Torsdag 28/11. I dag var tema aritmetisk koding, seksjon 7.5 i kompendiet. Merk at det blir ikke sp?rsm?l om dette i del 2 av eksamen (tekstsp?rsm?lene).
Fredag 22/11. Vi fortsatte med kompresjon og gjennomgikk Huffman-koding i seksjon 7.2 i kompendiet. Deretter gikk vi over p? seksjon 7.3 om informasjonsentropi. I andre time s? vi p? starten av aritmetisk koding, seksjon 7.4, men kom bare gjennom grunnideen.
Torsdag 21/11. Vi avsluttet representasjon av tekst ved ? se p? Unicode, s?rlig UTF-8 og UTF-16. Deretter begynte vi p? kompresjon og gjennomgikk seksjon 7.1 og begynnelsen av seksjon 7.2 i kompendiet.
Fredag 15/11. Vi s? f?rst p? l?sning av inhomogene, andreordens ligninger, seksjon 10.6 i Kalkulus. Deretter gikk vi over p? representasjon av tekst p? datamaskin, seksjon 4.3 i kompendiet.
Torsdag 14/11. Aller f?rst definerte vi feilen for en numerisk metode for ? l?se differensialligninger og oppsummerte feilestimatene for Euler, Euler midtpunkt, Taylor-metodene, og Runge-Kutta-metodene. Deretter gikk vi over p? l?sning av andreordens, line?re og homogene ligninger med konstante koeffisienter, seksjon 10.5 i Kalkulus.
Fredag 8/11. I dag avsluttet vi kapittel 13 om numerisk l?sning av differensialligninger. Vi begynte med ? karakteriserer f?rsteordens line?re, og separable ligninger som spesialtilfeller av de ligningene vi ser p? – for disse kan vi i prinsippet finne en formel for l?sningen. Deretter gikk vi over p? den generelle klassen av ligninger x'=f(t,x), s? litt p? n?r en slik ligning er l?sbar og definerte Eulers metode. Vi oberserverte deretter at vi kan derivere en differensialligning og finne en formel for den andrederiverte (og h?yere deriverte). Siden Eulers metode er basert p? ? f?lge tangenten fra et punkt til det neste, kan vi da generalisere og f?lge det kvadratiske Taylorpolynomet fra et punkt til det neste. Dette kan generaliseres til h?yere grad, og dette er de s?kalte Taylormetodene. Vi s? s?vidt p? Runge-Kutta metoder som 'leker' at de er Taylormetoder ved ? gj?re flere beregninger av f i hvert intervall. Til slutt s? vi p? systemer av differensialligninger og hvordan h?yereordens differensialligninger (med h?yere deriverte enn f?rste orden) kan skrives som et system av f?rsteordens ligniner.
Torsdag 7/11 (Geir Dahl). Geir gjennomgikk seksjonene 10.1-10.3 i Kalkulus om f?rsteordens line?re differensialligninger.
Fredag 25/10. Vi startet i Sek. 11.1 med ? utlede optimal steglengde for Newtonkvotienten, og illustrerte med et pythonprogram at denne steglengden virker optimal. Vi s? mer p? den generelle strategien med bruk av interpolasjon for ? tiln?rme den deriverte, og definerte en annen metode, kalt symmetrisk Newton, som bruker andre punkter til ? interpolere. Vi s? at symmetrisk Newton ga mindre matematisk feil, kj?rte denne p? samme funksjon som for newtonkvotienten, og verifiserte at feilen faktisk ble mindre. Vi begynte deretter p? numerisk integrasjon, og definerte f?rst midtpunktsmetoden og tilh?rende feilanalyse. Vi fortsetter med trapesmetoden neste gang.
Torsdag 24/10. Aller f?rst hadde vi en rask oppsummering av numeriske metoder for ? finne nullpunkter og deres feilestimater. Deretter testet vi alle tre metodene numerisk ved hjelp av Python-programmer. Etter dette gikk vi over p? kapittel 11 i kompendiet om numerisk integrasjon. Vi gikk gjennom mesteparten av seksjon 11.1 om den s?kalte Newton kvotienten, inkludert trunkeringsfeil og avrundingsfeil.
Fredag 18/10. Vi repeterte halveringsmetoden, forenklet algoritmen og utledet et feilestimat. Deretter introduserte vi ideene bak sekantmetoden og Newtons metode og s? hvordan disse ledet til algoritmer. Til slutt oppsummerte vi hvordan feilen oppf?rer seg for alle tre metodene.
Torsdag 17/10. Vi begynte med ? repetere interpolasjon og s? p? et konkret eksempel p? ? beregne interpolasjonspolynomet ved hjelp av dividerte differenser. Vi s? ogs? p? en formel som gir sammenheng mellom en dividert differens og derivasjon. Deretter snakket vi litt generelt om numeriske metoder f?r vi s? spesielt p? l?snings av ligninger ved hjelp av halveringsmetoden.
Fredag 4/10. Tema i dag var interpolasjon, kapittel 9 i Kompendiet. Vi definerte problemet, s? p? noen eksempler og definerte Newtonformen, og skrev opp interpolasjonspolynomet ved hjelp av dividerte differenser.
Torsdag 3/10. Vi ga to eksempler p? bruk av Taylors formel med feilledd. Det ene var beregning av tallet e med feil mindre enn 0.001 og beregning av integralet av sin(x)/x med feil mindre enn 0,0001. I begge tilfeller tiln?rmer vi med Taylorpolynomet av lavest mulig grad slik at n?yaktigheten n?s.
Fredag 27/9. Vi ga f?rst en veldig kort oppsummering av kjernen i differensligningstoffet fra Kompendiet. Deretter fortsatte vi med Taylorpolynomer og utledning av feilleddet, seksjon 11.2 i Kalkulus
Torsdag 26/9. Vi begynte med ? gi en matematisk forklaring p? at vi fikk overflow da vi simulerte differensligningen i g?r, se seksjon 6.5.1 i Kompendiet. Deretter gikk vi over p? seksjon 11.1 i Kalkulus om Taylor polynomer.
Fredag 20/9. Vi fortsatte i seksjon 4.2 med ? regne eksempler p? inhomogene differenslikninger, b?de der h?yreside er et polynom (hvor vi i noen tilfeller m?tte g? opp en grad i det polynomet vi gjettet som en partikul?r l?sning), og der h?yresiden er en potens ganget med et polynom. Vi s? ogs? et siste eksempel der den homogene likningen hadde kun en reell rot. Vi hoppet s? til Seksjon 6.1-6.3 i kompendiet, der vi definerte differenslikninger mer generelt, og line?re differenslikninger mer generelt enn i Kalkulus. Vi formulerte algoritmer for ? simulere differenslikninger, og kj?rte et pythonprogram p? differenslikningen som genererte Fibonaccitallene. Vi sammenlignet med det vi fikk fra den matematiske formelen vi fikk for l?sningen for denne. Denne ga overflow for store verdier av n, i motsetning til programmet som simulerte differenslikningen direkte. Vi fortsetter p? dette neste gang.
Torsdag 19/9. Vi fortsatte i seksjon 4.1 i Kalkulus. Vi l?ste f?rst differenslikningen som gir opphav til Fibonaccitallene, der den karakteristiske likningen hadde to reelle r?tter. Deretter forklarte vi hvilke l?sninger vi f?r n?r vi har kun en reell rot, og n?r vi har to komplekse r?tter. I sistnevnte tilfelle kan l?sningen uttrykkes penest n?r vi skriver r?ttene i den karakteristiske likningen p? polarform, og vi regnet et eksempel med dette. Til slutt begynte vi p? Seksjon 4.2 om inhomogene differenslikninger (differenslikninger der h?yresiden ikke er 0), der vi brukte innskudd i bank med et fast uttak per ?r som et f?rste eksempel. Vi forklarte at slike kan l?ses ved f?rst ? finne en enkel l?sning (partikul?r l?sning) p? likningen, og s? finne den generelle l?sningen p? den homogene likningen. Vi avsluttet med ? skrive opp fremgansm?ten for ? finne en partikul?r l?sning n?r h?yresiden er et polynom. Vi fortsetter med et eksempel p? dette i morgen.
Fredag 13/9. Vi gjennomgikk seksjon 5.3 i kompendiet om m?ling av feil og seksjon 5.4 om hvordan et uttrykk noen ganger kan skrives om slik at det blir mindre f?lsomt for avrundingsfeil. Deretter begynte vi p? seksjon 4.1 i Kalkulus om homogene differensligninger. Vi kom ikke helt gjennom s? siste halvdel gjennomg?s neste uke.
Torsdag 12/9. Vi innf?rte normalformen for reelle tall, b?de desimalt og bin?rt, og s? hvordan vi da kan lagre (tiln?rminger til) reelle tall p? datamaskin (flyttall) ved ? lagre signifikanden og eksponenten (seksjon 4.2 i kompendiet). Deretter gikk vi over p? seksjon 5.1 og 5.2 i kompendiet om aritmetikk p? datamaskin. Vi s? s?rlig p? hvordan addisjon av flyttall av foreg?r og hvordan vi kan f? kansellering og miste siffer n?r to nesten like tall subtraheres.
Fredag 6/9. Tema er stadig representasjon av tall. I dag fortsatte vi med representasjon av reelle tall i intervallet (0,1) og beskrev algoritme 3.16 for hvordan dette kan gj?res. Deretter viste vi at de rasjonale tallene er de eneste som har en repeterende sifferutvikling og vi karakteriserte de tallene i (01,) som har en endelig sifferutvikling i grunntall beta. Vi s? raskt p? aritmetikk i grunntall beta f?r vi gikk over til ? se p? hvordan heltall representeres p? datamaskin, seksjon 4.1 i kompendiet.
Torsdag 5/9. Tema for tiden er representasjon av tall i ulike siffersystemer. Vi repeterte raskt representasjon av heltall fra seksjon 3.2 i kompendiet. Deretter gikk vi over p? representasjon av reelle tall i intervallet (0,1) (seksjon 3.3). Vi rakk s? vidt ? se hvordan dette kan gj?res for en br?k og fortsetter med det i morgen.
Fredag 30/8. Vi startet med ? repetere kompletthetsprinsippet fra i g?r, gikk gjennom aksiomene for reelle tall og s? litt p? hvordan ulike reelle tall kan karakteriseres som desimaltall. Deretter reflekterte vi litt over hvorfor det er lurt ? representere informasjon ved hjelp av 0 og 1 for ? f? robust kommunikasjon (seksjonene 2.1 og 2.2 i kompendiet). I andre time gjennomgikk vi representasjon av heltall i vilk?rlige siffersystemer (seksjon 3.2 i kompendiet).
Torsdag 29/8. Vi fortsatte med rasjonale og irrasjonale tall og viste at kvadratroten av 2 er irrasjonal. Deretter gikk vi over til ? definere minste ?vre skranke og gjennomg? kompletthetsprinsippet (seksjon 2.3 i Kalkulus).
Tirsdag 27/8. I dag startet vi p? kapittel 2 i Kalkulus om reelle tall. Vi definerte ?pne og lukkede intervaller, viste trekantulikheten og introduserte rasjonale og irrasjonale tall. Mer p? torsdag!
Fredag 23/8. Vi startet med ? gjennomg? et lite eksempel der induksjon blir litt mer komplisert enn i den enkleste utgaven vi s? p? p? torsdag. Deretter s? vi n?yere p? summetegnet og noen enkle regneregler for summer, se seksjon 1.1 i Kalkulus. Tema i andre time var binomialteoremet og Pascal's trekant, seksjon 1.4 i Kalkulus.
Torsdag 22/8. Vi ?pnet med litt notasjon om heltall og summetegn. Deretter ble resten av dagen viet til induksjon. Vi beviste formelen for summen av de n f?rste heltallene i detalj - dette er oppsummert i et notat som du finner p? emnesiden. Til slutt gjennomgikk jeg oppgave 1.2.6 i Kalkulus som eksempel p? induksjon for ? l?se en helt annen type problem.
Tirsdag 20/8. I dag var det bare en times forelesning med generell info. Kopi av foilene blir lagt ut.