Grublegruppa er et ekstratilbud til studenter som ?nsker ? l?re litt ekstra. Fokuset vil i hovedsak v?re p? de teoretiske delene av pensum.
En tentativ plan er ? v?re innom f?lgende temaer: filosofiske sp?rsm?l knyttet til logikk og matematikkens grunnlag; element?re mengdeteoretiske konstruksjoner; egenskaper og operasjoner p? (abstrakte) funksjoner; fundamentale teoremer i reell analyse, eksempelvis cauchykompletthet, Bolzano–Weierstrass-teoremet, delf?lger, funksjonsf?lger, punktvis og uniform konvergens; anvendelser til konstruksjon og egenskaper ved element?rfunksjonene; mulighet for digresjon om diverse matematiske temaer.
Det vil ikke bli satt av tid til ? l?se ukesoppgaver p? disse gruppetimene; til det har man de ordin?re gruppene.
Vel m?tt!
Sammendrag fra Gruppetimene
Her vil det legges ut sammendrag fra tidligere gruppetimer og eventuelle kommentarer om fremdriften i l?pet av semesteret.
Notater:
– Skj?ringssetningen impliserer kompletthetsprinsippet
– Delf?lgelemma og kort bevis for Bolzano–Weierstrass
– Midlertidig notat om egenskaper ved limsup og liminf
– Utkast til notat om komplekse tall
26. august: Matematikk som vitenskap, fag og kunst; hypotetisk-deduktiv og aksiomatisk-deduktiv metode; matematikk og naturvitenskap; deduksjon og induksjon; sannhet og tautologi; aksiom/resonneringsantakelse og deduksjonssystem/resonneringskontekst; bevis, teorem og G?del.
2. september: Objekter, universer, p?stander og navngivelse; sannhetsverditabeller og utsagnslogikk; negasjon, disjunksjon, konjunksjon, implikasjon, …; kvantorer.
9. september: Vi gikk gjennom resten av notatet ?Bevis og Argumentasjon?.
16. september: Mengdeuniverset; Russel og ZFC; delmengde og potensmengde; komplement; union og snitt av familier av mengder; De Morgans lover; litt om funksjoner.
23. september: Litt repetisjon fra forrige gang; ordnede par (Kuratowski) og kartesisk produkt; mengdeteoretisk definisjon av funksjoner; et sp?rsm?l om kontinuerlig utvidelse f?rte oss over i en langvarig digresjon om topologi: topologiske rom, kompakte flater og embeddinger, nullhomotopi og Poincaré-formodningen.
30. september: Mengdeteoretisk definisjon av funksjonsbegrepet; likhet av og notasjon for funksjoner, terminologi; komposisjon og identitetsfunksjon; assosiativitet av komposisjon; kategori av mengder og avbildninger; kommutative diagrammer; definisjon og unikhet av inversfunksjon; digresjon om diverse kuriositeter: de fleste har sett et bevis for at \(\sqrt{2}\) ikke er rasjonal, alts? at det ikke finnes noe rasjonalt tall \(q\) slik at \(q^2 = 2\); men hvorfor finnes det et reelt tall \(x\) slik at \(x^2 = 2\)? Svar ved kompletthet og skj?ringssetningen.
7. oktober: Ingen grublegruppe denne uken grunnet midtveiseksamener.
14. oktober: Relasjoner; mengdeteoretisk enkoding av funksjonsbegrepet; domene, kodomene, graf, verdimengde; komposisjon og identitet, kategorien av mengder og avbildninger; identitet, inklusjon, restriksjon, korestriksjon, utvidelse; inversfunksjoner; injeksjon, surjeksjon, bijeksjon, sammenheng med inversfunksjoner.
21. oktober: Bin?roperasjoner; assositativitet, kommutativitet, identitet, invers; definisjon av og eksempler p? grupper, ringer, kropper; konstruksjon av de komplekse tallene; embedding av de reelle tallene i de komplekse; skisse av alternativ konstruksjon ved matriseringen \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
28. oktober, 4. og 11. november: F?lger og delf?lger; delgrense, grensepunkt og ekvivalens av disse; cauchyf?lger og noen resultater om slike; limsup og liminf, f?lgekompakthet (Bolzano–Weierstrass-teoremet); cauchykompletthet.
18. november: Grunnleggende topologi p? \(\mathbb{R}\): ?pne, lukkede og kompakte mengder (Heine–Borel); f?lgekompakthet og Bolzano–Weierstrass; kontinuerlig bilde av kompakt mengde er kompakt; ekstremalverdisetningen for kontinuerlige funksjoner p? kompakte mengder generelt; eksempler; tanker om det videre emnetilbudet i matematikk.