Mandag 21 august. Jeg snakket f?rst litt om kurset og om hvor informasjonen er gjemt p? nettsidene. Deretter gikk jeg over til ? snakke litt om matematikkens spr?k, b?de om ord slik som "lemma", "setning", "teorem", "korollar", "definisjon" og "eksempel", og om notasjon for mengder og funksjoner. Til slutt snakket jeg litt om bevis, og spesielt om kontrapositive bevis og motsigelsesbevis. Mye av det jeg sa, st?r i innledningen "? studere matematikk" i "Kalkulus".
Notater (av det jeg skrev p? skjermen) Opptak.
Tirsdag 22. august: Forelesningen ble noe kortere enn normalt fordi jeg hadde litt tr?bbel med mikrofonene i starten. Ellers startet vi med seksjon 3.1 om komplekse tall og gikk ganske raskt gjennom den. Etter pause hadde jeg f?rst en rask repetisjon av noen trigonometriske sammenhenger som er nyttige n?r man regner med komplekse tall. Deretter gikk jeg l?s p? seksjon 3.2 og rakk akkurat ? utlede den geometriske tolkningen av kompleks multiplikasjon (Teorem 3.2.3). Eksemplene f?r vente til mandag (p? fredag dreier forelesningen seg om noe annet).
Fredag 25. august: Tok turen tilbake til seksjon 1.3 og 1.4 i dag. Dekket kombinatorikken i seksjon 1.3 ganske godt, men hoppet over avsnittet om sannsynligheter. Etter pausen snakket jeg om seksjon 1.4, inkludert det kombinatoriske beviset for binomialformelen (jeg sa ingenting om induksjonsbeviset). Neste gang fortsetter vi med seksjon 3.2 og 3.3.
Notater. Opptak (mikrofonen falt ut et par steder, men jeg tror ikke det er lange partiene)
Mandag 28. august: Avsluttet f?rst seksjon 3.2 ved ? snakke litt mer om den geometriske tolkningen av komplekse tall. I tillegg til multiplikasjon s? vi p? tallverdier og avstander mellom punkter. Etter pause gikk vi gjennom seksjon 3.3 om de komplekse eksponentialfunksjonen og De Moivres formel.
Tirsdag 29. august: Inger Christin Borge foreleste seksjon 3.4.
Fredag 1. september: Gikk igjennom seksjon 3.5 og illustrerte teorien med et eksempel av samme type som 3.5.7.
Mandag 4. september: Vi startet med ? g? igjennom hovedpunktene i seksjon 2.3 fra et MAT1100-perspektiv (avsnittet er egentlig pensum i MAT-INF1100), og fortsatte med seksjon 4.3 der vi kom s?nn cirka frem til teorem 4.3.9 etter litt r?kj?ring i tettbygde str?k.
Tirsdag 5. september: Avsluttet seksjon 4.3 ved ? bevise teorem 4.3.9 og g? gjennom et eksempel av samme type som 4.3.10. Deretter gikk jeg videre til kapittel 5 der jeg f?rst snakket litt generelt om funksjoner og deres definisjonsmengder og verdimengder. Jeg definerte s? kontinuitet i et punkt og regnet et eksempel av samme type som 5.1.2 i boka.
Fredag 8. september: Litt kort forelesning i dag siden auditoriet var l?st, og vi m?tte bruke litt tid p? ? f? folk inn. Jeg gikk igjennom resten av seksjon 5.1. Etter ? ha snakket litt om hva det vil si at en funksjon ikke er kontinuerlig i et punkt, regnet jeg et eksempel av samme type som 5.1.3 i boka. Deretter skrev jeg opp setningene 5.1.4 og 5.1.6 og ga noen eksempler p? hvordan de kan brukes til ? vise kontinuitet. Jeg beviste setning 5.1.10 og brukte s? den til ? bevise deler av setning 5.1.4 samt setning 5.1.6. Til slutt snakket jeg litt om definisjon 5.1.11.
Mandag 11. september: Gikk igjennom seksjon 5.2 om skj?ringssetningen og seksjon 5.3 om ekstremalverdisetningen. Litt mye teori p? én dag, kanskje, men da er vi ferdig med den ?kta. I seksjon 5.2 fulgte jeg boken ganske n?ye, mens jeg i seksjon 5.3 slo sammen beviset for setning 5.3.2 og beviset for ekstremalverdisetningen til ett argument. Fremstillingen i boken er kanskje litt lettere ? forst?, men ville tatt veldig lang tid p? forelesningen.
Tirsdag 12. september: Gikk gjennom seksjon 5.4 om grenseverdier. Det finnes mange forskjellige varianter, og jeg n?yde meg med ? tegne og fortelle om en del av dem. Til slutt begynte jeg s?vidt p? seksjon 6.1 om derivasjon.
Fredag 15. september: Snakket f?rst litt om derivasjon og spesielt om logaritmisk derivasjon. Fortsatte s? med seksjon 6.2 om middelverdisetningen. Ble omtrent ferdig med seksjonen, men tar kanskje et eksempel p? hvordan middelverdisetningen kan brukes til ? vise ulikheter neste gang.
Mandag 18. september: Snakket f?rst litt mer om middelverdisetningen f?r jeg gikk over til seksjon 6.3 om L'H?pitals regel. Dekket denne stort sett gjennom ? regne eksempler p? diverse "ubestemte" grenseuttrykk, men avsluttet med beviset for "\(\frac{0}{0}\)"-tilfellet. Neste gang g?r vi l?s p? seksjon 6.4.
Tirsdag 19. september: Gikk igjennom seksjon 6.4 med mye regning og lange eksempler om maks/min-punkter og krumning.
Fredag 22. september: Gikk gjennom seksjon 6.5 om asymptoter og seksjon 7.1 om uoppstilte maks/min-problemer. Det var lite ny teori og mye regning av eksempler. P? slutten av det siste eksemplet gjorde jeg en regnefeil og mistet en faktor \(x\). Det er rettet opp i notatene men ikke i opptaket.
Mandag 25. september: F?r pausen (og litt etter pausen) gikk jeg gjennom diverse eksempler p? koblede hastigheter (seksjon 7.2). Jeg pr?vde ? dekke de fleste anvendelsene som ofte dukker opp (det kommer noen flere n?r vi kommer til arcusfunksjoner). Deretter begynte jeg p? seksjon 7.4 om omvendte (inverse) funksjoner (seksjon 7.3 er ikke pensum hos oss). Jeg definerte injektive og omvendte funksjoner, viste hvordan man noen ganger kan finne omvendte funksjoner ved ? l?se en ligning, og skrev opp en variant av teorem 7.4.5.
Tirsdag 26. september: Avsluttet f?rst seksjon 7.4 ved ? snakke om grafen til omvendte funksjoner samt ? utlede formelen for den deriverte til en omvendt funksjon. Gikk deretter raskt igjennom seksjon 7.5 om cotangens (boken korteste) f?r jeg tok fatt p? seksjon 7.6 om inverse trigonometriske funksjoner. Her definerte jeg arcussinus, arcuscosinus og arcuscotangens og utledet formlene for deres deriverte.
Fredag 29. september: Siden dette er en rent digital forelesning, har jeg delt den opp i flere deler som vil bli lagt ut separat. De to f?rste delene er gjennomgang av nytt l?restoff, den siste delen er gjennomgang av en gammel midtveiseksamen. Til sammen er det en del mer enn en vanlig forelesning, men det er ingen hast med ? f? sett p? gjennomgangen av midtveiseksamen.
Del 1 (anvendelser av \(\cot\) og \(\arctan\)): Notater. Opptak
Del 2 (definisjon av bestemt integral, seksjon 8.2): Notater. Opptak.
Del 3 (gjennomgang av midtveiseksamen 2014): Notater. Opptak, del1. Opptak, del 2 . Skriftlig l?sningsforslag. (Dette er opptak fra 2021, s? ikke g? p? let etter pizzaen som annonseres).
Mandag 2. oktober: I dag jobbet vi oss gjennom seksjon 8.3 om analysens fundamentalteorem. Etter ? ha sett p? teoremet og Korollar 8.3.4 (som godt kan sees p? som en del av teoremet), gikk vi gjennom eksempler (maken til) 8.3.5, 8.3.6 og 8.3.7 (det siste utbroderte jeg litt ekstra).
Tirsdag 3. oktober: Forberedelser til midtveiseksamen: Gikk gjennom utvalgte eksamensoppgaver fra de kapittel 3, 4, 5, 6 og 7.
Fredag 6. oktober: Gikk igjennom midtveiseksamen fra 2017, fikk dessverre litt d?rlig tid p? slutten. Her finner du oppgavesett og skriftlig l?sningsforslag. Lykke til p? midtveiseksamen.
Mandag 16. oktober: Gikk raskt igjennom seksjon 8.4 om det ubestemte integralet (bortsett fra integralene som har med cotangens og arcus-funksjoner ? gj?re, er det lite nytt her). Gikk ogs? ganske raskt gjennom seksjon 8.5 om Riemann-summer. Det viktigste ? forst? her er at Riemann-summer n?rmer seg integralet n?r partisjonene blir finere og finere. Til slutt begynte vi p? seksjon 8.6 der jeg snakket om hvordan man bruker integraler til ? regne ut arealer og omdreiningslegemer om x-aksen.
Tirsdag 17. oktober: F?r pausen utledet jeg formelene for volumet til omdreiningslegemer rundt \(y\)-aksen og buelengden til en funksjonsgraf, og regnet ogs? et par eksempler. Etter pausen utledet jeg formelen for delvis integrasjon og regnet en del eksempler som viste forskjellige m?ter ? bruke teknikken p?.
Fredag 20. oktober: P? grunn av tr?bbel med smartboardet (vi m?tte f? inn en tekniker), ble det en litt kortere forelesning i dag, men jeg rakk likevel ? avslutte avsnittet om delvis integrasjon og g? igjennom seksjonen (9.2) om substitusjon. Skulle gjerne ha f?tt startet p? seksjon 9.3 om delbr?koppspalting ogs?, men det f?r vente til neste gang.
Mandag 23. oktober: Det ble veldig mye delbr?koppspalting i dag siden vi ikke kom igang med de innledende eksemplene forrige gang slik planen opprinnelig var (skyld p? det defekte smartboardet!) Forelesningen er egentlig en sekvens av eksempler der vi tar for stadig mer kompliserte integraler. For ?yeblikket er det sikkert ganske uoversiktlig, men jeg skal pr?ve ? sette alt i sammenheng neste gang.
Tirsdag 24. oktober: F?r pausen avsluttet jeg gjennomgangen av delb?koppspalting ved ? se hva som skjer n?r vi har repeterte faktorer i nevneren. Jeg regnet ogs? et eksempel der vi m?tte kombinere delbr?koppspalting og delvis integrasjon. Etter pausen tok jeg noen eksempler p? integrasjon av trigonometriske integraler (se avsnitt 2 i seksjon 9.4). Integraler av denne typen dukker ofte opp i MAT1110. Helt til slutt tok jeg fatt p? seksjon 9.5 om uegentlige integraler. Jeg definerte hva det vil si at et integral konvergerer n?r integrasjonsomr?det g?r opp til \(\infty\) eller ned til \(-\infty\). Jeg regnet ogs? et par eksempler og beviste setning 9.5.4.
Fredag 27. oktober: Avsluttet seksjon 9.5 i "Kalkulus" og gikk deretter gjennom seksjon 1.1 i "Flervariabel analyse med line?r algebra" (FVLA).
Mandag 30. oktober: Gikk f?rst igjennom seksjon 1.2 som er viktig for forst?elsen av mye av det som kommer senere. Gikk deretter raskt igjennom seksjon 1.3 som er mindre sentralt (men kjekt ? vite om), og begynte s? p? seksjon 1.4 om vektorproduktet. Dette er stort sett repetisjon fra R2, men vi kommer til ? f? bruk for stoffet senere (og vektorproduktet er viktig i mekanikk og fysikk).
Tirsdag 31. oktober: Avsluttet avsnittet om vektorproduktet ved ? finne formelen for volumet til et parallellepiped. Gikk derette gjennom seksjon 1.5 der jeg la vekten p? matriser som noe som transformerer vektorer. Begynte s? p? seksjon 1.6 der jeg rakk ? definere produktet av to matriser.
Fredag 3. november: Gikk f?rst igjennom resten av seksjon 1.6 og deretter hele 1.7. Fikk ogs? begynt p? seksjon 1.8 der jeg rakk ? definere 2x2-determinanter og formulere (men ikke forklare) setning 1.8.2.
Mandag 6. november: Forklarte f?rst hvordan 2x2-determinanter kan brukes til ? regne ut arealer og orienteringer (denne gang med bevis), og gikk deretter over til ? snakke om 3x3-determinanter og volumer. Deretter startet jeg p? kapittel 2 der jeg fikk dekket seksjon 2.1 og akkurat rakk ? definere kontinuitet for funksjoner av flere variable. Gjensynet med \(\epsilon\) og \(\delta\) vakte allmenn begeistring.
Tirsdag 7. november: Vi fortsatte seksjon 2.2 om kontinuitet med vekt p? hvordan man i praksis avgj?r om en funksjon er kontinuerlig. Vi gikk ogs? gjennom eksempel 2.2.6 som viser at kontinuitet i flere dimensjoner er mer komplisert enn kontinuitet i én variabel. Deretter gikk vi raskt gjennom seksjon 2.3 om grenseverdier f?r vi startet p? seksjon 2.4 om derivasjon av funksjoner av flere variable. Jeg rakk ? definere retningsderivert og partiellderiverte, men vi m? nok repetere det rask neste gang.
Fredag 10. november: I dag satte smartboardet seg virkelig p? tverke, s? jeg avbr?t forelesningen etter én time. Da hadde jeg snakket litt mer om partiellderiverte, innf?rt gradienten, og gjennomg?tt argumentet fra formel (2.4.1) til (2.4.3) (dette argumentet er stort sett en motivasjon for hva som kommer senere). Videoopptaket dukket opp 2 d?gn senere enn normalt og er n? lagt ut. Jeg har ogs? lagt ut et opptak fra 2017 som dekker mye av det samme stoffet uten alt det forstyrrende tullet med pennen (g? inn etter ca. 50 minutter).
Notater. Opptak. Opptak (fra 2017)
Mandag 13. november: Avsluttet gjennomgangen av pensum ved ? g? igjennom resten av seksjon 2.4 pluss seksjonene 2.5 og 2.6.
Tirsdag 14. november: Jeg repeterte stoff fra kapittel 4, 5 og 6 og illustrerte det ved ? l?se en del eksamensoppgaver. Smartboardet begynte ikke s? verst, men ble stadig verre etter hvert, og til slutt mistet jeg mye av konsentrasjonen.
Fredag 17. november: Jeg repeterte stoff fra kapittel 7, 8 og 9 og regnet eksamensoppgavene
Eksamen 2017, oppgave 3 (koblede hastigheter)
Mystisk sett, oppgave 3 i del 2 (uoppstilt maks/min)
Eksamen 2019, oppgave 6 (analysens fundamentalteorem)
Mystisk sett, oppgave 2 i del 2 (delbr?koppspalting)
I oppgaven fra 2019 gjorde jeg en regnefeil: Jeg brukte \(x^2\)istedenfor \(2x^2\)som ?vre grense i integralet. Dette er rettet i notatene men ikke i opptaket.
Mandag 20.november: Fortsatte repetisjonen ved ? g? gjennom oppgavene:
Eksamen 2009, oppgave 11 (substitusjon/delvis integrasjon, uegentlig integral)
Eksamen 2007, oppgave 3 i del 2 (arcustangens, substitusjon/delvis integrasjon)
Eksamen 2011, oppgave 12 (praktisk matriseoppgave)
Eksamen 2021, oppgave 3 (halvteoretisk matriseoppgave)
Tirsdag 21. november: Gikk f?rst gjennom oppgavene jeg ikke rakk p? mandag, nemlig
Eksamen 2021, oppgave 1 (snill oppgave om gradienter)
Eksamen 2022, oppgave 5 (slem oppgave om gradienter)
Deretter sa jeg litt om sammenligningskriteriet for uegentlige integraler og illustrerte det med Eksamen 2019, oppgave 5 og Eksamen 2018, oppgave 5b).
Til slutt regnet jeg en delbr?ksoppspaltingsoppgave: Oppgave 11 fra Kontinuasjonseksamen 2014 (vi droppet den komplekse faktoriseringen).
Smartboardet viste seg etter hvert umulig, og de siste 25 minuttene ble tatt p? tavlen. Opptaket ble ogs? mislykket fordi noen hadde tuklet med innstillingen og systemet tok opp fra skjern nummer 2 og ikke den jeg skrev p?.
Notater. Opptak (lyd i det minste).
Fredag 24. november: Det var kommet inn litt flere ?nsker enn vi hadde tid til, s? jeg hadde p? forh?nd spilt inn en video som dekker
Eksamen 2017, oppgave 6 (video, notater).
Vi rakk heller ikke ? gjennomg? Pr?veeksamen, oppgave 5 (denne oppgave er fra eksamen 2021), men jeg har spilt inn en liten video som du finner her. (Notater. Opptak)
P? forelesningen gjennomgikk jeg:
Kontinuasjonseksamen 2007, oppgave 5, Kontinuasjonseksamen 2009, oppgave 14 (Dette er to teorioppgaver der utfordringen er ? finne den rette ideen).
Eksamen 2014 oppgave 7 i del 1. Derivasjon av integral.
Eksamen 2022, oppgave 1. Oppgave med inverse matriser.
Pr?veeksamen, oppgave 4 (disse oppgave er fra eksamen 2021)
Til slutt snakket jeg litt om eksamen (ikke ?rets, men eksamen som filosofisk idé!).
Notater. Opptak (underveis er det et lite intermesso av ikke-faglig karakter som dere bare kan spole over – det g?r fra ca. 30:00 til ca. 60:00)