Tirsdag 27/11. I f?rste time avsluttet vi stoffet om aritmetisk koding ved ? se p? egenskaper ved denne kodingsmetoden, seksjon 7.4.3 i kompendiet. I andre time demonstrerte jeg lyd ved hjelp av datamaskin, se kapittel 8 i kompendiet.
Onsdag 21/11. Vi s? p? den andre kompresjonsmetoden, aritmetisk koding, seksjon 7.4 i kompendiet. Det som gjenst?r er seksjon 7.4.3.
Tirsdag 20/11. Tema i dag var Huffman-koding, seksjon 7.2 i kompendiet. Vi gjennomgikk definisjonen av Huffman-tre og Huffman-algoritmen. Til slutt tok vi for oss seksjon 7.3.
Onsdag 14/11. Vi fortsatte med representasjon av tekst og s? i detalj p? representasjon av Unicode med UTF-8 og UTF-16, og demonstrasjon p? datamaskin ved hjelp av programmet od. Mot slutten begynte vi p? kompresjon (seksjon 7.1 i kompendiet) og begynnelsen av seksjon 7.2.
Tirsdag 13/11. I f?rste time var tema l?sning av andreordens, inhomogene, line?re differensialligninger med konstante koeffisienter, seksjon 10.6 i Kalkulus. I andre time begynte vi p? seksjon 4.3 i kompendiet, representasjon av tegn i datamaskin.
Onsdag 7/11. Vi avsluttet feilanalysen for Eulers metode og gikk deretter over til seksjon 10.5 i Kalkulus, analytisk l?sning av homogen, andreordens, line?re differensialligninger som vi avsluttet. Til slutt rakk vi s?vidt ? se p? inhomogene ligninger av samme type (seksjon 10.6 i Kalkulus), dette avslutter vi p? tirsdag.
Tirsdag 6/11. F?rste tema i dag var numerisk l?sning av systemer av f?rsteordens differensialligninger, seksjon 13.8 i kompendiet. Vi s? at ved innf?ring av vektornotasjon s? kan vi skrive et slikt system p? en kompakt m?te som gj?r det enkelt ? generalisere de numeriske metoder som Euler og Runge-Kutta til slike systemer. Vi s? ogs? hvordan differensialligninger av h?yere orden kan skrives som et system av f?rsteordens ligninger. I andre time begynte vi p? feilanalyse av Eulers metode (for en ligning).
Onsdag 31/10. Vi begynte med ? repetere Eulers metode for numerisk l?sning av differensialigninger som er basert p? ideen om ? f?lge tangentretningen for ? komme fra et tiln?rmingspunkt til det neste. Denne ideen kan lett generaliseres til ? g? videre ved hjelp av et Taylorpolynom av grad 2 eller h?yere om vi kan f? tilgang p? h?yere deriverte av den ukjente l?sningen. Vi s? at dette lar seg lett gj?re ved ? derivere differensialligningen, se seksjon 13.5 i Kompendiet. P? bakgrunn av dette s? vi i detalj p? en kvadratisk Taylormetode, se sekjson 13.6.1, og hvordan denne kan generaliseres til h?yere grad.
Tirsdag 30/10. Vi startet p? kapittel 10 i Kalkulus (differensiallikninger). Vi startet med ? beskrive f?rsteordens line?re differensiallikninger, og viste ved eksempler hvordan disse kan l?ses ved hjelp av metoden der vi fant en integrerende faktor. Deretter viste vi ved noen eksempler hvordan vi fant differensiallikninger ved ? oversette fra et praktisk problem, for eksempel en dyrepopulasjon med en gitt vekstrate. Vi s? og? p? eksistens og entydighet av l?sninger i f?rsteordens line?re likninger, og p? separable differensiallikninger, som er en annen type likninger med en grei l?sningsmetode.
Onsdag 24/10. Vi avsluttet feilanalysen for midtpunktmetoden for numerisk integrasjon, inkludert det ? estimere den globale feilen, og gjennomgikk ideene bak trapesmetoden og Simpsons formel. For de to siste metodene refererte vi bare feilformelene. Vi begynte deretter p? numerisk l?sning av differensialligninger. Vi s? at en differensialligning kan brukes til ? beskrive tangenten til l?sningen over alt og at utfordringen er ? finne fram til l?sningen fra denne informasjonen. Denne observasjonen brukte vi til ? utlede Eulers metode for numerisk l?sning av differensialligninger (seksjon 13.3 i Kompendiet), og vi s? til slutt hvordan en naturlig forbedring av Eulers metode leder til Eulers midtpunktmetode (seksjon 13.7.1 i Kompendiet).
Tirsdag 23/10. I f?rste time avsluttet vi numerisk derivasjon. Vi repeterte fakta om den enkleste metoden i seksjon 12.1 (i kompendiet), gjennomgikk den generelle framgangsm?ten i seksjon 11.2 for konstruksjon av metoder for numerisk derivasjon, og viste hvordan metodene i seksjonene 11.3 og 11.5 framkommer. I andre time begynte vi p? numerisk integrasjon. Vi s? raskt p? definisjonen av integralet og hvordan teorem 12.3 i kompendiet kan utnyttes til ? f? fram en enkel, men god metode for numerisk integrasjon, nemlig midtpunktmetoden. Vi gjennomgikk s? starten av feilanalysen p? sidene 310 og 311.
Onsdag 17/10. I dag var tema numerisk derivasjon. Vi gjennomgikk den enkle metoden i seksjon 11.1 i kompendiet som er basert p? definisjonen av den deriverte og viste med et eksempel hvordan denne oppf?rer seg numerisk. Deretter utledet vi det totale feilestimatet (trunkeringsfeil + avrundingsfeil).
Tirsdag 16/10. Vi fortsatte ? snakke om halveringsmetoden, sekantmetoden og Newtons metode. Vi forklarte at mens halveringsmetoden alltid virker, s? vil de to andre bare virke n?r vi har begrensinger bort fra 0 p? den deriverte, og de vil virke kun n?r vi starter n?r nok nullpunktet. N?r betingelsene er oppfylt forklarte vi hvor raskt vi kan forvente at metodene konvergerer mot nullpunktet, og tolket dette med tanke p? hvor mange flere riktige siffer vi f?r i hver iterasjon. Vi s? p? implementasjoner av de tre metodene, der vi stoppet metoden etter et gitt antall iterasjoner, og n?r den relative feilen ble liten nok. I andre time begynte vi p? kapitlet om numerisk derivasjon, og s? p? Newtonkvotienten som en helt enkel tiln?rming til den deriverte. Vi fant et estimat p? trunkeringsfeilen som Newtonkvotienten gir, og starter i neste time med ? regne p? avrundingsfeilen som dukker opp i Newtinkvotienten.
Onsdag 3/10. I f?rste time repeterte vi polynominterpolasjon - gikk gjennom de grunnleggende stegene i det generelle tredjegradstilfellet. Deretter begynte vi p? kapittel 10 i kompendiet, om metoder for ? beregne nullpunkter. Jeg begynte med en liten demonstrasjon av Mathematica. Deretter gjennomgikk vi den grunnleggende ideen bak de tre metodene halveringsmetoden, sekantmetoden og Newtons metode.
Tirsdag 2/10. Interpolasjons med polynomer var tema i dag. Vi begynte med ? definere interpolasjonsproblemet, introduserte Newton-formen for interpolasjonspolynomet og viste at det kan beregnes ved hjelp av dividerte differenser.
Onsdag 26/9. I dag var tema restleddet i Taylors formel, seksjon 11.2 i Kalkulus. Vi utledet formelen for restleddet og gjennomgikk de to eksemplene 11.2.4 og 11.2.5.
Tirsdag 25/9. Tema f?r pausen var avrundingsfeil ved simulering av differensligninger. Dette er viktig stoff som du finner i seksjon 6.5 i kompendiet. Etter pausen gjennomgikk jeg Taylor-polynomer - seksjon 11.1 i Kalkulus.
Onsdag 19/9. Enda mer om differensligninger. Vi s? p? noen eksempler p? inhomogene differensligninger, og s? deretter p? hvordan vi kan simulere differensligninger p? datamaskin, se seksjon 6.3 i kompendiet. Vi endte med ? simulere en ligning der resultatet ble helt feil.
Tirsdag 18/9. Vi fortsatte med andreordens, line?re differensligninger og s? hvordan vi kan h?ndtere tilfellene der det karakteristiske polynomet har en reell rot eller to kompleks konjugerte r?tter. Deretter gikk vi over til seksjon 4.2 i Kalkulus og s? hvordan vi kan l?se noen inhomogene differensligninger med formel.
Onsdag 12/9. I f?rste time avsluttet vi stoffet om representasjon av tall p? datamaskin. Vi s? spesielt p? hvordan alvorlige feil kan oppst? ved subtraksjon av nesten like store reelle tall, se seksjon 5.2 i kompendiet. Vi s? deretter hvordan noen uttrykk kan omskrives for ? unng? slike problemer, se seksjon 5.4 i kompendiet. I andre time begynte vi p? differensligninger, kapittel 4 i Kalkulus. Vi fortsetter med det neste uke.
Tirsdag 11/9. Vi startet med ? repetere tanken bak det vi har gjort med tall i ulike siffersystemer: Datamaskiner bruker 0-1 p? nederste niv?, derfor m? vi forst? hva som skjer n?r vi representerer tall i 2-tallsystemet. Vi s? hvordan heltall representeres (seksjon 4.1) og hvordan flyttall representeres (seksjon 4.2). Vi avsluttet med ? gjennomg? algoritme 5.8 for addisjon av tall, og fortsetter med det i morgen.
Onsdag 5/9. Tema var fortsatt representasjon av tall i ulike siffersystemer. Vi repeterte f?rst hvordan heltall representeres med grunntall beta, og gikk deretter over til ? se p? hvordan desimaltall i intervallet (0,1) kan representeres, se seksjonene 3.2-3.4 i kompendiet. Spesielt la vi merke til n?r et tall i (0,1) kan representeres med et endelig antall siffer, og vi viste at sifrene gjentar seg kun for rasjonale tall.
Tirsdag 4/9. S? langt har vi sett p? de matematiske egenskapene til tall, i dag begynte vi ? se p? hvordan de kan representeres p? datamaskin. Dette stoffet er hentet fra kompendiet som dere finner p? kursehjemmesiden. I dag begynte vi i kapittel 2 og s? at datamaskiner er basert p? ? bare skille mellom to grunnleggende tegn, nemlig 0 og 1. Fordelen med dette er robusthet i forhold til st?y. Etter dette gikk vi over til kapittel 3, representasjon av tall i ulike siffersystemer. Vi s? hvordan heltall kan representeres i ulike siffersystemer og gjennomgikk metoden for ? konvertere fra grunntall 10 til grunntall beta. Vi formulerte ogs? dette som en algoritme og testet denne p? datamaskin.
Onsdag 29/8. Dagens tema var en fortsettelse fra i g?r, nemlig reelle tall. Vi begynte med en intuitiv beskrivelse av de reelle tallene som desimaltall. Deretter beviste vi at kvadratroten av 2 er et irrasjonelt tall, beskrev kompletthetsprinsippet og endte opp med aksiomene for de reelle tallene. Med det var kapittel 2 i Kalkulus avsluttet.
Tirsdag 28/8. Vi fortsatte med stoff fra kapittel 1 i Kalkulus, denne gangen binomialformelen og Pascals trekant, seksjon 1.4. Deretter gikk vi over p? kapittel 2 og reelle tall. Vi definerte intervallene, tallverditegn, s? p? trekantulikheten, f?r vi gikk over p? seksjon 2.2 om rasjonale og irrasjonale tall. Her kom vi fram til og med Korollar 2.2.2.
Onsdag 22/8. I dag var hovedtema induksjonsbevis. Jeg gjennomgikk et induksjonsbevis i detalj, nemlig beviset for at formelen for summen av de n f?rste naturlige tallene er riktig. Dette kan du finne p? et notat som ligger p? hjemmesida. Som et annet eksempel gjennomgikk jeg oppgave 1.2.5 i Kalkulus. Til slutt gikk vi tilbake til slutten av eksempel 1.1.4 i seksjon 1.1 og s? hvordan en sum kan omformes til en annen ved hjelp av substitusjon.
Tirsdag 21/8. F?rste forelesning startet med litt generell informasjon om emner s? som forkunnskaper, pensum, obliger, eksamen og om undervisningen. Jeg viste ogs? en kort presentasjon som forklarer hvorfor vi legger s?pass stor vekt p? programmering og beregninger det f?rste semesteret (og senere semestere). F?r vi begynte p? matematikken presenterte jeg ogs? hva vi ?nsker ? gj?re i h?st (ved siden av den vanlige undervisningen) for ? hjelpe dere til ? fungere godt i studiehverdagen og samtidig f? erfaringer som potensielle arbeidsgivere anser som sv?rt viktig, det vi har kalt KUPP. Mer informasjon om dette kommer i n?r framtid.
Etter dette begynte jeg p? seksjon 1.1 i Kalkulus om naturlige tall og summetegn.