Tirsdag 16. januar
Jeg snakket f?rst litt om kurset, pensum og l?reb?kene (men ikke mer enn det som ligger p? hjemmesiden). Begynte deretter p? seksjon 3.1 i heftet om Flervariabel analyse med line?r algebra . Jeg definerte vektorproduktet, regnet et eksempel og formulerte regnereglene 3.1.1. Gikk deretter over p? den geometriske tolkningen av vektorproduktet (fulgte resonnementet i heftet, men gikk ikke inn p? beviset for h?yreh?ndsregelen). Beviste setning 3.1.1 og regnet et eksempel av samme type som eksempel 3. Neste gsng fortsetter jeg med seksjon 3.1 og starter deretter p? seksjon 3.2.
OBS: Plenumsregningene 19/1 og 26/1 vil bli brukt til forelesninger.
Onsdag 17. januar
Jeg viste f?rst formelen for areal av en trekant i setning 3.1.3 og regnet s? et eksempel av samme type som eksempel 3 i heftet. Deretter beviste jeg formlene for volumet til et parallellepiped og en pyramide, og regnet et eksempel der jeg fant volumet til en pyramide med hj?rner i fire oppgitte punkter. Tok for meg ligningen for et plan, og viste gjennom et eksempel hvordan man kan finne ligningen til et plan som g?r gjennom tre gitte punkter (det er en trykkfeil i den siste ligningen i eksempel 7 i heftet).
Jeg tok s? fatt p? seksjon 3.2 der jeg definerte determinanter for 2-ganger-2 matriser og beviste setning 3.2.1. Rakk ikke ? regne et eksempel, s? det f?r vi ta neste gang (som er FREDAG). Regner med ? bli ferdig med seksjon 3.2 p? fredag og kanskje f? snust litt p? begynnelsen av 3.3.
Fredag 19. januar
Regnet f?rst et eksempel p? hvordan 2-ganger-2-determinanter kan brukes til ? finne areal og orientering, og gikk deretter gjennom setning 3.2.3. Gikk s? over til ? snakke om 3-ganger-3-determinanter. Etter ? ha definert dem og regnet et enkelt eksempel, s? vi p? sammenhengen mellom slike determinanter og vektorproduktet. Dette ledet til setning 3.2.4 som forteller oss hvordan vi kan bruke determinanter til ? regne ut volum og orientering. Regnet et eksempel p? dette. Avsluttet med ? snakke litt om determinanten som forst?rrelsesfaktor (setning 3.2.6).
Tirsdag 23. januar
I dag begynte jeg p? seksjon 3.3. Jeg definerte f?rst parametriserte kurver og viste ved et eksempel at samme kurve kan parametriseres p? flere m?ter. Utledet s? formelen for buelengde og regnet et eksempel. Definerte farten som den deriverte av buelengde og deretter hastigheten som den deriverte av parametriseringen. Regnet et eksempel. Gikk til slutt gjennom regnereglene for deriverte (setning 3.3.4), og beviste formelen for den deriverte til vektorproduktet. Rakk ogs? ? bevise korollar 3.3.5. I morgen snakker jeg om MATLAB, men fortsetter p? seksjon 3.3 p? fredag.
Onsdag 24. januar
Gikk gjennom de f?rste fem seksjonene i MATLAB-heftet. Fulgte stort sett fremstillingen der selv om eksemplene ikke var de samme.
Fredag 26. januar
Avsluttet f?rst seksjon 3.3 ved ? g? gjennom sammenhengen mellom akselerasjon og baneakselerasjon og ved ? studere kast uten luftmotstand (som er enklere enn heftets eksempel med luftmotstand). Resten av tiden brukte vi p? seksjon 3.4 der jeg fulgte heftets fremstilling tett.
Tirsdag 30. januar
I dag gikk vi gjennom seksjon 3.5. Jeg fulgte fremstillingen i heftet ganske tett.
Onsdag 31. januar
MATLAB-forelesning med vekt p? de tre siste seksjonene i heftet. Jeg snakket spesielt om for-l?kker og m-filer. Dessverre var det et par ting som ikke fungerte helt p? forelesningen; den ene (definisjon av s?kalte "anonymous functions" fx og gx) gikk etter all sannsynlighet galt fordi MATLAB-versjonen i Sophus Lie er for gammel; den andre (en while-l?kke som ikke virket) gikk sannsynligvis galt fordi jeg hadde byttet om rekkef?lgen av de to delene i en "or"-setning (normalt spiller ikke dette noen rolle, men i dette tilfellet er den ene delen meningsl?s for n=2, og da g?r det sannsynligvis galt hvis denne delen sjekkes f?rst).
Tirsdag 6. februar
Gikk gjennom seksjon 3.6 i heftet. Fulgte teksten ganske tett.
Onsdag 7. februar
Gikk gjennom seksjon 3.7 i heftet,
Tirsdag 13. februar
Jeg begynte p? seksjon 3.8 om kjeglesnitt. F?rst forklarte jeg hvordan kjeglesnitt fremkommer n?r man kutter over en kjegle, deretter ga jeg p? den plangeometriske definisjonen av parabler, og utledet ligningen for en parabel i "standardposisjon". Jeg s? ogs? p? hvordan parabelligninmgen forandrer seg n?r parabelen bytter posisjon. Regnet et eksempel av samme type som Eksempel 1 i heftet.Beviste refleksjonsegenskapen for parabler. Begynte s? p? ellipser der jeg rakk ? g? gjennom den geometriske definisjonen samt utlede ligningen.
Onsdag 14. februar
Fortsatte ? snakke om ellipsen. Diskuterte ligningen for ellipser i andre posisjoner og gikk gjennom et eksempel av samme type som Eksempel 2. Beviste refleksjonsegenskapen for ellipser. Tok s? fatt p? hyperbler. Skrev opp definisjonen og forklarte hvordan man kunne komme frem til ligningen, men gikk ikke gjennom beregningene. S? p? ligningene for hyperbler i andre posisjoner, og regnet et eksempel av samme type som Eksempel 3. Snakket kort om asymptoter og viste hvordan de kan brukes til ? tegne hyperbler. Formulerte refleksjonsegenskapen, men beviste den ikke. Helt til slutt tok jeg noe som ikke st?r i heftet, nemlig Dandelins "iskrembevis" for at den romgeometriske definisjonen av ellipse faller sammen med den plangeometriske. Underveis kom jeg i skade for ? si at avstanden 2a er lik h?ydeforskjellen mellom de to niv?ene der iskulene hviler mot kjeksen. Det er ikke riktig - 2a er avstanden mellom disse sirklene m?lt p? skr? langs kjeksen! Beviset finnes for?vrig flere steder p? nettet, f.eks her
Tirsdag 20. februar
(Inger Christin Borge vikarierte)
Grafisk fremstilling av skalarfelt (seksjon 3.9 i heftet): Vi tegnet skalarfelt f: R^2->R der vi spilte p? det vi allerede kan for f:R->R. Innledende eksempler: z=x^2 (parabolsk renne) og x^2+y^2=1 (sylinder). S? ble det litt mer detaljerte eksempler der vi tok for oss niv?kurver,konturer og synsvinkel: z=x^2+y^2 og z^2=x^2+y^2. Eksempel 2 fra heftet ble vist i MATLAB (sadelflate/hyperbolsk paraboloide). Vi tegnet ogs? z=x^3 og z=sin(x), ellipsoider, plan og en- og to-kappede hyperboloider (se s. 567 i Adams). Tilslutt tok vi for oss andre koordinatsystemer: polarkoordinater, sylinderkoordinater og kulekoordinater. Tok eksempel 3 og 4 (i MATLAB) fra heftet.
Onsdag 21. februar
(Inger Christin Borge vikarierte)
Fortsatte i seksjon 3.9: Startet med niv?flater for funksjoner av tre variable (eksempel f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2) og s? for n variable (definisjon 3.9.1). Deretter motiverte/illustrerte vi setning 3.9.2 med eksempelet z=x^2+y^2 i punktet (0,sqrt(3),3) og beviste setning 3.9.2. S? gjennomgikk vi tangentplan: startet med f:R->R og minnet om likningen for en tangent(linje) i et punkt. For f:R^2->R fant vi likningen for tangentplanet i et punkt ved hjelp av setning 3.9.2 (gikk opp en dimensjon og definerte g(x,y,z)=z-f(x,y), og gikk ned en dimensjon igjen og s? p? niv?kurven N_0 til g). Vi regnet ut tangentplanet for z=x^2+y^2 i punktet (0,sqrt(3),3) og for z=sin(xy) i punktet (pi/3,-1) (minnet litt om grafisk fremstililng og viste tegning i MATLAB). Viste ogs? en annen m?te ? finne normalvektoren til et tangentplan (krysser tangentvektorene i x- og y-retningene), og forklarte at tangentplanet i punktet a er grafen til lineariseringen i a. Herunder minnet vi om hva linearisering og affinavbildning var, og viste at f:R^2->R er en affinavbildning hvis og bare hvis grafen er et plan. Vi nevnte ikke definisjon 3.9.4, men gikk s? til seksjon 3.10. Her fulgte vi heftet s. 92-94, og viste i MATLAB: brukte eksempel 1 og tegnet str?mningslinjer og la p? vektorfeltet etterp? (bruk 'hold on').
Tirsdag 27. februar
I dag begynte vi p? kapittel 13 i Adams' bok. Etter en kort repetisjon av maks/min-problemer for funksjoner av en variabel, definerte jeg (lokale og globale) maks- og min-punkter for funksjoner av flere variable, og gjennomgikk Theorem 1 i seksjon 13.1. Jeg snakket deretter litt om sadelpunkter og om kritiske punkter (som jeg kalte "stasjon?re"). Fant deretter de stasjon?re punktene til noen funksjoner av to og tre variable. Formulerte s? annenderiverttesten (bare for funksjoner av to variable - se toppen p? side 712 hos Adams) og regnet et par eksempler.
Onsdag 28. februar
Fortsatte med maks- og min-punkter for funksjoner av flere variable. Formulerte f?rst ekstremalverdisetningen (Theorem 2 i seksjon 13.1 hos Adams) og skisserte bevisideen. Gikk deretter gjennom et ganske langt eksempel (maks.- og min-punkter til funksjonen f(x,y)=x^2y-y^2-x/8 over kvadratet 0≤x≤1, 0≤y≤1) der maks/min-punktene ligger p? randen. Regnet ogs? et uoppstilt problem av samme type som Eksempel 9 i seksjon 13.1. Jeg gikk deretter over til ? snakke om Lagranges multiplokatormetode (seksjon 13.3). Jeg fikk motivert metoden og skrevet opp ligningssystemet, men ikke gjennomf?rt noe eksempel.
Jeg har ikke gjennomg?tt avsnittet om line?r programmering i seksjon 13.2, men likevel gitt en oppgave til gruppene. Dette blir selvstudium!
Tirsdag 6. mars
Formulerte Lagranges multiplikatormetode p? nytt og regnet et oppstilt og et uoppstilt eksempel. Begynte deretter p? kapittel 14 der jeg fikk definert dobbeltintegraler over rektangul?re omr?der og vist hvordan de beregnes ved itererte integraler.
Onsdag 7. mars
Viste hvordan man kan regne ut dobbeltintegraler over mer kompliserte omr?der (omr?der mellom funksjonsgrafer) og regnet noen eksempler. Snakket deretter litt om dobbeltintegraler over ubegrensede omr?det, f?r jeg begynte p? dobbeltintegraler i polarkoordinater (seksjon 14.4). Fikk utledet den grunnleggende formelen (i bl?tt midt p? side 773 hos Adams), men rakk bare ? regne et enkelt eksempel.
Tirsdag 13. mars
Fortsatte ? snakke om integrasjon i polarkoordinater. Som et eksempel regnet jeg integralet av f(x,y)=xy over sirkelen med radius 1 og sentrum i (1,0). Jeg begynte s? ? snakke om generelle variabelskifter i dobbeltintegraler (slutten av 14.4), og skrev opp formelen i teorem 4. Eksempler kommer p? onsdag.
Onsdag 14. mars
Begynte med et eksempel p? variabelskifte i dobbeltintegraler. Vi skulle integrere x^2y over omr?det avgrenset av kurvene y=x/2, y=2x, y=1/x og y=2/x, og gjorde det ved ? innf?re nye variable u=xy, v=y/x. Jeg definerte deretter trippelintegraler og forklarte hvordam man regne ut slike integraler over omr?der begrenset av to flater. Som et eksempel regnet jeg ut integralet av z(x^2+y^2) over omr?det over xy-planet avgrenset av kulen x^2+y`^2+z^2=1 og kjeglen z^2=x^2+y^2. Til slutt forklarte jeg variabelskifteformelen for trippelintegraler, men rakk ingen eksempler.
Tirsdag 20. mars
Fortsatte med variabelskifte i trippelintegraler. Regnet ut Jacobi-determinanten for skifte til sylinder- og kulekoordinater og regnet et par eksempler. Gikk s? over til ? snakke om flateintegraler (seksjon 15.5 i hos Adams) og utledet den generelle formelen for slike integraler.
Onsdag 21. mars
Fortsatte med flateintegraler og konsentrerte meg om tilfellet der flaten er gitt ved en funksjon z=f(x,y). Regnet et eksempel f?r jeg gikk over til ? snakke om Greens teorem (seksjon 16.3 hos Adams). Jeg utledet formelen for det enkleste tilfellet og regnet noe eksempler. Nevnte hvordan linjeintegraler kan brukes til ? regne ut arealer
Etter p?ske begynner vi p? kapittel 4 fra heftet "Flervariabel analyse med line?r algebra".
Tirsdag 10. april
Foreleste fra kapittel 4 i heftet til og med setning 4.2.4. La mest vekt p? eksempler som illustrer de forskjellige mulighetene.
Onsdag 11. april
Gikk gjennom resten av seksjon 4.2 samt seksjonene 4.3 og 4.4. I seksjon 4.4 skrev jeg ikke opp setning 4.2.4 og 4.2.5 siden de ikke bringer noe nytt, men bare er om formuleringer av tidligere resultater. Tirsdag begynner jeg p? seksjon 4.5.
Tirsdag 17. april
Jeg gikk gjennom seksjon 4.5 i ganske stor detalj og begynte deretter p? seksjon 4.6 der jeg kom nesten frem til avsnittet om line?r uavhengigjet.
Onsdag 18. april
I dag gikk jeg gjennom resten av seksjon 4.6. P? tirsdag g?r jeg raskt gjennom seksjon 4.7, og fortsetter deretter p? seksjon 4.8.
Tirsdag 24. april
Gikk f?rst gjennom seksjon 4.7 i heftet og begynte deretter p? 4.8. Etter ? ha definert determinanter, beviste jeg lemma 4.8.1 (for rader) og lemma 4.8.2 (for ?vre triangul?re matriser). Jeg skrev deretter opp teorem 4.8.9, men gikk ikke gjennom beviet. Gikk til slutt gjennom et eksempel p? hvordan man kan bruke radoperasjoner til ? beregne determinanter (et eksempel av samme type som eksempel 2 i heftet),
Onsdag 25. april
Beviste f?rst teorem 4.8.10, og gikk deretter over til ? snakke om determinanten til et produkt. Beviste lemma 4.8.11, lemma 4.8.12 og setning 4.8.14 (bare den delen hvor b?de A og B er inverterbare). Deretter viste jeg korollar 4.8.15 og 4.8.16, og brukte det siste til ? regne ut en determinant med mange nuller i f?rste s?yle. Etter pausen gjennomgikk jeg utvikling langs generelle rader og s?yler med et par eksempler. Til slutt begynte jeg p? avsnitt 4.9 om egenverdier og egenvektorer. Jeg beviste lemma 4.9.1 og fikk nesten fullf?rt et eksempel av samme type som eksempel 1 i heftet (rakk ? finne egenverdiene og en egenvektor). Dette betyr at vi er litt foran undervisningsplanen, men neppe mer enn vi trenger ? v?re neste gang.
Onsdag 2. mai
I dag avsluttet jeg kapittel 4 fra Flervariabel analyse med line?r algebra. Etter ? ha minnet om hva egenverdier og egenvektorer er, repeterte jeg lemma 4.9.1 og fant deretter egenverdiene og egenvektorene til en 3-ganger-3-matrise. Jeg gikk deretter gjennom definisjon 4.9.2 og beviste setning 4.9.3. Jeg fortalte at dersom en matrise ikke har n forskjelllige egenverdier, s? beh?ver den ikke ha en basis av egenvektorer, men jeg viste ikke noe eksempel p? dette. Etter pause regnet jeg et eksempel av samme type som eksempel 1 og 3 i seksjon 4.10 (men med 2-ganger-2-matriser).
Neste uke begynner jeg p? kapittel 9 i Adams bok (rekker). Seksjon 9.1 og deler av 9.2 (geometriske rekker) b?r v?re kjent fra f?r, s? jeg regner med ? komme ganske kjapt til seksjon 9.3.
Tirsdag 8. mai
I dag begynte jeg p? seksjon 9.2 i Adams bok (det relevante stoffet i 9.1 er kjent fra MAT 1100). Jeg minnet f?rst om formlene for summen til endelige og uendelige geometriske rekker, og definerte deretter konvergens for generelle rekker. Som et eksempel p? (ikke-geometriske) rekker der vi kan finne summen, presenterte jeg rekken i Example 3 hos Adams. Jeg gikk ogs? gjennom Theorem 5, 6 og 7 hos Adams (med kjappe begrunnelser, men uten formell bevisf?ring). Jeg gikk s? over til seksjon 9.3. Etter ? ha p?pekt at positive rekker konvergerer hvis og bare hvis delsummene er begrenset, beviste jeg integraltesten og gikk gjennom Example 1. Jeg brukte ogs? testen til ? vise at summen til 1/(n^2+1) konvergerer. Jeg gikk s? l?s p? sammenligningstesten og brukte den p? rekken 1/(n^2+2n+3) (sammenlignet med 1/n^2). Til slutt snakket jeg om grensesammenligningstesten og brukte den p? tre eksempler: (n^2+3)/(2n^4-7n+16) (sammenlignet med 1/n^2), sin(1/n) (sammenlignet med 1/n) og pi/4-arctan n (sammenlignet med en uspesifiert rekke 1/n^p og fant etter hvert ut at p=1 var lurest). I morgen fortsetter jeg med forholdstesten og rottesten, og g?r deretter over p? seksjon 9.4.
Onsdag 9. mai
Gikk f?rst gjennom forholdstesten og rottesten og regnet noen eksempler. Deretter gikk jeg over til seksjon 9.4 der jeg f?rst definerte alternerende rekker og beviste testen for slike (theorem 14). Deretter definerte jeg absolutt konvergens og beviste at en absolutt konvergent rekke er konvergent. Jeg skrev ogs? opp forholdstesten og rottesten for generelle rekker (vi bruker bare de vanlige testene p? tallverdien til de opprinnelige leddene). Deretter antydet jeg en strategi for ? sjekke om en gitt rekke konvergerer. Den er i korte trekk som f?lger:
1. Unders?k om rekken er alternerende, positiv eller ingen av delene.
2. Dersom rekken er alternerende, ordner som regel alternerende-rekke-testen jobben.
3. Dersom rekken er positiv, har vi en rekke tester vi kan bruke. Har du ingen f?lelse for hvilken test som b?r brukes, foresl?r jeg denne rekkef?lgen.
a) Pr?v forholdstesten eller rottesten (jeg bruker som regel forholdstesten med mindre det er en eksponent som inneholder n).
b) Sjekk integraltesten - det er som regel kjapt ? sjekke om du kan l?se integralet med rimelig regning.
c) Pr?v grensesammenligningstesten - dette er v?r mest effektive test, men den krever at du har litt f?lelse for hva man b?r sammenligne med. Noen ganger er sammenligningstesten greiere, men stort sett er det i teoretiske sammenhenger.
3. Dersom rekken hverken er alternerende eller positiv, sjekker du f?rst om den er absolutt konvergent (bruk prosedyren i punkt 2). Er ikke rekken absolutt konvergent, er du avhengig av ? finne p? noe smart!
OBS: N?r du f?r litt erfaring, kan du hoppe over ledd i denne prosedyren - du vil for eksempel kunne se med ?yekast at forholdstesten ikke vil gi noen konklusjon, eller du vil med en gang kunne bestemme hva du vil sammenligne med. Strategien b?r bare brukes n?r du ikke har noen ideer om hva som er lurt ? pr?ve
Helt til slutt snakket jeg litt om potensrekker (seksjon 9.5). Jeg innf?rte begrepet og fant konvergensintervallet til rekken (1/n)(x-2)^n.
Tirsdag 15. mai.
Fortsatte med seksjon 9.4. Skrev opp theorem 17 og beviste deretter resultatet i den bl? boksen nederst p? side 503. Tok et par eksempler av samme type som example 1 og 2 i boken. Gikk deretter over til ? snakke om integrasjon og derivasjon av potensrekker, og formulerte Abels teorem. Regnet en del eksempler av samme type som 4, 5 og 6 i boken.
Onsdag 16. mai
Begynte p? seksjon 9.6. Beviste f?rst theorem 21 og gikk gjennom definisjon 21. Regnet ut Maclaurin-rekkene til e^x og sin x. Snakket deretter litt om Taylors formel (repetisjon for dem som har MAT-INF 1100) og forklarte at en konvergent Taylorrekke som regel (men ikke alltid) konvergerer mot funksjonen. Helt til slutt snakket jeg om seksjon 4.8. Her utledet jeg formelen for binomiske rekker og regnet et eksempel av samme type som example 2. Jeg trodde jeg hadde regnet feil, men det hadde jeg sannsynligvis ikke siden de f?rste leddene i rekken har et annet fortegn enn jeg trodde i ?yeblikket. P? tirsdag snakker jeg litt mer om rekker, og begynner s? repetisjonen.
Tirsdag 22. mai
Avsluttet rekketeorien med en liten oppsummering og noen flere eksempler. Begynte deretter p? repetisjon fra kapittel 3 av "Flervariabel analyse med line?r algebra". Her minnet jeg raskt hvrdan vektorproduktet og determinanter kan brukes til ? regne ut arealer og volumer. Deretter gikk jeg videre til parametriserte kurver,
Fredag 25. mai
Fortsatte repetisjonen fra kapittel 3 i "Flervariabel analyse med line?r algebra" ved ? snakke mer om parametriserte kurver og de to typene linjeintegraler. Nevnte ogs? formlene for normalvektor og tangentplan. Gikk s? over til ? snakke om maks.- og min.-problemer for funksjoner av flere variable og Lagrange multiplikatormetode (kapittel 13 hos Adams). Understreket at dere bare trenger ? kunne annenderiverttesten for funksjoner av to variable (se formelarket).
Tirsdag 29. mai
Denne dagen brukte vi til dobbelt- og trippelintegraler med vekt p? hvordan slike integraler regnes ut i praksis, og spesielt hvordan man finner grenser for integralene. Tok ogs? en liten gjennomgang av flater som ofte dukker opp i oppgaver (kuler, sylindre, paraboloider, kjegler, plan) og minnet om bruken av andre koordinatsystemer (polar-, sylinder- og kullekoordinater). Regnet en del eksempler, blant annet oppgave 2a) og b) fra eksamen ifjor.
Onsdag 30. mai
Snakket litt mer om temaer knyttet til dobbeltintegraler (generelt skifte av variable, flateintegraler, Greens teorem), f?r jeg raskt repeterte kapittel 4 i "Flervariabel analyse med line?r algebra". Her snakket jeg f?rst litt om kriteriene for n?r et ligningssystem har l?sninger (eventuelt n?r det har l?sninger for alle h?yresider). Sa noen ord om line?r uavhengighet og determinanter, og konsentrerte meg deretter om egenverdier og egenvektorer. Helt til slutt tok jeg en veldig rask gjennomgang av hovedpunktene i rekketeorien