Fredag 26/11 (forelesning, Mike). Gikk gjennom mesteparten av Del 2 av fjor?rets eksamen.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 22/11 (forelesning, Mike). Gikk gjennom Oblig 2 og Del 1 av fjor?rets eksamen.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 19/11 (forelesning, Mike). Gikk gjennom feilanalysen av Newtons metode, som viser at den har kvadratisk konvergens. Utledet ogs? sekantmetoden.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 15/11 (forelesning, Mike). Vi studerte Eulers metode for et system av f?rste ordens ligninger, og s? hvordan vi kan konvertere en annen ordens ligning til et system av to f?rste ordens ligninger. Etterp? begynte vi p? nullpunktsmetoder. Vi studerte halveringsmetoden, og begynte ? se p? Newtons metode.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 12/11 (forelesning, Mike). Vi utledet l?sningen til homogene differensialligninger n?r r?ttene er komplekse. Etterp? s? vi p? hvordan vi l?ser inhomogene ligninger n?r h?yresiden tillater det. Vi s? et eksempel hvor h?yresiden er et (line?rt) polynom. Vi begynte ogs? ? se hvordan ? l?se en andre ordens ligning numerisk: et triks er ? omskrive den som et system (par) av f?rste ordens ligninger. Neste uke skal vi se hvordan vi kan utvide Eulers metode til ? l?se slike ligningssystemer. Jeg m?tte bruke tavlen igjen.
lignende notater fra 2020, pdf
Onsdag 10/11 (forelesning, Mike). Vi begynte p? andre ordens differensialligninger. Vi skal bare studere de som er line?re og har konstante koeffisienter. Da bruker vi den karakteristiske ligningen (husk l?sningsmetoden for differensligninger!), og formen av l?sningen er avhengig av hvordan r?ttene er. Det er tre tilfeller vi m? behandle (igjen, analogt med l?sningsmetoden for differensligninger). Vi gikk gjennom tilfeller (i) og (ii). Jeg m?tte bruke tavla igjen, s? det er dessverre ingen opptak.
lignende notater fra 2020, pdf
Mandag 08/11 (forelesning, Mike). P? grunn av teksniske problemer, m?tte jeg forelese p? tavlen i dag. S? det er ikke noe opptak og det er ingen notater. Jeg gikk gjennom seksjonene i Kalkulus om l?sning av f?rste ordens differensialligninger: (i) line?re ligninger (Sek. 10.1) og separable ligninger (Sek 10.4). Gikk ogs? gjennom en god del eksmpler, og anvendelser, blant annet modellering av dyrepopulasjoner (10.2.1, 10.4.4) og modellering av vannet som renner ut av et kar (10.4.5).
lignende notater fra 2020: pdf1, pdf2
Fredag 05/11 (forelesning, Mike). M?tte avlyse forelesningen fordi pennen til smartboardet i Sophus Lie fungerte ikke. Planen var ? g? gjennom to klasser av f?rste ordens differensialligninger som kan l?ses analytisk (eksakt), (i) line?re ligninger (Kalkulus, Sekson 10.1) og (ii) separable ligninger (Kalkulus, Seksjon 10.4). Jeg har gitt beskjed til matnat-drift om det tekniske problemet. Hvis problemet er l?st innen mandag, skal jeg forelese p? mandag.
Mandag 01/11 (forelesning, Mike). Vi studerte differensialligninger av f?rste orden, og utviklet en metode, Eulers metode, for ? l?se dem numerisk. Vi utledet ogs? Eulers midtpunktmetoden, som har h?yere n?yaktiget. Begge metodene kommer fra numerisk derivasjon, hvor vi approksimerer den f?rste deriverte med en "differansekvotient" (Newton quotient).
pdf, opptak av forelesning
Fredag 29/10 (forelesning, Mike). Vi studerte trapesregelen og Simpsonsregelen. Midtpunkt- og trapes-metodene har O(h^2) konvergens, Simpsonsmetode har O(h^4) konvergens.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 25/10 (forelesning, Mike). Vi studerte midtpunktmetoden for ? approksimere integralet av en funksjon. Vi utledet et feilestimat basert p? restleddet i en passende Taylorapproksimasjon.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 22/10 (forelesning, Mike). Vi s? p? diverse metoder for ? estimere den deriverte av en funksjon, gitt m?leverdier i noen punkt. Vi brukte Taylorapproksimasjoner med restledd til ? analysere feilen, b?de med og uten effekten av avrundingsfeil.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 18/10 (forelesning, Mike). Vi studerte polynominterpolasjon, og fant en metode for ? finne polynomet basert p? Newtonformen. N? har vi sett to m?ter ? approksimere en funkson med et polynom p?: Taylorapproksimasjon og polynominterpolasjon.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 08/19 (forelesning, Mike). Vi utledet formler for feilen, eller "restleddet", R_nf(x) i Taylorapproksimasjon. Vi viste blannet annet at R_nf(x) ser ut som neste ledd i Taylorutviklingen, og er relativt lett ? huske. Vi s? p? en anvendelse av formlen: vi estimerte feilen n?r vi bruker en Taylorapproksimasjon til ? beregne e^x. Vi fant ut hvor stor n m? v?re for ? tilfredstille en gitt toleranse p? feilen.
pdf, opptak av forelesning
Onsdag 06/10 (forelesning, Mike). Gikk gjennom Oppgaver 10,12,13,14,15,16,18 fra fjor?rets midtveiseksamen (H2020).
pdf, opptak av forelesning
Mandag 04/10 (forelesning, Mike). Vi begynte p? Taylorapproksimasjon. Fant formelen for Taylorapproksimasjonen av orden n til en funksjon f(x) om et punkt x = a. Det er et polynom av grad <= n. Vi tok eksponentialfunksjonen og sinus og cosinus som eksempler av f(x).
pdf, opptak av forelesning
Fredag 01/10 (forelesning, Mike). I f?rste timen s? vi p? hvordan l?sningen til en differensligning kan v?re ustabil, i den forstand at en liten endring i initialbetingelsene kan f?re til en stor endring i l?sningen n?r n er stor. Ustabiliteten oppst?r n?r initialbetingelsene er slik at koeffisienten til det dominante leddet i den generelle l?sningen er 0. Denne ustabiliten oppst?r hvis det skjer avrundingsfeil enten i initialbetingelsene eller koeffisientene i ligningen (Kap. 6, Kompendiet). Etter det gikk vi gjennom de f?rste 9 oppgaver fra midtveiseksamen H2020.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 27/09 (forelesning, Mike). Vi studerte videre modellen for en smittsom skydom og diskuterete grensen va l?sningen n?r n g?r til uendelig. Etterp? begynte vi p? ? l?se inhomogene ligninger. Vi finner en l?sning p? formen x_n = x_n^h + x_n^p.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 24/09 (forelesning, Mike). Vi fortsatte med homogene annen ordens ligninger, og vi utledet den generelle l?sningen i tillfelle (ii) en rot, og tilfelle (iii) to komplekser r?tter. Vi s? p? flere eksempler. Vi begynte ? studere en ligning som oppst?r fra en modell for en smittsom sykdom, og vi skrev en liten pythonscript for ? l?se den numerisk.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 20/09 (forelesning, Knut M?rken). Differensligninger var tema i dag, fra kapittel 4 i Kalkulus. Vi begynte med ? se p? et par eksempler som gir opphav til f?rsteordens og andreordens differensligninger. Deretter s? vi hvordan vi kan l?se homogene og line?re ligninger av begge typer. Merk at det ikke ble gjort opptak av f?rste time.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 17/09 (forelesning, Mike). Vi definerte absolutt og relativ feil og s? hvordan relativ feil er en god m?te ? m?le feil p? n?r vi bruker flyttall, b?de selve avrundingsfeil, og feilen som oppst?r n?r vi bruker addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (flops). Store feil kan oppst? fra addisjon og subtraksjon. Vi nevnte til slutt differensligninger. Vi skal se hvordan ? l?se de neste uke.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 13/09 (forelesning, Mike). Tema i dag var representasjon av heltall og reelle tall i datamaskin, seksjonene 4.1 og 4.2 i kompendiet. Vi begynte ogs? p? kapittel 5 og kom fram til algoritmen for addisjon av flytall (algoritme 5.8).
pdf, opptak av forelesning
Fredag 10/09 (forelesning, Vegard) Vi jobbet mer med tallsystemer. Vi s? p? relasjonen mellom tall i 2 og 16 tallsystemet og vi s? p? sifferutviklingen til rasjonale tall i intervallet (0,1). Til slutt l?ste vi oppgave 3.3.7 i kompendiet.
pdf, opptak av forlesning, tmp234.py
Mandag 06/09 (forelesning, Mike). Vi s? hvordan b?de heltall og tall i (0,1) kan representeres i ulike siffersystemer, Kapittel 3, Kompendiet.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 03/09 (forelesning, Mike). Formulerte kompletthet av R ved bruk av minste ?vre skranker. Vi begynte ? diskutere desimalformen av reelle tall og hvordan vi kan skille mellom de rasjonale og de irrasjonale. Dette gjelder ogs? for totallsystemet. Til slutt gikk vi gjennom noen av ukeoppgavene til Uke 1.
pdf, opptak av forelesning
Onsdag 01/09 (forelesning, Mike). Mer fra Seks. 2.2. Viste at ethvert ?pnet intervall inneholder rasjonale og irrasjonale tall. Brukte Arkimedes' prinsipp.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 30/08 (forelesning, Mike). Begynte p? Kap. 2, Intervaller, trekantulikheten, rasjonale og irrasjonale tall, og kombinasjoner av de. Viste at kvadratroten av 2 er irrasjonalt.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 27/08 (forelesning, Mike). Vi gikk gjennom et nytt eksempel av induksjonsbeviset, Bernoulli's ulikhet, og snakket litt om generaliseringer av induksjonsprinsippet. S? var det binomialteoremet, binomialkoeffisienter, og Pascal's trekant, Seksjon 1.4 fra Kalkulus.
pdf, opptak av forelesning
Onsdag 25/08 (forelesning, Mike). Tema i dag var induksjon, seksjon 1.2 i Kalkulus. Vi gikk gjennom to induksjonsbevis i detalj i et fors?k p? ? tydeliggj?re kjernen i induksjonsprinsippet. Husk at P_n er et utsagn (ikke et tall, ikke en ligning!). Det er to ting ? vise: (i) at P_1 er sant og (ii) at hvis P_k er sant er ogs? P_{k+1} sant.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 23/8 (forelesning, Mike). Vi startet med litt informasjon om emnet. I andre time diskuterte vi noen grunnleggende egenskaper ved summetegnet.
pdf intro, pdf summetegn, opptak av forelesning