P? denne siden finner du en kortfattet rapport fra hver forelesning. Rapportene er i kronologisk rekkef?lge, s? du m? rulle litt ned for ? finne de nyeste!
Tirsdag 17/1:
Jeg ga f?rst noen opplysninger om kurset (alle finnes p? nettsidene) og startet s? p? seksjon 1.1 i Lays bok. Jeg gikk gjennom et eksempel av samme type som hans Eksempel 1 (b?de p? ligningsform og matriseform), innf?rte koeffisientmatriser og utvidete matriser, og definerte de element?re radoperasjonene. Deretter definerte jeg hva det vil si at to matriser er radekvivalente og understreket at dersom to (utvidete) matriser er radekvivalente, har de tilh?rende ligningssystemene de samme l?sningene. Neste gang tar jeg noen flere eksempler p? bruk av radoperasjoner og fortsetter med seksjon 1.2 og 1.3 i Lay.
HUSK at plenumsregningen denne uken brukes til forelesning! HUSK ogs? ? begynne p? ukeoppgavene (oppgaver for de f?rste ukene er lagt ut p? nettet)! Jeg har gitt MATLAB-oppgaver allerede denne uken selv om MATLAB-forelesningen f?rst er til neste onsdag. Det er fordi jeg tror det er lurt ? ha gjort seg litt kjent med programmet f?r forelesningen. MATLAB-heftet legges ut p? nettet idag (17/1) eller i morgen.
Onsdag 18/1:
Jeg fortsatte ? snakke om radoperasjoner. F?rst s? vi p? et ligningssystem som viste seg ? v?re inkonsistent (ingen l?sninger), og deretter p? et som hadde uendelig mange l?sninger. I det siste tilfellet la jeg vekt p? ? illustrere hvordan den reduserte trappeformen ga oss en grei metode til ? finne alle l?sninger. Jeg gikk deretter n?rmere inn p? begrepene trappeform og redusert trappeform (Definition 1.2 hos Lay). Disse begrepene blir helt sentrale i fortsettelsen, og det er viktig ? f? et godt grep p? dem fra starten av. Det er ogs? vlktig ? merke seg Theorem 1 p? side 13 (som sier at enhver matrise kan bringes p? redusert trappeform p? en entydig m?te). Til slutt begynte jeg p? seksjon 1.3 der jeg rakk ? definere regneoperasjoner for vektorer i R^n. P? fredag avslutter jeg 1.3 og fortsetter med 1.4 og 1.5. Kanskje rekker vi ? begynne s? vidt p? 1.7.
Fredag 20/1
Jeg begynte med ? definere line?rkombinasjoner av vektorer og demonstrerte gjennom et eksempel at b er en line?rkombinasjon av a{1},...a{n} hvis og bare hvis ligningssystemet med utvidet matrise (a{1},...a{n},b) har en l?sning. Deretter snakket jeg om ligninger av typen Ax=b og obseverte at en slik ligning har en l?sning hvis og bare hvis b er en line?rkombinasjon av s?ylene i A. Deretter viste jeg at dette er tilfellet hvis og bare hvis den reduserte trappeformen til A har et pivotelement i hver eneste rad (dette er det samme som at ingen rader i den reduserte trappeformen best?r av bare nuller). Dette er Theorem 4, side 43, i Lays bok og et viktig resultat for oss. Til slutt snakket jeg om homogene matriseligninger Ax=b og observerte at de har en ikke-triviell l?sning hvis og bare hvis den reduserte trappeformen til A har minst en s?yle uten pivotelementer. Til slutt formulerte jeg Theorem 6 hos Lay, men rakk ikke ? bevise det. P? mandag beviser jeg dette teoremet og fortsetter deretter p? seksjon 1.7. Vi ligger litt etter tempoplanen, men jeg tror det er viktig at vi bruker nok tid p? det grunnleggende stoffet.
Tirsdag 24/1:
Jeg begynte med ? bevise Theorem 6 hos Lay. Deretter gjennomgikk jeg et eksempel der jeg skrev den generelle l?sningen til et line?rt ligningssytem p? parameterform. S? flyttet vi oss til seksjon 1.7 om line?r uavhengighet. Dette er et av de viktigste begrepene i line?r algebra. Jeg illustrerte med et eksempel (tilsvarende Lays eksempel 1) hvordan man kan bruke radoperasjoner til ? sjekke om s?ylene i en matrise er line?rt uavhengige, og oppsummerte denne metoden som i den bl? boksen nesten nederst p? side 66 hos Lay. Deretter viste jeg at den eneste line?rt avhengige mengden med bare ett element er {0} (her kom jeg i skade for ? skrive uavhengige istedenfor avhengige), og gjenomgikk s? det viktige Theorem 7 og det like viktige (men enklere) Theorem 8. Til slutt snakket jeg litt om begrepet basis. Hos Lay dukker dette f?rst opp p? side 170, men jeg synes det er naturlig ? ta det med her. En basis er en line?rt uavhengig mengde som genererer hele rommet (dvs. at alle vektorer kan skrives som en line?rkombinasjon av vektorene i basisen). Jeg viste at en mengde vektorer v(1),..,v(p) i R^n er en basis hvis og bare hvis p=n og den reduserte trappeformen til A=(v(1),..,v(p)) er identitetsmatrisen (dvs. matrisen med 1'ere p? diagonalen og 0 overalt ellers. Jeg fortsetter ? snakke litt om basiser neste tirsdag f?r jeg fortsetter med seksjon 1.8. Jeg kommer ogs? til ? skrive et lite notat som inneholder det jeg sier om basiser. Imorgen er det MATLAB-forelesning.
Onsdag 25/1:
I dag snakket jeg om MATLAB. Sa lite eller ingenting som ikke st?r i heftet, men pr?vde ? legge vekt p? ting som er lettere ? forklare muntlig enn skriftlig. Det er funnet noen trykkfeil i heftet, og en oversikt over disse kommer med det f?rste.
Tirsdag 31/1:
Jeg fortsatte p? notatet om basiser. F?rst viste jeg at enhver vektor kan skrives som en line?rkombinasjon av en basis p? en entydig m?te, deretter viste jeg at enhver endelig mengde som utspenner hele rommet, m? inneholde en basis. Gikk s? l?s p? seksjon 1.8 og 1.9 hos Lay. Etter ? ha snakket litt om generelle avbildninger fra R^n til R^m, definerte jeg line?ravbildninger og viste at dersom vi vet hvordan en line?ravbildning virker p? en basis, s? kan vi finne ut hvordan den virker p? et vilk?rlig element. Innf?rte s? avbildninger definert ved T(x)=Ax der A er en matrise, og viste at disse alltid er line?ravbildninger. Deretter viste jeg det omvendte resultatet, nemlig at enhver line?ravbildning er gitt ved at T(x)=Ax for en passende valgt matrise A. Viste ogs? at A m? v?re matrisen med s?yler T(e(1)), T(e(2)),.....,T(e(n)). Til slutt brukte vi dette til ? finne matrisen til avbildningen som roterer enhver vinkel i planet en vinkel v. P? tirsdag avsluttet jeg 1.8 og 1.9, og begynner p? kapittel 2.
Onsdag 1/2:
I begynnelsen snakket jeg litt mer om line?ravbildninger i planet, og s? p? speilinger, skj?ravbildninger og forst?rrelser/forminskninger. Deretter viste jeg at bildet av en rett linje under en line?ravbildning er en ny rett linje (i noen spesielle tilfeller f?r vi bare et punkt). Deretter gikk jeg tilbake til den generelle teorien og definerte surjektive og injektive avbildninger("onto" og "one-to-one" hos Lay).
Etter pausen rakk vi en liten diktopplesning ("Lille Adam" av Arnulf ?verland) f?r vi fortsatte med Theorem 11 og 12 hos Lay. Som et eksempel viste jeg at en avbildning fra R^3 til R^3 ikke var injektiv ved ? observere at den hadde en pivotfri s?yle. Helt til slutt begynte jeg p? seksjon 2.1. Jeg definerte addisjon, subtraksjon og multiplikasjon med skalar for matriser, og pr?vde ? motivere definisjonen av matrisemultiplikasjon. Neste gang starter vi med definisjonen for alvor.
Vi ligger fortsatt litt etter tidsplanen, men har nok tatt inn noe denne uken.
Tirsdag 7/2:
Definerte f?rst matrisemultiplikasjon og regnet et eksempel. Nevnte ogs? den alternative definisjonen, og regnet et eksempel med den. Deretter s? vi p? regneregler for matrisemultiplikasjon, definerte tranponering av matriser og s? p? regneregler for transponering.
Deretter begynte vi p? inverse matriser. Viste f?rst at dersom en matrise er inverterbare, s? m? den reduserte trappeformen v?re identitetsmatrisen. Deretter s? vi p? regneregler for inversjon. Til sa jeg noen ord om element?re matriser.slutt
Onsdag 8/2:
Vi begynte med ? se n?rmere p? element?re matriser med vekt p? to grunnleggende egenskaper: (i) N?r man ganger en matrise A med en element?r matrise E, blir resultatet det samme som n?r vi bruker radoperasjonen til E p? A, og (ii) alle element?re matriser er inverterbare. Brukte disse to egenskapene til ? vise at en kvadratisk matrise A er inverterbare hvis og bare hvis den reduserte trappeformen til A er identitetsmatrisen I. Som en bonus fikk vi at de radoperasjonene som reduserer A til I, omdanner I til A`s invers. Dette gir oss en algoritme for ? finne den inverse til A: Start med den utvidete matrisen [A,I] . Skriv denne p? redusert trappeform. Dersom A er inverterbar er den f?rste delen av matrisen omdannet til I, og den andre delen er omdannet til A invers. Viste ved et eksempel hvordan man i MATLAB kan bruke >> rref til ? utf?re dette.
Deretter sa jeg noen ord om "The inverse matrix theorem" i kapittel 2.3 uten ? gjennomg? det. Det er fin trening ? gj?re seg kjent med dette teoremet, men det egner seg ikke s? godt til forelesning. Jeg viste imidlertid en viktig del av teorem, nemlig at hvis enten AC=I eller CA=I, s? er A inverterbar og C er A`s invers (det er alts? nok ? finne en ensidig invers til A).
Til slutt begynte jeg p? seksjon 2.8. Jeg definerte underrom og viste at nullrommet til en matrise er et underrom. Deretter viste jeg at mengden utspent av en samling vektorer er et underrrom. Til slutt definerte jeg s?ylerommet til en matrise.
P? tirsdag avsluttet jeg line?r algebraen. Avsnitt 2.8 og 2.9 hos Lay er litt tannl?st, s? det er mulig jeg lager en liten vri p? det. N?r vi er ferdige med Lay, begynner jeg p? kjeglesnitt (conic sections) i Adams bok.
Tirsdag 14/2:
Idag avsluttet jeg stoffet om line?r algebra ved ? gjennomg? resten av 2.8 og 2.9 hos Lay. Jeg beviste og begrunnet mer enn l?reboken, og forelesningen ble derfor ganske teoretisk. Jeg begynte med ? definere basis for et underrrom og viste deretter at alle underrom av R^n har en basis. Deretter viste jeg at alle basiser for et underrom H har samme antall elementer, og kalte dette antallet for dimensjonen til H. Viste s? ved et eksempel hvordan vi kan finne en basis for nullrommet til en matrise, og observerte at dimensjonen til nullrommet alltid er lik antall pivotfrie s?yler. Deretter viste jeg at pivots?ylene alltid er en basis for s?ylerommet til en matrise, og brukte de to siste rsultatene til ? bevise rangteoremet (Lay side 178): I en m-ganger-n matrise er dimensjonen til nullrommet pluss rangen alltid lik n. Selv om det ikke er s? lett ? se ved f?rste ?yekast, er rangteoremet et sentralt og nyttig resultat i line?r algebra.
I morgen gjennomg?r jeg seksjon 8.1 om kjeglesnitt i Adams bok.
Onsdag 15/2:
Gikk gjennom seksjon 8.1 i Adams. Forklarte f?rst hvor navnet kjeglesnitt kommer fra. Deretter definerte jeg parabel geometrisk og utledet formelen for en parabel med brennpunkt i (a,0) og styrelinje x=-a. Forklarte ogs? hva som skjedde med formelen n?r vi flyttet toppunktet fra origo til (m,n). Til slutt snakket jeg om refleksjonsegenskapen til parabler (men hadde dessverre ikke tid til ? bevise den). Jeg gikk deretter over til ellipser, definerte dem geometrisk, og utledet formelen for en ellipse med sentrum i origo og storakse langs x-aksen. Viste s? hva som skjer med formelen n?r vi flytter sentrum til (m,n). Deretter viste jeg hvordan man kan bestemme kurven med ligning x^2+2x+4x^2+16x=8 ved ? fullf?re kvadratet og omdanne ligningen til en ellipseligning. Nevnte refleksjonsegenskapen til ellipsen, men beviste den ikke. Til slutt definerte jeg hyperbel geometrisk, utledet ligningen, viste asymptotene og nevnte refleksjonegenskapen.
Neste uke er jeg bortreist, s? Hans Brodersen tar forelesningene. Han g?r gjennom resten av kapittel 8 og hele kapittel 10. I begge disse kapitlene er det mye repetisjon fra 3MX, s? det kommer til ? g? fort! De som ikke har 3MX, b?r nok lese en del p? forh?nd. Heftet om vektorregning (klikk her ) gir en kortere innf?ring enn boken (men dekker bare repetisjonsstoffet og litt av det nye).
Tirsdag 21/2:
Hans Brodersen foreleste. Her er hans oppsummering:
Begynte med ? si hva en parametrisert kurve i planet var og skrev opp som et f?rste eksempel standard parametriseringen av enhetssirkelen.
Definerte s? en kurve (som bildet av en parametrisert kurve), forklarte at forskjellige parametriserte kurver godt kan svare til samme kurve, men forklarte at parametriseringene angir ogs? hvordan kurven gjennoml?pes.
Jeg fant parametriseringer til standard ellipsen (med a og b) og ogs? h?yregrein til hyperbelen x^2-y^2=1 (her brukte jeg hyperbolske funksjoner. Jeg utledet s? parametriseringen av tangentlinjen til et punkt (svarende til en parameterverdi) for en parametrisert kurve. Jeg skiserte s? kurven gitt ved x=1/(1+t^2), y=t/(1+t^2) der t gjennoml?per hele R, eliminerte parametren og fant likningen til en sirkel med sentrum (1/2,0) og radius 1/2 (eller mer presist denne sirkel minus origo - som jo svarer til t=pluss/minus uendelig)
Jeg motiverte s? kort integralformelen for buelengde, p?pekte at den generaliserte formelen for buelengden av en graf, og regnet ut som et eksempel buelengden til x=1+t^3, y=1-t^2 t\in [0,2] .
Jeg s? s? p? en x=f(t), y=g(t) der f'(t)>0, g(t)>0 og s? p? omr?det under denne kurven og over x-aksen. Jeg utledet arealformelen til dette. Jeg p?pekte at andre varianter av fortegn kan tilsvarende formler for andre tilsvarende omr?der, men henviste her til boka uten ? g? i detalj. Jeg regnet ut arealet der x=asin t, y=b cost, t\in [0,pi/2] , p?pekte at det var arealet av 1/4 ellipse jeg regnet ut og utledet formelen for areal av ellipse fra dette.
Jeg forklarte hva polarkoordinater var (kort) og fant likningen til kurven r=sin theta + cos theta i kartesiske koordinater Jeg utledet s? formelen for areal av omr?de beskrevet ved 0<r<r(theta), alpha<theta<beta.
Onsdag 22/2:
Hans Brodersen fortsatte forelesningene. Her er hans rapport:
Repeterte arealformelen fra slutten av forige forelesning og regnet ut arealet begrenset av kurven r^2=a^2cos 2theta.
Jeg utledet formelen for buelengde av kurve r=r(theta) og regnet lengden av r=e^(2theta) theta\in [-pi,pi] , Her avsluttet jeg kapittel 8 og gikk over til kapittel 10. Jeg definerte prikkprodukt i R^3 og R^2 , forklarte at det oppfylte en del standard regneregler som var listet opp i boka, utledet at u*v=|u||v|cos theta, brukte dette til ? finne formel for projeksjon av en vektor langs (linja utspent av) en annen, og regnet et eksempel p? dette. Jeg forklarte at prikkproduktet kan utvides til R^n og forklarte hvordan vi definere vinkel mellom vektorer her ved prikkproduktet.
Jeg begynte s? ? snakke om kryssproduktet. Begynte med ? definere 2x2 determinanter. Forklarte at rekkene og s?ylene var line?rt avhengige hvis og bare hvis determinanten var lik 0. Definerte 3x3 determinanter (ved utvikling etter 1. rad), regnet ut 2 slike og referte kort de viktigste egenskapene ved (3x3) determinanten. Jeg definerte n? (dvs. jeg avvek litt fra boka) kryssproduktet som en (symbolsk) 3x3 determinant og regnet ut et par slike kryssprodukter. Jeg nevnete s? de viktigste egenskapene til kryssproduktet og forklarte (uten ? foreta utregninger) hvordan disse kan bevises ved direkte utregninger. S? forklarte jeg tilslutt at normen av kryssprodukt er lik areal av parallellogram, og viste at for vektorer i R^2 gir dette at arealet blir lik absoluttverdien til 2x2 determinanten som vektorene danner.
Tirsdag 28/2:
Viste f?rst at volumet til prismet utspent av tre vektorer, er gitt ved vektortrippelproduktet, alternativt som (tallverdien til) determinanten til matrisen med de tre vektorene som rader (se Adams seksjon 10.3, Example 4). Den siste versjonen kommer til ? v?re viktig n?r vi skifter variabel i trippelintegraler. Deretter snakket jeg litt om ligninger for plan, og spesielt om hvordan vi kan bruke kryssproduktet til ? finne normalen til et plan som g?r gjennom tre gitte punkter. Regnet et eksempel av samme type som Example 2 i seksjon 10.4 i Adams. Etter pausen begynte jeg p? kapittel 11 (der vi bare har seksjon 11.1 og 11.3). Jeg definerte parametriserte romkurver, viste hvordan de kan deriveres, og innf?rte begrepene hastighet (velocity) og fart (speed). Jeg gikk gjennom regnereglene for derivasjon av parametriserte kurver, og presenterte formelen for buelengde. Som et eksempel s? jeg p? spiralen r(t)=cos(t) i +sin(t) j +t k. og fant hastighet, fart og buelengde. Til slutt snakket jeg litt om parametrisering av skj?ringskurven mellom to flater, og regnet et eksempel av samme type som Example 2 og 3 i seksjon 11.3.
P? onsdag begynner jeg p? kapittel 14 (kapittel 12 og 13 er dekket av stoffet om funksjoner av flere variable i MAT 1100). Vi er n? over p? stoff som er nytt for alle, og fremdriftsfarten blir mer normal!
Onsdag 1/3:
I dag gjennomgikk jeg 14,1 og 14.2 i Adams. Definerte f?rst dobbeltintegralet over rektangler og deretter over generelle omr?der. Snakket deretter om itererte integraler over y- og x-enkle omr?der. Som eksempel regnet jeg ut integralet til xy^2 p? omr?det avgrenset av kurvene y=x og y=x^2 p? to m?ter (omr?det er b?de y- og x-enkelt).
P? tirsdag starter jeg p? 14.3 (muligens etter ? ha tatt ett eksempel til fra 14.2). Vi har tatt litt innp? tempoplanen og ligger n? ca. en halv ganng etter.
Tirsdag 7/3:
Begynte p? seksjon 14.3 der jeg f?rst regnet ut et dobbeltintegral over et uendelige omr?de (et eksempel av samme type som Example 1 i Adams) og deretter et dobbeltintegral med en funksjon som g?r mot uendelig i et randpunkt (et eksempel av samme type som Example 4 hos Adams). Deretter definerte jeg middelverdien til en funksjon over et omr?de, regnet et eksempel, og beviste Theorem 3.
Deretter begynte jeg p? seksjon 14.3 der jeg viste hvordan dobbeltintegraler kan regnes ut i polarkoordinater og tok et par eksempler av samme type som Example 2 hos Adams.
Onsdag 8/3:
F?rst brukte jeg et dobbeltintegral i polarkoordinater til ? regne ut integralet av exp(-x^2) fra minus uendelig til pluss uendelig (Example 4 i Adams' seksjon 14.4). Resten av tiden snakket jeg generelt om variabelskifte i dobbeltintegraler. Jeg fors?kte (sikkert med blandet hell) ? motivere formelen i Theorem 4 hos Adams, Som et eksempel regnet jeg ut dobbeltintegralet av xy over omr?det avgrenset av linjene y=x-1, y=x+1, y=-x/2 og y=-x/2+1 ved ? innf?re nye variable u=y-x, v=y+x/2. Jeg regner et eksempel til av denne typen neste gang, og begynner s? p? seksjon 14.5.
Tirsdag 14/3:
Gjennomgikk f?rst et eksempel til p? skifte av variabel i dobbeltintegral (integralet av x^2y^2 over omr?det i f?rste kvadrant avgrenset av y=x, y=2x, y=1/x, y=2/x). Deretter innf?rte jeg trippelintegraler (ganske raskt og uformelt) og forklarte hvordan man kan regne ut trippelintegraler ved iterert integrasjon. Som eksempel regnet jeg ut integralet ax x over omr?det i f?rste oktant avgrenset av planet x+y+z=1. Til slutt snakket jeg om skifte av variabel i trippelintegraler, og regnet ut Jacobi-determinanten for skifte til sylinderkoordinater. Rakk bare ? stille opp et eksempel sv?rt raskt, s? jeg begynner med et grundigere gjennomg?tt eksempel neste gang. Regner med ? bli ferdige med 14.6 og 14.7 (og kanskje f? sagt noen ord om 15.1 i morgen). For dem som lurer p? det, er det bare undervisningsfri etter 12 i morgen, s? MAT 1110 er ikke involvert.
Onsdag 15/3:
Gikk f?rst gjennom et mer krevende eksempel p? integrasjon i sylinderkoordinater (integralet til sqrt(x^2+y^2)+z over sylinderen avgrenset av x^2-2x+y^2=1 og kravene 0<z<2. Deretter beskrev jeg kulekoordinater og formelen for integrasjon mhp. kulekoordinater. Som et eksempel regnet jeg ut integralet til x^2+y^2+z^2 over omr?det avgrenset av kulen x^2+y^2+z^2=1 og kjeglen z^2=x^2+y^2. Til slutt s? vi litt p? anvendelser. Jeg utledet formelen for arealet til en funksjonsflate og skisserte et eksempel (arealet til z=x^2+y^2 over sirkelen x^2+y^2<1).
Neste uke er det undervisningsfri. Etter det begynner jeg p? kapittel 15. Vi ligger fortsatt en dobbeltforelesning etter fremdriftsplanen.
Tirsdag 28/3:
Vi startet p? kapittel 15. Jeg snakket f?rst litt om hva et vektorfelt er. Deretter regnet jeg en to-dimensjonal versjon av eksempel 3 i seksjon 15.1 (fant feltlinjene til et todimensjonalt gravitasjonsfelt). Deretter innf?rte jeg konservative vektorfelt, og viste at tyngdefeltet er konservativt (eksempel 1 i seksjon 15.2). Jeg viste de n?dvendige betingelsene for at vektorfelt skal v?re konservativt, og viste som et eksempel hvordan man kan finne potensialfunksjonen til vektorfeltet F(x,y,z)=2xyz i +(x^2z+1) j + (x^2y+z) k.
Onsdag 29/3:
Vi gikk rett l?s p? seksjon 15.3. Jeg motiverte definisjonen av linjeintegral for et skalarfelt ved ? se p? massen til en tr?d med varierende tetthet. Etter ? ha definert linjeintegralet, regnet jeg som et eksempel ut kurveintegralet til F(x,y,z)=z over kurven r(t)=t cos(t) i + t sin(t) j + t k. Som en innledning til kurveintegraler for vektorfelt (seksjon 15.4 i Adams), snakket jeg litt om definisjonen av arbeid, og brukte den som en motivasjon n?r jeg definerte linjeintegralet. Som et eksempel regnet jeg ut linjeintegralet til F(x,y,z)=x i + y j + z k over kurven r(t)=cos(t) i + sin(t) j + e^t k. Deretter viste jeg at linjeintegralet til et konservativt vektorfelt er uavhengig av veien. Jeg viste ogs? omvendingen, dvs. at dersom linjeintegralet er uavhengig av veien, s? er vektorfeltet en gradient (vi er her hele tiden i et ?pent, sammenhengende omr?de),
Tirsdag 4/4:
Denne forelesningen gikk vi gjennom seksjon 15.5 i Adams (flateintegraler). Jeg forklarte f?rst hva en parametrisert flate er og regnet deretter ut det generelle flateelementet dS. Som et eksempel regnet vi ut integralet til z over ?vre del av kulen med radius r. (OBS: Det finnes ogs? en annen type flateintegral som ikke er pensum i dette kurset, men som spiller en viktig rolle i MEK 1100. Dette behandles i seksjon 15.6 hos Adams.)
Onsdag 5/4
Jeg begynte med ? snakke om Greens teorem (seksjon 16.3 hos Adams). Etter ? ha forklart hva teoremet sier, brukte vi det til ? regne ut linjeintegralet av xy i + xy^2 j rundt et kvadrat. Deretter s? vi p? hvordan Greens teorem kan brukes til ? regne ut arealer (Example 1 hos Adams). Jeg skisserte beviset for Greens teorem omtrent som det st?r hos Adams. Til slutt begynte jeg p? kapittel 9 hos Adams (dette er det siste kapittelet i pensum). Stoffet i seksjon 9.1 kjenner dere fra MAT 1100, s? jeg gikk rett l?s p? 9.2. Der minnet jeg om summeformelen for geometriske rekker og regnet noen eksempler med dem. Jeg gikk ogs? gjennom Example 3 om teleskoperende rekker og regnet et litt mer kompliset eksempel av samme sype (summen av 1/n(n+2). Vi har n? tatt inn litt tid i forhold til planen og er nesten i rute. Tirsdag etter p?ske avrunder jeg seksjon 9.2 ved ? se litt p? den harmoniske rekken, og begynner s? p? seksjon 9.3. Dette er kanskje den viktigste seksjonen i kapittel 9.
Tirsdag 18/4:
Jeg viste f?rst Teorem 4 fra seksjon 9.2 hos Adams. Dette teoremet sier at dersom en rekke konvergerer, s? g?r leddene mot null. Jeg understreket sterkt at det omvendte ikke gjelder, og viste frem den harmoniske rekken sum 1/n som et eksempel p? en rekke som divergerer selv om leddene g?r mot null. Deretter begynte jeg p? seksjon 9.3 der jeg f?rst beviste integraltesten og benyttet den p? rekken med ledd 1/(1+n^2). Deretter benyttet jeg integraltesten til ? vise at rekken med ledd 1/n^p konvergerer n?r p>1 (eksempel 1hos Adams). Jeg beviste s? sammenligningstesten og brukte den p? et eksempel av samme type som de i eksempel 4 hos Adams. Deretter formulerte jeg grensesammenligningstesten (Theorem 10) og brukte den p? et eksempel av samme type. Til slutt brukte jeg grensesammenligningstesten til ? vise at rekken med ledd sin(1/n) divergerer (sammenlign med 1/n).
Onsdag 19/4:
Jeg tok f?rst noen flere eksempler p? bruk av grensesammenligningstesten, f?rst sum (1-cos(1/n)) (som jeg sammenlignet med sum 1/n^2 inspirert av Taylorutvilingen til cos x) og deretter sum (pi/2-arctan n) som jeg sammenlignet med sum 1/n^p for en uspesifisert p (som det etterhvert viste seg var lurt ? sette lik 1). Jeg gikk s? gjennom forholdstesten med bevis og brukte den p? rekkene sum n/2^n og sum n!/n^n. Deretter formulerte jeg forholdstesten og brukte den p? sum 1/(1+1/n)^(n^2). Til slutt startet jeg p? avsnitt 9.4. Jeg formulerte testen for alternerende rekker (og skisserte beviset) og brukte den p? rekken sum (-1)^n/n.
Jeg nevnte den elektroniske evalueringen som n? er lagt ut p? hjemmesiden (se under Beskjeder). Alle b?r besvare dette skjemaet s? vi f?r et representativt grunnlag for eventuelle omlegninger!
Tirsdag 25/4:
Jeg beviste f?rst at dersom en rekke er absolutt konvergent, s? er den konvergent (Adams, teorem 13), og formulerte deretter forholds- og rottesten for generelle rekker. Regnert noen eksempler av samme type som eksempel 3 i boken. Avsluttet seksjon 9.4 med noen ord om hvordan man b?r g? frem for ? avgj?re om en rekke konvergerer eller ikke. Begynte s? p? seksjon 9.5 om potensrekker. Fant f?rst konvergensomr?det til rekken sum (x-3)^n/(n2^n), og formulerte deretter teorem 17 hos Adams. Regnet noen flere eksempler for ? illustrere de forskjellige mulighetene i dette teoremet. Til slutt snakke jeg om algebraiske operasjoner med potensrekker, og brukte spesielt litt tid p? ? motivere Cauchy-produktet.
Onsdag 26/4:
Jeg forklarte f?rst hvordan man deriverer og integrerer potensrekker og regnet noe eksempler knyttet til geometriske rekker (eksempler av omtrent samme type som example 5 hos Adams). Jeg forklarte ogs? hvordan man kan bruke Abels teorem til ? f? informasjon om endepunkter. Jeg ga ogs? to eksempler p? hvordan man kan finne summen til en gitt rekke ved ? derivere og integrere (fant summen til rekken med ledd x^n/n2^n ved derivasjon, og summen til rekken med ledd nx^n ved f?rst ? dele p? x og s? integrere). Den siste halvtimen brukte jeg til ? gjenomg? Taylorpolynomer (Adams seksjon 4.8) for dem som ikke har settt dem f?r. P? tirsdag begynner jeg p? seksjon 9.6. HUSK ? SVARE P? SP?RRESKJEMAET!!
Tirsdag 2. mai:
Jeg innf?rte Taylorrekker og viste at Taylorrekken konvergerer mot funksjonen dersom restleddet i Taylors formel g?r mot null. Gjennomf?rte beregningene for Taylorrekken til e^x og skrev deretter opp Taylorrekken for sin(x) og cos(x) (hadde regnet ut koeffisientene forrige gang). Deretter viste jeg at hvis en funksjon er lik en potensrekke, s? m? dette v?re Taylorrekken til funksjonen (Adams: teorem 21). Jeg viste s? en del eksempler p? hvordan man kan finne nye Taylorrekker fra gamle, f.eks. hvordan man kan finne Taylorrekken til e^(-y^2) ved ? substituere x=-y^2 i Taylorrekken til e^x, og hvordan man kan finne Taylorrekken til (x^2+x)sin(x) ved ? gange (x^2+x) inn i Taylorrekken til sin(x). Deretter s? vi p? hvordan vi kunne bruke Taylorrekken til sin(x) til ? finne en tiln?rmet verdi for integralet av sin(x)/x fra 0 til 1. Vi s? ogs? litt p? grenseverdier, f.eks. hvordan man kan finne grensene til (1-cos x)/x^2 og (e^x-1-x)/xsin(x) n?r x g?r mot null ved ? erstatte cos(x), e^x og sin(x) med deres potensrekker. Helt til slutt snakket jeg litt om binomialformelen som en innledning til avsnitt 9.9 om binomiske rekker. Dette er det siste avsnittet i pensum, s? jeg regner med ? avslutte pensumgjennomgangen p? onsdasg.
Tirsdag 3. mai:
I f?rste time avsluttet jeg pensumgjennomgangen ved ? ta for meg seksjon 9.9 om binomiske rekker. Jeg utledet uttrykket for rekkene, fant konvergensradien, men bare postulerte at rekken konvergerte mot funksjonen (beviset i Adams anbefales p? det varmeste, men forutsetter at man kan sine differenssialligninger fra MAT-INF 1100). Som eksempler fant jeg Taylorrekkene til 1/sqrt(1+x), 1/sqrt(1-x^2), arcsin x og 1/(1+x)^2. Etter pause gikk jeg gjennom tre gamle eksamensoppgaver om rekker der vi b?de m?tte finne konvergensomr?det og summen. P? tirsdag starter jeg repetisjonen ved ? snakke om line?r algebra.
Tirsdag 9. mai:
Repeterte line?r algebra. Det aller meste av det jeg sa, finnes i notatet om Lays bok som n? er oppdatert med litt stoff fra kapittel 2. Du finner notatet her . Jeg rotet dessverre litt p? slutten av forelesningen og kom i skade for ? trekke tilbake noe som faktisk er sant: Skal du finne en basis for s?ylerommet til en matrise, skriver du matrisen p? redusert trappeform og finner pivots?ylene. De tilsvarende s?ylene i den opprinnelige matrisen (ikke bruk s?ylene i den reduserte trappeformen - det blir galt) gir deg en basis for s?ylerommet.