Forelesning 29/11 (Ulrik). Jeg gjennomgikk f?lgende eksamensoppgaver: Oppgave 2 og 10 i del 1 (2016), oppg 4 i del 2 (2014), oppg 2 i del 2 (2016), oppg 2 i del 2 (2015). De to sistnevnte handler om differensligninger og er ikke relevante for MAT-IN1105.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 26/11 (Knut). Vi er ferdig med pensum og i dag gjennomgikk jeg tre eksamensoppgaver: Oppgave 1 fra del 2 h?sten 2015, oppgave 3 og 4 fra del 2 eksamen h?sten 2016.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 22/11 (Knut). Tema i dag var representasjon av tekst p? datamaskin, seksjon 4.3 i kompendiet. Dette h?res kanskje ikke s? veldig matematisk ut, men det ligger gode, logisk prinsipper bak, og ikke minst er det nyttig allmennkunnskap. Og dermed er dere kjent med hvordan b?de tall og tekst representeres p? datamaskin.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 20/11 (Vegard). Komp. 12.2.2, 12.2.4, 12.3.2, 12.3.4, 13.6.1a, 13.6.1b.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd integration.py
Forelesning 19/11 (Knut). I dag gikk vi tilbake og repeterte numerisk derivasjon, s?rlig feilanalysen med b?de trunkeringsfeil og avrundingsfeil for den enkleste metoden (Newton kvotienten), se seksjon 11.2 i kompendiet.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 15/11 (Ulrik). I dag gikk vi grundigere gjennom numerisk integrasjon (eller "numerisk kvadratur"), kapittel 12 i kompendiet. Alle metodene (midtpunktmetoden, trapesmetoden og Simpsons metode) g?r ut p? ? dele opp intervallet [a, b] i n mindre intervaller, og i hvert av disse intervallene tiln?rme f(x) med et polynom p(x) (hhv. en konstant funksjon, en line?r funksjon og et annengradspolynom).
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 13/11 (Vegard). Vi gjorde ferdig oppgave 3 fra eksamen 2016. Deretter l?ste vi oppgaver i Kalkulus: 10.5.3a, 10.6.2, 10.6.6.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 12/11 (Vegard). I f?rste time repeterte halveringsmetoden og sekantmetoden f?r vi gikk gjennom Newtons metode. Deretter s? vi p? konvergens av de ulike metodene ved ? se p? et eksempel. Til slutt snakket vi om stoppekritere for disse metodene. I andre time skiftet vi tema til differensialligninger og s? p? hvordan feilen i Euler og Eulers midtpunktmetode reduseres med forskjellig rate, n?r vi velger h liten. Til slutt begynte vi p? oppgave 3 fra eksamen 2016. Resten av denne oppgaven kommer p? plenumsregning.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd. zeros_of_functions.py conv_rate.py
Forelesning 8/11 (Vegard). Vi gikk gjennom halveringsmetoden og sekant metoden, samt litt feilanalyse p? begge metodene.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd. Kode.
Plenum 6/11 (?yvind). Kalkulus 10.1.3d), 10.3.3, 10.4.9. Den siste rakk vi ikke i sin helhet. L?sningsforslag for hele kan du finne her.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning 5/11 (Ulrik). Denne forelesningen avsluttet vi stoffet om numeriske ligninger for differensialligninger. Vi tok f?rst for oss h?yereordens metoder (seksjon 13.4 i kompendiet), spesielt Eulers midtpunktmetode og Runge-Kutta-metodene. Vi s? deretter p? h?yereordens differensialligninger (alts? med flere deriverte av x), og hvordan disse kan gj?res om til systemer av f?rsteordens differensialligninger (seksjon 13.5). Dette er fint fordi vi da kan anvende alle v?re numeriske metoder ogs? p? slike diffligninger. Til slutt startet vi s?vidt p? kapittel 10.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 1/11 (Knut). Nok en forelesning som startet med differensialligninger, denne gangen mer om andreordens, inhomogene ligninger. Vi s? p? den generelle teknikken for ? finne partikul?rl?sninger og regnet et eksempel, se seksjon 10.6 i Kalkulus. I andre time startet vi med definisjonen av det bestemte integralet og s? hvordan vi fra det kunne utlede noen enkle metoder for numerisk integrasjon, se seksjonene 12.1 og 12.2 i kompendiet.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 30/10 (Vegard). Komp. 9.2.3ab, 9.2.4ab, 9.2.5.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 29/10 (Knut). I dag var det enda mer differensialligninger, denne gangen analytisk l?sning av andreordens, line?re ligninger med konstante koeffisienter, seksjon 10.5 og 10.6 i Kalkulus. Vi utledet oppskriften for ? l?se homogene ligninger ved hjelp av det karakteristiske polynomet og s? p? de tre forskjellige tilfellene som dukker opp. P? slutten rakk vi ogs? ? se litt p? inhomogene ligninger — vi fortsetter med det p? torsdag.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 25.10 (Ulrik). Vi fortsatte med differensialligninger. Vi gikk raskt gjennom l?sningsmetodene for f?rsteordens line?re (seksjon 10.1-10.3 i Kalkulus) og separable (seksjon 10.4) differensialligninger. Vi gikk s? tilbake til numeriske metoder for f?rsteordens differensialligninger: Med et litt uformelt argument viste vi at Eulers metode har en feil som kan begrenses med \(Ch\) for en konstant \(C\) -- metoden er alts? av f?rste orden. Vi s? ogs? at i problemer der l?sningen endrer seg fort (s? \(x'(t)\) eller \(x''(t)\) er veldig store) vil Eulers metode gi store oscillasjoner. En implisitt metode, som Implisitt Euler, vil fungere mye bedre.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 23.10 (Vegard). Kalkulus: 11.2.5, 11.2.6, 11.2.9.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 22.10 (Ulrik). I dag var temaet numerisk derivasjon og differensialligninger. Vi utledet approksimasjoner av den deriverte \(f'(a)\) som bare inneholder funksjonsverdier \(f(a-h), f(a), f(a+h)\) for et lite tall \(h>0\). Vi utledet ogs? et feilestimat som sier at Newtons differansekvotient har en feil mindre enn \(Ch\), mens sentrale differanser har en feil mindre enn \(Ch^2\). Vi fortsatte s? med differensialligninger -- s? p? noen eksempler p? ligninger, noen klasser av ligninger som du har l?rt ? l?se eksakt p? videreg?ende, og vi utledet Eulers metode for ? l?se ligningen numerisk.
Forelesning: pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 18.10 (Knut). Tema for fortsatt restleddet i Taylors formel. Vi s? p? et lite program som regnet ut tallet e ved hjelp av Taylor-polynomet og vi s? p? et annet eksempel fra Kalkulus (seksjon 11.2, eksempel 11.2.5) p? hvordan et integral kan beregnes ved hjelp av Taylor-polynomer. Til slutt gikk vi raskt gjennom interpolasjon, seksjone 9.2.1 og 9.2.2 i kompendiet.
Forelesning: pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 16.10 (Vegard). Vi snakket litt om Taylor-polynomer med og uten restledd. Kalkulus: 11.1.2, 11.1.11, 11.2.1.
Forelesning: pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 15.10 (Knut). Vi repeterte f?rst raskt definisjonen av Taylor-polynomet og s? deretter hvordan vi kunne utlede feilleddet fra analysens fundamentalteorem (seksjon 11.2 i Kalkulus), inkludert Lagrange-formen. P? slutten s? vi p? et eksempel som illustrerte hvordan vi kan bruke feilleddet til ? estimere feil.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 04.10 (Ulrik). Vi begynte med taylorpolynomer og studerte uttrykket for tangenten p til en funksjon f i et punkt a. Motivert av at tangenten ligger n?rme funksjonen, sp?r vi oss om vi kan finne et n-tegradspolynom p slik at p og f b?de deler funksjonsverdi og alle deriverte opp til orden n i punktet a. Vi viste at det finnes et unikt polynom med denne egenskapen, og det kaller vi "taylorpolynomet til f av grad n i punktet a". Med eksempelet f(x)=sin(x) s? vi at vi f?r en bedre tiln?rming n?r vi ?ker graden n til polynomet.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Plenum tirsdag 02.10 (Vegard) Kalkulus: 4.1.5a, 4.2.5b. Komp: 6.5.4. Kode. Datamaskinen i auditoriet hadde bare python 2 installert, s? koden er skrevet for python 2. Legg merke til at jeg hadde en liten feil i koden p? forelesning. Dette gjorde at noen av de f?rste tallene som ble regnet ut var feil. Resultatet blir uansett at vi f?r overflow. Har oppdatert kodefila.
pdf Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 01.10 (Knut). I dag hadde vi en liten repetisjonsforelesning. Tanken var at dette kunne v?re nyttig f?r eksamen for dere som tar MAT-INF1100. Og for dere som tar MAT-IN1105 er det forh?pentligvis nyttig ? litt innsikt i det som har skjedd i MAT-INF1100 i f?rste halvdel av semesteret.
Forelesning: pdf. Grafisk oversikt over pensum. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 27.09 (Ulrik). Vi s? p? to eksempler p? modellering av fysiske fenomener ved hjelp av differensligninger.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd (jeg glemte dessverre ? skru p? opptak f?rste halvdel av forelesningen)
Plenum tirsdag 25.09 (Vegard). Kompendiet: 4.1.2abc, 4.2.5ab, 5.2.2, 5.2.6ab. Jeg rakk ikke oppgave 5.2.6cd og 5.2.4. Her er mine notater til dem.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 24.09 (Ulrik). Vi tok for oss annenordens inhomogene differensligninger med konstante koeffisienter. Hovedresultatet i denne seksjonen sier at hvis vi klarer ? finne én enkelt l?sning \(\{x_n^p\}\) av den inhomogene ligningen, s? vil alle andre l?sninger \(\{x_n\}\) kunne skrives p? formen \(x_n = x_n^p + x_n^h\), der \(\{x_n^h\}\) er en l?sning av den tilh?rende homogene ligningen (som vi jo l?rte ? l?se i Seksjon 4.1). Partikul?rl?sninger \(\{x_n^p\}\) finner vi ved ? gjette p? en l?sning av samme form som h?yresiden \(f(n)\) (for eksempel et polynom eller en trigonometrisk funksjon).
Vi gikk ogs? over til seksjon 6.3 og 6.5 i kompendiet, der vi s? hvordan vi beregner l?sninger av differensligninger, og vi s? at avrundingsfeil i visse tilfeller kunne gj?re stor skade p? n?yaktigheten i beregningene.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 20.09 (Ulrik). Vi fortsatte ? finne l?sninger av annenordens, homogene differensligninger med konstante koeffisienter. Ved ? studere det karakteristiske polynomet til differensligninga fant vi l?sninger p? formen \(r^n\) (og \(nr^n\) n?r det bare er én rot), der \(r\) er en rot av det karakteristiske polynomet. Vi beviste det essensielle superposisjonsprinsippet: Ved ? summere l?sninger av differensligninger eller gange dem med konstanter, f?r vi nye l?sninger.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
LaTeX-forelesning tirsdag 18.09 (Knut). Dette var en kort demonstrasjon av LaTex.
Kopi av endelig LaTeX-dokument. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum tirsdag 18.09 (Vegard). Komp. 3.2.2ab, 3.2.5ac, 3.3.3ab, 3.3.7.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 17.09 (Knut). Vi studerte kansellering, en viktig effekt av representasjonen av reelle tall i datamaskinen. Dette stoffet finner du i seksjon 5.2 i kompendiet, s?rlig eksempel 5.12. Vi definerte ogs? relativ feil og s? hvordan denne kan gi et m?l p? antal riktige siffer i en flyttallsrepresentasjon. Den siste halvtimen brukte vi p? ? introdusere differensligninger (seksjon 4.1 i Kalkulus), og vi gjennomgikk griunntanken i hvordan andreordens, homogene ligninger med konstante koeffisienter l?ses. Merk at vi gjennomg?r stoff litt raskt n? for ? gi dere det grunnlaget dere trenger for ? l?se oppgavene i obligen.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning torsdag 13.09 (Knut). Vi gjennomgikk f?rst lemma 3.22 i kompendiet som forteller oss hvilke reelle tall som har en endelig sifferutvikling i \(\beta\)-tallsystemet. Deretter gikk vi over til ? se p? representasjon av heltall og reelle tall i datamaskin, seksjonene 4.1 og 4.2 i kompendiet.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum tirsdag 11.09 (Vegard). Vi l?ste oppgaver i Kalkulus. Oppgave. 1.4.2b, 1.4.5, 1.4.8a, 2.1.8, 2.1.9, 2.1.10. 2.2.8. Jeg rakk ikke oppgave 2.2.9, men den er stort sett det samme som 2.2.8. Bruk at hvis n ikke er et kvadrattall, s? vil en av primtallsfaktorene forekomme et odde antall ganger. Jeg legger ved et l?sningsforslag p? 2.3.6.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 10.09 (Ulrik). Vi fortsatte med representasjon av desimaltall i andre tallsystemer. Gjennom et eksempel beviste vi at representasjonen av et desimaltall i et vilk?rlig tallsystem er unik, s?fremt man ser bort fra tall som ender med en uendelig rekke av siffer \(d_i = \beta-1\). Vi s? ogs? p? to algoritmer for ? beregne sifrene til et tall. Vi avsluttet med observasjonen at et tall \(a\) er irrasjonelt hvis og bare hvis tallet har en rekke med siffer som gjentar seg uendelig mange ganger.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 06.09 (Ulrik). Vi introduserte forskjellige tallsystemer og diskuterte fordeler og ulemper med f? eller mange sifre i tallsystemet: I \(\beta\)-tallsystemet trenger vi \(\beta\) forskjellige symboler for tall; jo mindre \(\beta\) er, jo mindre rom er det for feillesing av et siffer; og et tall med \(n\) sifre kan uttrykke \(\beta^n\) forskjellige tall. Gjennom et eksempel beviste vi at representasjonen av et tall i et vilk?rlig tallsystem er unik, og ut av beviset fant vi en algoritme for ? beregne sifrene. Vi rakk ogs? innom de bin?re (\(\beta=2\)) og hexadesimale (\(\beta=16\)) tallsystemene, og fant ut at det er lett ? konvertere mellom disse: Enhver sekvens av fire bits blir til én hexadesimal, og vice versa. Stoffet er hentet fra seksjon 2.1, 2.2, 3.1 og 3.2 i kompendiet.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 30.08 (Knut). Vi fortsatte med reelle tall og beviste at \(\sqrt{2}\) er et irrasjonalt tall. I andre time s? vi p? en del grunnleggende egenskaper for reelle tall og avsluttet med kompletthetsprinsippet. Alt dette er stoff fra seksjonen 2.3 og 2.4 i Kalkulus.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Plenum tirsdag 28.08 (Vegard). Vi snakket kort om hvordan plenumsregningene er lagt opp og l?ste deretter oppgaver. Kalkulus: 1.1.3ad, 1.1.6a, 1.2.2. Jeg skulle ogs? regne 1.2.5, men dette rakk jeg ikke. Jeg har derfor lagt ut notatene mine.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 27.08 (Knut). Vi fortsatte med stoff om heltall, mer presist binomialteoremet i seksjon 1.4. Selve formelen \((a+b)^n=\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i}b^i\)er ikke s? veldig komplisert i seg selv, men den inneholder mange symboler og kan virke vanskelig ? f? oversikt over. En n?kkelobservasjon er ? gjenkjenne at koeffisientene er hentet fra rad n i Pascals trekant. I tillegg er vi opptatt av ? bevise at formelen er riktig og da m? vi bevise at binomialkoeffisientene \({n \choose i}\) har samme egenskap som tallene i Pascals trekant, nemlig at et tall i en rad er summen av de to tallene rett over (i foreg?ende rad). For binomialkoeffesienter svarer dette til\({n+1 \choose i} = {n \choose i-1}?+ {n \choose i}\). En m?te ? vise dette p? er ? begynne med h?yre side, sette inn definisjonen av binomialkoeffisientene og s? forenkle. Det var dette vi gjorde i f?rste time p? forelesningen i dag, se notatene under.
I andre time s? vi p? reelle tall, seksjon 2.1 og 2.2. Dessverre glemte jeg ? skru p? igjen opptat etter pausen, s? den delen fins det ikke noe webcast fra. Det betyr at dere m? hjelpe meg ? huske p? ? skru p? opptak etter pausen!
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 23.08 (Knut). Tema i dag var induksjonsprinsippet eller induksjonsbevis, seksjon 1.2 i Kalkulus. Vi gjennomgikk et konkret induksjonsbevis i detalj, og l?ste en oppgave i tillegg. P? grunn av tekniske problemer ble det litt d?rlig tid p? slutten.
Notat om induksjon: pdf. Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 20.08 (Knut). I f?rste time ga jeg litt generell info rundt emnet, og i andre time begynte vi s? sm?tt p? matematikken ved ? se litt p? seksjon 1.1 i Kalkulus.
Presentasjon: pdf, forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.