Hva er maksimal aldring?
Som dere n? har l?rt, s? bruker vi ulike typer geometrier til ? beskrive tidrommet. I den typen geometri du kjenner best til, Euklidisk geometri, s? vet vi at den lengste veien fra A til B er ? g? i sirkler eller sikksakk - alt annet enn ? g? i en rett linje fra A til B. I den spesielle relativitetsteorien bruker vi Lorentzgeometri. I denne geometrien er den lengste veien mellom A og B gitt ved den rette linja!
Den spesielle relativitetsteorien forteller oss at en partikkel vil f?lge en rett linje i tidrommet, som tilsvarer konstant hastighet. Men hva skjer n?r et eple faller ned fra et tre p? jorda? Det vil ikke falle med konstant hastighet, det vil akselerere mot bakken. Dette er fordi gravitasjonen trekker eplet ned mot bakken. Men gravitasjon er ikke en kraft i den generelle relativitetsteorien! N?r det er massive objekter tilstede s? har vi ikke lenger flatt tidrom, men en krumning i tidrommet. Hvordan vil da et objekt bevege seg i tidrommet? Jo her kommer prinsippet om maksimal aldring inn.
Se for deg at du er i verdensrommet og langt unna noen massive objekter. Da virker det ingen eksterne krefter p? deg, og du vil da if?lge Newtons 1.lov v?re i ro eller bevege deg med konstant fart. Da vil du f?lge veien i tidrommet som gir maksimal aldring, alts? st?rst mulig egentid (flest mulig tikk p? klokka).
Hvorfor snakker vi om spinn?
Du kjenner nok til spinn n? som en dreieimpuls. Denne fysiske st?rrelsen er bevart og beskriver hvor mye og hvor langt unna et objekt roterer rundt en fast akse. Objekter som beveger seg rundt et massivt objekt, har spinn. For eksempel som jorda som g?r rundt sola. Siden vi har en hastighetskomponent i \(\phi\)-retning, s? har objektet spinn. N? skal vi bruke prinsippet om maksimal aldring til ? kunne si noe om spinnet i den generelle relativitetsteorien. I den generelle relativitetsteorien s? er ikke gravitasjon en kraft, men det er krumningen av tidrommet som gj?r jorda holder seg i bane rundt sola.
Vi kj?rer p? med et konkret eksempel, s?nn at dette blir mindre abstrakt.
I Figur 2 ser vi et objekt som beveger seg i en krummet bane i tidrommet n?r en massiv sf?re. Objektet passerer gjennom tre punkter: \((t_1, \phi_1)\), \((t_2, \phi_2)\) og \((t_3, \phi_3)\), hvor \(\phi_2\) er en fri variabel. Vi tenker oss at avstandene mellom punkt 1 og 2 er s? liten at \(r=r_A\) gjelder for hele intervallet, og for punkt 2 og 3 gjelder \(r=r_B\). Her kan vi bruke Schwarzschild linjeelementet til ? beskrive avstanden mellom punktene. Her m? vi bruke Schwarzschild geometri fordi vi har krumt tidrom.
Hva har dette med maksimal aldring ? gj?re?
N? har vi bablet om spinn og maksimal aldring, men hva har disse to med hverandre ? gj?re? Hvis vi anvender prinsippet om maksimal aldring p? linjeelementet mellom punkt 1 og 3, og deriverer med hensyn p? den fire variabelen \(\phi_2\). Det vi gj?r da er ? maksimere egentiden objektet bruker fra punkt 1 til punkt 3 ved ? derivere og sette uttrykket lik 0. Det vi f?r er at forholdet mellom \(\Delta \phi\) og egentidsintervallet \(\Delta \tau\) og radiusen i de to intervallene m? v?re like, som betyr at spinnet m? v?re bevart! Vi kan skrive om dette til ? inkludere radius, tangentiell hastighet og lorentzfaktoren. Dette er uttrykket for spinn per masse, som alts? m? v?re bevart.
I v?rt eksempel s? har vi sett p? tre vilk?rlige punkter i en vilk?rlig bane. Men resultatet vi har kommet frem til gjelder for alle slike baner, hvor objektet har en tangentiell hastighet og dermed spinn!.
Hvorfor dette er viktig
Bevaring av spinn er fundamentalt i klassisk fysikk, og gjelder ogs? i relativistisk fysikk. Takk og pris. Et objekt som er i fritt fall, for eksempel jorda som g?r i bane rundt sola, vil alts? ha bevart spinn. S? det vil sa at hvis radiusen til banen minker, s? vil spinnet ?ke, eller med andre ord s? vil en mindre bane medf?re h?yere hastigheter og motsatt. N?r det er sm? hastigheter involvert, s? f?r vi uttrykket for det klassiske spinnet som vi kjenner til fra f?r. Da er lorentzfaktoren omtrent lik 1, og vi st?r igjen med uttrykket fra den klassiske fysikken som vi har brukt mange ganger f?r. Dette viser hvordan relativitetsteorien bygger videre p? det vi allerede kjenner til fra Newtonsk fysikk.