MAT-INF 1100 - høsten 2009

Forelesningsrapport 

Her vil jeg legge ut en kort rapport om hva som er gjennomgått på hver forelesning.

Mandag 23/11. Tema i dag var kompresjon av lyd. Vi begynte med å se at en funksjon kan approksimeres ved hjelp av cos og sin med ulike frekvenser. Vi definerte deretter den såkalte diskrete cosinus transformen for en følge og dens inverse. Deretter så vi hvordan dette kan brukes til kompresjon av lyd. Dette stoffet finner du i kapittel 8 i kompendiet.

Tirsdag 17/11. Aller først viste jeg at aritmetisk koding gir asymptotisk optimal kompresjonsrate. Deretter gikk vi over til å se på lyd. Vi begynte med å se hva lyd er rent fysisk, ble kjent med frekvensbegrepet, så noen eksempler på lyder generert ved hjelp av matematiske funksjoner, herunder ulike typer modulasjon. Deretter tok vi for oss digital lyd, hva det er og hvordan digital lyd kan manipuleres. Vi avsluttet med å gi en intuitiv beskrivelse av samplingsteoremet. Dette stoffet kommer i en ny verjson av kapittel 8. Inntil det foreligger kan mesteparten finnes i notatet om lyd som er lagt ut på hjemmesiden.

Mandag 16/11. Vi fortsatte med aitmetisk koding. Først repeterte vi ideen bak kodingsstrategien, deretter så vi på noen egenskaper ved algoritmen, se teorem 7.21 i kompendiet. Vi avsluttet med å se hvordan en arimetisk kode kan dekodes, se seksjon 7.4.4. Det vi glemte var å vise at aritmetisk koding kommer tett opp til å være optimal, det må vi gjøre i morgen.

Tirsdag 10/11. I dag gjennomgikk vi først seksjon 7.3 i kompendiet om sannsynlighet og informasjonsentropi, før vi gikk over på aritmetisk koding i seksjon 7.4. Vi kom fram til grunnlaget for algoritme 7.19.

Mandag 9/11. Aller først så vi litt mer på representasjon av tekst. Jeg viste hvordan man med programmet od (under linux/unix) kan se det eksakte innholdet i en fil på hexadecimal form. Ved hjelp av dette er det lett å se hvordan de ulike kodingsstandardene ser ut i praksis. Etter dette tok vi for oss Huffman koding, seksjon7.2 i kompendiet.

Tirsdag 3/11. I første time tok vi for oss systemer av differensialligninger og så hvordan Eulers metode og de andre numeriske metodene vi har utviklet kan generaliseres til slike systemer. Vi så også at høyere ordens ligninger kan skrives som et system av førsteordens ligninger, og vi så overfladisk på teorem 13.39. Alt dette finner du i seksjon 13.8 i kompendiet. Etter pausen så vi på representasjon av tekst på datamaskin, seksjon 4.3 i kompendiet; vi pratet også om Fact 4.15.

Mandag 2/11. Vi nærmer oss slutten på differensialligninger. I dag repeterte vi raskt ideen bak Taylormetoder, og snakket også om Runge-Kutta metoder. Disse klarer å reprodusere flere ledd i Taylorpolynomet, slik som Taylormetoder, ved hjelp av flere beregninger av høyresiden i differensialligninger mellom to hovedtidssteg, se seksjonene 13.6.1 og 13.6.3. I andre time gjennomgikk vi feilanalysen for Eulers metode, seksjon 13.3.2.

Tirsdag 27/10. Vi avsluttet seksjon 10.5 i Kalkulus ved å se på tilfellet med to komplekse røtter, og gikk deretter kjapt gjennom seksjon 10.6 om inhomogene annenordens ligninger. Etter dette gikk vi tilbake til kompendiet og så på seksjon 13.4 om derivasjon av differensialligninger. Dette brukte vi til å introdusere den kvadratiske Taylormetoden i seksjon 13.5.

Mandag 26/10.  I dag begynte vi med å se på eksemplene 10.2.1 og 10.4.4 i Kalkulus som beskriver populasjonsvekst ved hjelp av differensialligninger. Deretter gikk vi over på seksjon 10.5 i Kalkulus om annenordens, homogene ligninger med konstante koeffisienter. Vi rakk fram til tilfelle 3: Tom komplekse røtter.

Tirsdag 20/10. Vi fortsatte med differensialligninger og Eulers metode og Eulers midtpunktmetode som algoritmer. Deretter gikk vi over til å se på analytiske løsningsmetoder. Først så vi på løsning av førsteordensligninger (seksjon 10.1 i Kalkulus), og deretter separable ligninger (seksjon 10.4 i Kalkulus).

Mandag 19/10. Aller først oppsummerte jeg ideen bak de tre metodene for numerisk integrasjon som vi har sett på: Midtpunktmetoden, trapesregelen og Simpsons metode. Deretter gikk vi over på differensialligninger. Vi startet i kapittel 13 i kompendiet med å se hvordan et objekt som faller kan modelleres ved hjelp av en ligning som involverer objektets hastighet og dets aksellerasjon (den deriverte av hastigheten) (seksjon 13.1). Vi gikk deretter over til å se på generelle førsteordens differensialligninger (seksjon 13.2). Vi understreket at i et punkt der løsningen er kjent gir differensialligningen en formel for stigningstallet til tangenten (seksjon 13.1), og ut fra dette introduserte vi Eulers metode (seksjon 13.3.1) og den mer raffinerte Eulers midtpunktmetode (seksjon 13.6.1).

Tirsdag 13/10. Jeg startet med en rask analyse av avrundingsfeil og optimale steglengde i metoden for numerisk derivasjon hvor vi interpolerte i tre punkter. Etter det ble det meste av stoffet om numerisk integrasjon i kapittel 12 gjennomgått. Koblingen med interpolerende polynomer ble også tatt opp her. Vi definerte midtpunktsmetoden, trapesmetoden og Simpsons regel. Vi formulerte formelen for avvik ved bruk av midtpunktsmetoden, og beviste denne i detalj. Vi kjørte et program som viste hvordan feilen i midtpunktsmetoden forplantet seg når vi minsket steglengden. Den tilsvarende formelen for trapesmetoden ble bare formulert, ikke bevist. Simpsons regel ble bare forklart som en metode som brukte et interpolerende polynom i tre punkter, regelen ble ikke formulert som en formel.

Mandag 12/10. Vi gjennomgikk det meste av kapittel 11 om numerisk derivasjon. Vi startet med å definere den generelle metoden, hvor erstatningen av funksjonen med et interpolerende plynom i de kjente punktene var stikkordet. Vi fortsatte så med å analysere matematisk feil, avrundingsfeil, og optimal steglengde for den mest brukte tilnærmingen av den deriverte, og viste ved kjøring av et program hvordan feilene forplantet seg. Vi avsluttet ved å sette opp varianten for numerisk derivasjon vi får ved å lage oss et interpolerende polynom i tre punkter. Før jeg går videre på kapittel 12 i morgen vil jeg raskt analysere avrundingsfeil og optimal steglengde for denne metoden og.

Tirsdag 29/9. Vi fortsatte med numeriske metoder for å finne nullpunkter til funksjoner, og så særlig på Newtons metode. Etter pausen begynte vi på numerisk derivasjon, kapittel 11 i kompendiet, men kom ikke særlig lenger enn å introdusere den enkleste derivasjonmetoden.

Mandag 28/9. I dag var tema numeriske metoder for å finne nullpunkter for funksjoner, kapittel 10 i kompendiet. Vi tok utgangspunkt i skjæringssetningen og utledet fra dette halveringsmetoden (seksjon 10.2 i kompendiet). Vi utledet det vanlige feilestimatet og så hvordan vi kunne kontrollere nåde absolutt og relativ feil. Vi gikk deretter over på sekantmetoden og observerte at denne konvergerte langt raskere enn halveringsmetoden.

Tirsdag 22/9. I første time så vi lett mer på Taylorpolynomer: Hvordan Taylorpolynomer kan brukes til å bestemme grenseverdier (eksempel 11.2.6 i Kalkulus), og noen eksempler på hvordan Taylorpolynomer konvergerer / ikke konvergerer for ulike verdier av x når graden går mot uendelig (seksjon 9.1.2 i kompendiet). Etter pausen så vi på interpolasjon, seksjon 9.2 i kompendiet.

Mandag 21/9. I andre time på tirsdag introduserte vi Taylorpolynomer og i dag fortsatte vi med å se på restleddet (feilen) i Taylorpolynomet (seksjon 11.2 i Kalkulus). I første time utledet vi feilleddet, mens vi i andre time brukte feilleddet til å estimere hvor mange ledd vi måtte ta med for å få feilen under en viss grense (eksempel 11.2.4).

Tirsdag 15/9. Vi fortsatte med differensligninger, denne gangen om effekten av avrundingsfeil, seksjon 6.5 i kompendiet, særlig eksempel 6.19. Dette er grunnlaget for å forstå hva som foregår i oppgave 3 i oblig1. Etter pausen gjennomgikk vi seksjon 11.1 i Kalkulus om Taylor-polynomer. Vi skrev opp Taylorpolynomene til e^x, sin x og cos x og så hvordan disser er forbundet med Eulers identitet.

Mandag 14/9. I dag tok vi for oss inhomogene differensligninger, seksjon 4.2 i Kalkulus. Deretter så vi hvordan differensligninger kan simuleres på datamaskin, seksjon 6.3 i kompendiet.

Tirsdag 8/9. Aller først presiserte jeg observasjon 5.3 i kompendiet fra i går. Deretter gikk vi i gang med differensligninger. Vi gjennomgikk hele seksjon 4.1 i Kalkulus, med særlig fokus på løsning av 2.ordens ligninger.

Mandag 7/9. Vi fortsatte i dag med representasjon av reelle tall på datamaskin. Vi begynte med å se på normalformen for reelle tall og hvordan dette leder til en naturlig måte å representere reelle tall (seksjon 4.2 i kompendiet). Deretter gikk vi over til å se på feilen dette kan medføre. Vi så på definisjonen av absolutt og relativ feil (seksjon 5.1), og så i detalj på addisjonsalgoritmen og feilene den kan gi. Vi fokuserte særlig på såkalt kansellering som kan oppstå når vi subtraherer to neste like tall. 

Tirsdag 1/9. Hovedtema i dag var representasjon i intervallet (0,1) i et vilkårlig siffersystem, seksjon 3.3 i kompendiet. Vi fokuserte på algoritmen for å beregne sifrene, og viste at for et rasjonalt tall vil sifrene alltid gjenta seg. Vi karakteriserte også de rasjonale tallene i (0,1) som kan representeres eksakt med et endelig antall siffer. Vi så også kjapt på hvordan vi kan gjøre aritmetikk med et vilkårlig grunntall, og til slutt diskuterte vi raskt hvordan heltall representeres på datamaskin (seksjon 4.1).

Mandag 31/8. Vi fortsetter med å studere tall, men nå skal vi fokusere på hvordan tall representeres på datamaskin. Vi begynte dagens forelesning med å innse at det kan være lurt å representere informasjon ved hjelp av bare to ulike symboler når vi skal kommunisere i et støyfylt miljø (seksjonene 2.1 og 2.2) i kompendiet. Vi gikk deretter over til å se hvordan heltall kan representeres i ulike siffersystemer, og kom fram til en algoritme for å beregne sifrene i et vilkårlig siffersystem (med grunntall beta) (seksjonene 3.1 og 3.2 i kompendiet).

Tirsdag 25/8. Vi startet med å gjennomgå beviset for at kvadratroten av 2 ikke er et rasjonalt tall. Deretter tok vi for oss Arkimedes prinsipp og kompletthetsprinsippet og avsluttet med aksiomene for de reelle tallene.

Mandag 24/8. I første time gjennomgikk vi binomialteoremet og sammenhengen med Pascals trekant. Etter pausen begynte vi på reelle tall. Vi gjennomgikk trekantulikheten, setning 2.2.1 og korollar 2.2.2.

Tirsdag 18/8. Tema i dag var induksjon. Vi brukte første time til å gjennomgå i detalj et induksjonsbevis for at formelen for summen av de n første naturlige tallene er korrekt. En oppsummering av dette kan du finne i notatet om induksjon under 'Undervisningsmateriell'. Etter pausen så vi på et par eksempler: Eksempel 1.2.4 i Kalkulus og oppgave 1.2.6

Mandag 17/8. Jeg brukte første time til å gjennomgå en del administrativ informasjon (dette er lagt ut på hjemmesiden under 'Undervisningsmateriell'). Etter sa jeg litt om hvorfor matematikk er viktig. Deretter begynte vi på matematikken i seg selv og så på noen enkle egenskaper ved summer og summetegn (seksjon 1.1 i Kalkulus).