Grublegruppa er et ekstratilbud til studenter som ?nsker ? l?re litt ekstra. Fokuset vil i hovedsak v?re p? de teoretiske delene av pensum.
Sammendrag fra Gruppetimene
Her vil det legges ut sammendrag fra tidligere gruppetimer og eventuelle kommentarer om fremdriften i l?pet av semesteret.
22. august: Vi diskuterte forventninger og tanker knyttet til grublegruppen, f?r vi gikk igang med ? konstruere de komplekse tallene fra de reelle tallene.
29. august: Hovedfokuset i dag var p? grunnleggende mengdel?re og funksjoner. Spesielt studerte vi kartesiske produkter og ga deretter en mengdeteoretisk definisjon av funksjonsbegrepet.
5. september: Vi startet med en repetisjon av den mengdeteoretiske definisjonen av funksjonsbegrepet, f?r vi studerte injektive, surjektive og bijektive funksjoner. Videre introduserte vi komposisjon av funksjoner og brukte dette til ? gi en karakterisering av bijektive funksjoner, som ledet oss frem til en definisjon av inversfunksjoner.
12. september: Vi startet med ? repetere karakteriseringen av bijektive funksjoner og definisjonen av inversfunksjoner, f?r vi studerte egenskaper ved disse og hvordan dette henger sammen med komposisjon.
Fremover skal vi fokusere p? f?lger og rekker, b?de av tall og av funksjoner. En god forst?else av konvergens inneb?rer ogs? forst?else av n?r dette ikke inntreffer, det vil si, divergens. Vi skal studere en f?lges delf?lger og ved hjelp av disse karakterisere n?r en f?lge kan konvergere eller ikke; det viser seg at det er den samme symmetrien som brytes n?r en begrenset f?lge av reelle tall feiler ? konvergere som n?r en begrenset funksjon feiler ? v?re Riemann-integrerbar. Fra denne innsikten skal vi h?ste goder som at det reelle tallsystemet er komplett og Bolzano–Weierstrass' teorem. Sistnevnte er et frampek mot f?lgekompakthet, et topologisk begrep som har mye for seg, og vi skal benytte dette til ? bevise resultater om kontinuerlige funksjoner.
19. september: Vi startet p? v?rt studium av f?lger. Spesielt studerte vi konvergens av reelle f?lger ved ? se p? dens delf?lger.
26. september: Vi repeterte begreper knyttet til minste ?vre skranker og st?rste nedre skranker av delmengder av de reelle tallene. Deretter innf?rte vi begrepene ?vre og nedre grense til en begrenset f?lge av reelle tall (?limsup? og ?liminf?).
3. oktober: Vi studerte egenskaper ved ?vre og nedre grenser (?limsup? og ?liminf?).
10. oktober: Ingen grublegruppe denne uken grunnet midtveiseksamen.
17. oktober: Vi endte opp med ? benytte hele gruppetimen til ? forf?lge noe som opprinnelig var en digresjon om metriske rom, og vi snakket en del om kontraksjoner, kontraksjonsprinsippet for komplette metriske rom og anvendelser av dette til studiet av differensiallikninger.
24. oktober: Vi repeterte og viste videre egenskaper ved ?vre og nedre grenser av f?lger (?limsup? og ?liminf?). Blant resultatene vi viste var Bolzano–Weierstrass-teoremet, som vi skal bruke neste gang til ? vise resultater om kontinuerlige funksjoner.
31. oktober: Vi benyttet Bolzano–Weierstrass-teoremet til ? gi et bevis for ekstremalverdisetningen. Videre s? vi p? grunnleggende egenskaper ved cauchyf?lger og viste komplettheten av de reelle tallene.
7. november: Vi s? p? grunnleggende teori for rekker av reelle tall med fokus p? konvergens og noen konvergenstester.
14. november: Etter innspill fra deltakerne sporet vi f?rst litt av og snakket om Lipschitz-kontinuitet. Deretter fortsatte vi med det planlagte programmet, hvor vi beviste forholdstesten for absolutt konvergens av rekker, som vi igjen benyttet til ? vise (absolutt) konvergens av rekkene for eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene.
21. november: Vi innf?rte begrepene punktvis og uniform konvergens for f?lger og rekker av reelle funksjoner. Vi viste at kontinuitet er bevart under uniforme grenser og Weierstrass' test for uniform konvergens av funksjonsrekker. Som anvendelser viste vi kontinuitet av eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus.
28. november: Avlyst.