av to variable (den er nok den som er mest aktuell p? eksamen). Regnet et eksempel av samme type som eksempel 3 i heftet. Til slutt startet jeg s? vidt p? et uoppstilt problem (oppgave 5.8.13) som jeg vil avslutte neste gang f?r jeg begynner p? seksjon 5.9.
Tirsdag 6/5:
Avsluttet f?rst eksemplet fra forrige gang. La spesielt vekt p? ? sjekke oppf?rselen p? randen av omr?det.
Begynte s? p? seksjon 5.9. Forklarte f?rst Lagranges metode geometrisk, og regnet deretter eksemplet fra tidlige p? nytt ved hjelp av denne metoden. Formulerte s? metoden presist (teorem 5.9.1), og regnet oppave 5.9.1e) (uten z-en som har sneket seg inn) som et eksempel. Formulerte s? Lagranges metode for flere bibetingelser (teorem 5.9.2) og regnet oppgave 5.9.1f) som et eksempel.
Avrunder kapittel 5 i morgen, og begynner deretter p? kapittel 12 fra "Kalkulus".
Onsdag 6/5:
Avsluttet med noen ord om koblingen mellom maks-min-problemer og numeriske metoder. Illustrerte gradientmetoden med en figur, men gikk ikke gjennom et eksempel (dette er typisk orienteringsstoff - greit for en oblig, men ikke eksamenrelevant).
Begynte s? p? kapittel 12 i "Kalkulus". Definerte konvergens og minnet om summeformelen for geometriske rekker. Understreket s? at positive rekker konvergerer dersom de er begrensede, og brukte dette til ? utlede integraltesten. Regnet noen eksempler, og viste at rekken 1/n^p konvergerer hvis p>2. Kikket s? p? sammenligningstesten og tok et eksempel av typen 2/(n^2+1). Til slutt formulerte jeg grensesammenligningstesten og viste hvordan den kan brukes p? rekker der leddene er gitt av rasjonale funksjoner (som eksempel 12.2.9).
Tirsdag 13/5:
Fortsatte ? snakke om grensesammenligningstesten. S? p? rekkene sin(1/n) og (1-cos(1/n)) ved hjelp av Taylorpolynomer. Tok ogs? den siste ved ? sammenligne med 1/n^p for en (inntil videre) ukjent p (se eksempel 12.2.11). Deretter gikk jeg gjennom forholdstesten og rottesten med noen eksempler.
Etter pausen gikk jeg f?rst gjennom seksjon 12.3. Jeg beviste testen for alternerende rekker og gikk gjennom eksempel 12.3.2. Avsluttet med ? snakke litt om seksjon 12.4 - beviste setning 12.4.2, regnet et eksempel (konvergens av rekken sin(n)/n^2) og formulerte forholdstesten og rottesten (avsnittet om ombytte av ledd er ikke pensum), Til slutt ga jeg en rask oversikt over de forskjellige konvergenstestene.
De to neste forelesningene holdes av Inger Christin Borge. Hun begynner p? seksjon 12.5.
Onsdag 14/5:
Gjennomgikk kap. 12.5-12.6, der jeg ga beskjed om at siden uniform konvergens (11.3-11.4) ikke er forelest, blir en del av grunnlaget for bevisene i kap. 12 borte, og vi konsentrerer oss om bruk av resultatene.
Startet med en liten introduksjon om 'endelig' versus 'uendelig'. Definerte s? potensrekker med eksempel. Ved ? sette inn verdier for x, f?r vi tallrekker, og jeg minte om at tallrekker deles inn i 'divergente, betinget konvergente og absolutt konvergente', og at vi har mange konvergenstester (fra forrige uke). Nevnte Weierstrass' M-test og sa kort litt om uniform konvergens. Ga eksempel p? bruk av M-testen (sum av x^n/sqrt(n^5)).
Vi definerte og startet jakten p? konvergensomr?det til en potensrekke (alle verdier for x slik at rekken er konvergent). Brukte 'sum av x^n/n' som eksempel, og brukte forholdstest. Nevnte ogs? ordene konvergensintervall, konvergensradius og konvergenssentrum. Avsluttet f?rste time med ? observere at alle rekker har minst en verdi for x der rekken konvergerer (x=a for en generell potensrekke gir sum lik a_0).
Startet neste time med eksempel 'sum av n^nx^n', og brukte rottest for ? finne konvergensomr?det. Vi f?r konvergens kun for x=0, dvs. en 'worst case'-potensrekke. Summerte opp strategi for ? finne konvergensomr?det (forholdstest eller rottest for radius til omr?det, tallrekketest for
endepunkter). Skrev opp Teorem 12.6.1 og ga tre eksempler der ingen, ett eller begge endepunkter er med i konvergensomr?det. Skrev opp Lemma 12.6.7 og en kortversjon av hva Setningene 12.6.8 og 9 sier (summen av en potensrekke er kontinuerlig i hele konvergensomr?det), og viste at det omvendte av Abels teorem ikke gjelder ved eksempel (fra boka). Tok s? et eksempel 'sum av (x-5)^n/(n2^n)', og startet tilslutt p? oppgave 2 i pr?veeksamen fra v?r 2006 (skal se litt mer p? den p? tirsdag).