Numeriske beregninger i FYS2130 v?ren 2011
Innen “Svingninger og b?lger” finnes det en rekke fenomener vi ?nsker studentene skal utforske enten eksperimentelt eller ved hjelp av numeriske beregninger. Grunnen er at det er vanskelig ? forst? komplekse tidsavhengige fenomen bare gjennom en analytisk matematisk beskrivelse. Dessuten ?nsker vi at studentene skal kunne h?ndtere reelle problemstillinger i senere studier og jobb. Tradisjonell undervisning har ofte begrenset seg til stasjon?re forhold som f?lger enkle svinge- eller b?lgeligninger, mens vi ved numeriske metoder nesten like enkelt kan h?ndtere ogs? transiente forl?p og mer komplekse fysiske system.
Det er et vell av mulige system innen “Svingninger og b?lger” hvor numeriske beregninger vil kunne bidra til ?kt forst?else og til ?kt kompetanse hos studentene. Her er noen hovedgrupper av problemstilinger som vil bli tatt opp:
- For et enkelt svingesystem, f.eks. en pendel eller en RCL-krets i elektronikk, er det illustrativt ? se at svingninger f?lger ut fra grunnleggende fysiske lover, gitt som differensialligninger, og at vi kan l?se slike ligninger numerisk ogs? i tilfeller der det ikke er analytiske l?sninger (for ikke-line?re system). I en klassisk utdanning kommer det sjeldent fram sammenhengen mellom kvalitetsfaktor (Q-verdi) og innsvingningsforl?pets varighet ved endring i en p?trykt p?virkning. Dette vil vi fors?ke ? rette opp gjennom bruk av numeriske oppgaver. Det kan ogs? bli aktuelt ? se p? frekvensdobling og ”downconversion” i ikke-line?re systemer.
- Fourier-analyse brukes i stor utstrekning i fysikken, b?de eksplisitt og implisitt. Vi tror studentene vil f? en bedre forst?else for Fourier-analyse dersom de selv programmerere denne (og ikke bruker ferdige applets eller ferdiglagede funksjoner). De f?r da fram behovet for diskretisering av frekvenser, forskjell mellom amplituder med faseinformasjon vs intensitet. Man kan ogs? f? fram hvorfor Fourier-analyse egner seg mindre godt for transiente forl?p enn for steady-state. Som en bonus f?r vi ogs? vist en mulig tolkning av Heisenbergs uskarphetsrelasjon (som inng?r i kvantefysikkurset som mange av studentene tar parallelt med FYS2130).
- Wavelet-analyse er ogs? aktuell for ? vise at Fourier-transform bare egner seg for steady state signaler, mens Wavelet-analyse kan gi masse tilleggsinformasjon n?r signalet endrer karakter med tiden..
- For b?lger er det flere grupper fenomener som vil bli gjenstand for numeriske oppgaver. Vi vil la studentene utforske forskjellen mellom fasehastighet og gruppehastighet ved hjelp av numeriske beregninger. Det kan lett gj?res for et en-dimensjonalt problem. En noe mer utfordrende oppgave blir ? beregne diffraksjons- og/eller interferens-forl?p basert p? Huygens/Fresnels prinsipp, antakelig bare i 2D. Dette er rimelig enkelt n?r vi tar utgangspunkt i enkle kilder (punktkilder eller ”spalter” med plan b?lgefront), men kan gj?res atskillig mer komplisert (og interessant) dersom vi ogs? inkluderer refleksjoner.
- Det kan bli aktuelt med en numerisk oppgave knyttet til spreding av f.eks. av lys, eller av lysbrytning i vanndr?per (som gir regnbuen, b?de den prim?re, den sekund?re og Alexanders b?nd).
- Vi ?nsker ogs? ? trekke inn en numerisk oppgave knyttet til koherens og korrelasjonsfunksjoner.
- Det er instruktivt ? se hvordan en b?lge avhenger av initialbetingelser og randbetingelser. Det ?nsker vi ? f? fram i numeriske beregninger.
- Dersom vi klarer ? forenkle en problemstilling tilstrekkelig, ville det ogs? v?rt sv?rt nyttig ? bruke s?kalt "Finite difference method" for ? beregne hvordan elektromagnetiske felt brer seg under en valgt geometri. Da l?ses Maxwells ligninger for sm? romelementer, og vi ender opp med en stor mengde koblede ligninger. Denne form for beregning gir en dyp forst?else for Maxwells ligninger, men programmeringen er s?pass krevende at vi antakelig m? la metoden ligge enda et ?r...
- Det er egentlig et uendelig antall ulike sammenhenger vi kan velge fra n?r vi bruker numeriske metoder for ? f? fram morsom fysikk og bedre forst?else av fenomener vi omgis av mer eller mindre daglig.
Vi tilbyr studentene hjelp ved modellering og programmering i Matlab / Python, men mest i Matlab. Man kan ogs? bruke andre programmeringsspr?k dersom man ?nsker det, men da m? man regne med atskillig mindre hjelp fra kursets l?rere.