La oss utforske om det er mulig for v?r utenomjordiske forsker ? se solsystemet v?rt. Med litt fysikk og mye kreativitet skal vi se hvordan det hadde v?rt for andre vesener ? se p? hvordan v?rt solsystem beveger seg.
Men hva er egentlig et solsystem? Jo det er planeter som g?r i bane rundt en stjerne. Men det er ikke bare planetene som danser, selve sola har litt moves ogs?. Vi vet jo at planetene beveger seg i nesten sirkul?re baner om sola. Og at grunnen for at de fortsetter rundt og rundt og rundt og rundt, og ikke bare flyr vekk er p? grunn av gravitasjonskraften. Det er gravitasjonskraften fra solen som holder planeten rundt seg selv. Snakk om ? v?re egoistisk da, ? bruke vekten sin for ? holde plantene i sjakk. Den tunge massen gj?r slik at de ikke kan unnslippe, dette har vi l?rt fra Newtons gravitasjonslov. Men planetene har jo ogs? en masse de ogs?. Den er kanskje ikke like stor som solen, men den gj?r likevel s?nn at planetene ut?ver en kraft tilbake p? solen. Det er blant annet p? grunn av denne kraften at solen ikke st?r helt i ro i solsystemet.
Et felles balansepunkt
La oss n? gj?re det vi gj?r best. Enda en forenkling! Vi skal kun se p? stjernen og én planet, og ignorerer de andre 7 planetene i solsystemet. Vi vet at solen trekker planeten mot seg p? grunn av gravitasjonen. Og at planetene beveger seg i en ellipsebane om solen som et resultat av dette. Men er det faktisk det som skjer? Er det virkelig slik at planeten beveger seg rundt solen, og bare solen? Eller er det et annet felles balansepunkt de beveger seg rundt? Slik disse sp?rsm?lene stilles gj?r det nok ganske tydelig at svaret er ja, det er et annet balansepunkt i spill her. Det er nemlig massesenteret. Vi ser p? et system best?ende av en sol og en planet. Massesenteret til systemet er da balansepunktet hvor vekten til planeten og stjerna balanserer hverandre ut. Det er et felles balansepunkt.
Du kan se for deg at du holder en planke. P? den ene enden av planken er en boks med leverpostei, og p? den andre enden er en boks med makrell i tomat. Hvor m? du holde h?nden din for ? balansere systemet. Der er massesenteret, der er balansepunktet.
Videre skal vi se n?rmere p? stjernen sammen med hjemplaneten v?r. Hjemplaneten er en av de st?rre planetene i v?rt solsystem. Det er i tillegg den planeten som ligger n?rmest solen. Den har derfor stor p?virkning p? solen i forhold til de andre planetene. Men den er fortsatt tvunget til ? g? i bane om solen, s? s? stor p?virkning har den jo ikke.
Den store massen til planeten, sammen med den "korte" avstanden til stjernen vil maksimere den gravitasjonelle p?virkningen den har p? stjernen. Jo n?rmere og jo st?rre en planet er, desto sterkere vil dens gravitasjon p?virke stjernen.
Gravitasjonen fra stjernen er s? stor i forhold gravitasjonen som kommer fra planetene, s? derfor ?nsker vi ? s?rge for ? f? en s? stor gravitasjonsp?virkning fra stjernen som vi greier. En st?rre gravitasjonsp?virkning fra planeten vil gj?re det lettere ? observere bevegelsen til stjernen.
Simulasjonen sett fra massesenteret
N? skal vi simulere bevegelsen til solen sammen med hjemplaneten v?r. Vanligvis har vi tenkt at solen er st?r stille i midten av slik vi har definert koordinatsystemet v?rt, og at alle planetene beveger seg rundt stjernen. Med kun én planet blir det slik at stjernen st?r stille i origo og planeten g?r i bane rundt. Alts? har stjernen starthastighet lik null. Men etterhvert som planeten bruker gravitasjonen sin til ? trekke p? stjernen, vil den begynne ? bevege p? seg.
Men vi ?nsker ? se n?rmere p? hvordan begge to, planet + stjerne, beveger seg rundt sitt felles massesenter. Da blir v?r f?rste oppgave ? finne dette massesenteret. Massesenteret er definert slik:
\(\text{CM} = \frac{\text M_\text{stjerne} \vec r_\text{stjerne} + \text M_\text{planet} \vec r_\text{planet}}{\text M_\text{stjerne} \ \text + M_\text{planet}}\)
N? som vi vet hvor massesenteret er i forhold til planeten og stjernen v?r, s? kan vi endre litt p? koordinatsystemet. Siden vi ikke lenger ?nsker ? se p? kun planetene sine bevegelser rundt solen, men faktisk ?nsker ? se solen sin bevegelse ogs?. Derfor skal vi flytte origo til massesenteret. Ved ? endre koordinatsystemet slik, vil vi f? et mer n?yaktig bilde av systemets bevegelser. Da er det lettere ? se hvordan de beveger seg i forhold til hverandre.
Fra Figur 2 ser vi at vi m? trekke fra massesenterets posisjon fra solen og stjernas posisjoner. Vi gj?r det samme med hastighetene. Slik blir origo definert til ? v?re ved massesenteret definerer inntil videre.
Vi vet hvordan planeten og stjernen p?virker hverandre gjennom Newtons gravitasjonslov. If?lge denne loven vet vi at kraften mellom to legemer avhenger av massene deres og avstanden mellom dem.
Siden vi ?nsker ? simulere bevegelsen til solen og planeten rundt deres felles massesenter, s? m? vi regne ut gravitasjonskraften ved hvert tidssteg i simuleringen. Ogs? kan vi bruke denne for ? oppdatere posisjonen og hastigheten til planeten og til stjernen. Her kan vi bruke Leapfrog-metoden for ? oppdatere dem, akkurat slik som vi har gjort tidligere. Dette vil gi oss et bildet av deres bevegelse.
Hvordan beveger stjerna seg?
N? som vi ikke lenger antar at stjernen st?r stille ? henger i origo, ?nsker vi ? se litt n?rmere p? dens bevegelser. For ? gj?re dette skal vi lage en radialhastighetskurve.
N?r en planet beveger seg i bane rundt en stjerne s? vil planeten p?virke stjerna bitte litt med sin egen gravitasjonskraft. Vi kan se for oss at stjernen beveger seg lang en helt rett linje i rommet, og for hver gang planetens gravitasjon vil trekke sola mot seg s? vil stjernen havne litt utenfor linja. Ogs? vil den plassere seg tilbake p? linja igjen. P? denne m?ten vil stjernen hele tiden bevege seg litt frem og tilbake. Og dette er en bevegelse vi kan observere som en radialhastighet. Det er alts? denne vippe frem-og-tilbake bevegelsen som stjernen f?r som gj?r at stjernens hastighet varierer. Og denne kan vi observere som en endring i stjernas lys. Dette er kjent som Doppler-effekten. N?r stjernen beveger seg vekk fra oss, s? vil lyset den skinner med bli litt r?dere. N?r solen beveger seg mot oss, s? vil lyset bli litt bl?ere. Det kommer alts? an p? raskt stjernen beveger seg vekk fra oss eller hvor raskt den beveger seg mot oss, sett fra en observat?r som st?r i ro i forhold til systemet. Vi kan m?le disse endringene over tid, og ut fra dem kan vi lage en radialhastighetskurve. Og denne viser da hvordan stjernens hastighet endres frem og tilbake.
Derfor kan vi se p? hastigheten over tid, plotte dette i en kurve, og se hvordan stjernen svinger frem og tilbake. Om det finnes en utenomjordisk forsker der ute som ser p? stjernen v?r, s? er det nettopp denne kurven de ville ha observert. Om du for eksempel st?r p? jorden og ser opp mot solen, ogs? ?nsker du ? se hvordan solen vipper frem og tilbake om massesenteret. Da kan du beregne stjernens radialhastighet. Men hvordan gj?r vi dette?
For ? beregne radialhastigheten ser vi p? stjernens bevegelse langs synslinjen. Du kan for eksempel se for deg at du st?r p? jorden og ser opp p? solen, da er synlinjen den linjen fra dine ?yne opp til solen. Vi skal regne ut hvor fort stjernen beveger seg langs synslinjen. Da bruker vi formelen for radialhastighet, som er definert slik:
\(v_\text{radiell} = v_\text{stjerne} \cdot \text{sin}(i)\)
hvor \(i\) = inklinasjonsvinkelen mellom synslinjen og planetens baneplan, \(v_\text{radiell} \) er radialhastigheten til stjerna som er komponenten av hastigheten som observeres langs synslinjen. \(v_\text{stjerne} \) er den totale hastigheten til stjerna, som kan ha b?de en radialkomponent langs synslinjen og en tangentiell komponent vinkelrett p? synslinjen (ref. Figur 3 under).
Etter at vi har laget hastighetskurven s? m? vi legge til noe st?y i dataene.
Dette gj?r vi fordi virkelige observasjoner sjeldent er perfekte. Det vil alltid v?re noe st?y eller usikkerhet som vil p?virke m?lingene v?res. Ved ? legge til st?y i hastighetskurven s? kan vi simulere en realistisk observasjon som noen utenomjordiske forskere ogs? ville ha gjort.
Men hvorfor er vi interessert i radialhastigheten til stjerna? Jo, fordi hvis vi vet hvordan planeten p?virker stjernen, s? kan vi si noe om massen til planeten ved hjelp av denne formelen:
\(m_\text p \text{sin} \ i = \frac{m_*^{2/3}v_{*r}P^{1/3}}{(2 \pi G)^{1/3}}\)
hvor:
- \(m_p\) er massen til planeten m?lt i solmasser
- \(m_*\) er massen til stjernen m?lt i solmasser
- \(v_*\) er radialhastighetsamplituden (halvparten av differansen mellom maksimal og minimal radialhastighet)
- \(P\) er oml?pstiden m?lt i ?r
- \(G\) er gravitasjonskonstanten
- \(i\) er inklinasjonen til planetens bane (vinkelen mellom planetbanen og synslinjen, ref. Figur 3)
Denne formelen vil gi oss en nedre grense for massen, men hvorfor det?
Vi ser at formelen inneholder sinus til inklinasjonsvinkelen, og vi vet at sinus aldri blir st?rre enn 1 i absoluttverdi. Vi m? gange med sinus til inklinasjonsvinkelen fordi vi ser bevegelsen til stjerna bare langs synslinjen, som i praksis betyr at vi bare ser hvordan stjernen beveger seg fra oss eller mot oss som er for?rsaket av planetens p?virkning p? solen (planeten trekker p? solen). Vi ser hele planetens bane kun n?r inklinasjonsvinkelen er \(i = 90 ^\circ\) (ref. Figur 4). Ved denne vinkelen er den totale hastigheten til stjerna lik radialhastigheten. Alts? beveger stjernen seg kun langs synslinja v?r, og dermed f?r vi maksimal radialhastighet ved denne vinkelen. Da vil vi ogs? kunne m?le planetens egentlige masse direkte fra radialhastigehten til stjerna, siden \(\text{sin} \ 90 = 1\) i dette tilfelle.
I det virkelige liv s? er det vanskelig ? vite den n?yaktig inklinasjonen til systemet. I v?rt tilfelle hvor \(i < 90^\circ\), som i Figur 3, s? er det kun en del av stjernens bevegelse som er rettet langs synslinjen, og hastigheten til stjerna vil ha en radial- og en tangentialkomponent (ifht. synslinjen). Vi ser kun den radiale komponenten av bevegelsen, siden det er kun denne delen av hastigheten som vil ha en dopplereffekt vi kan observere. Dess mindre \(i\) er, dess st?rre del av bevegelsen vil vi ikke kunne observere. N?r \(i = 0^\circ\) s? ser vi planet bevegelsen ovenfra, og da er radialhastigheten 0, fordi stjernas bevegelse er vinkelrett p? synslinjen. Den beveger seg bare i planet vi ser vinkelrett p?. S? da f?r vi ikke studert stjernens bevegelse, siden vi ikke f?r noen dopplereffekt i v?r synslinje og klarer heller ikke ? f? noe informasjon. I v?rt tilfelle har vi valgt en inklinasjon p? \(60^\circ\) for ? se en betydelig dopplereffekt.
Hvor synlig er stjerna v?r for en observat?r?
La oss virkelig imponere de utenomjordiske forskerne, og ta det et steg videre. N? skal vi lage en lyskurve i tillegg. En lyskurve er en graf som viser hvordan lyset fra stjerna endres over tid. Det er alts? en graf over lysstyrken som stjernen skinner med. Dersom en planet beveger seg foran stjernen, s? vil planeten blokkere noe av lyset fra stjernen. Da vil vi kunne se en reduksjon i lysstyrken. Dette heter en transitt.
Vi skal sammenligne stjernens areal sammen med planetens areal, og regne ut hvor mye lysstyrken til stjerna reduseres med. Da m? vi vite b?de planetens og stjernas radius. S? kan vi lage en modell for variasjonen i lysstyrken. For ? gj?re det enda mer realistisk skal vi ogs? her legge til noe st?y i simuleringen.
Hva fant vi ut?
Bevegelse om massesenteret:
N? har vi sett p? bevegelsen til planeten som er n?rmest stjerna v?r, i forhold til massesenteret. Vi har simulert disse bevegelsene, for ? visualisere bevegelsene.
Under er et plott som viser planetens og stjernens bane rundt sitt felles massesenter. Den svarte prikken i midten av sirkelen er massesenteret. Dette er punktet hvor systemets totale masse balanseres. Den oransje banen viser planetens bevegelse rundt massesenteret, og den bl? banen viser stjernens bevegelse. Hva sier disse sirklene oss om bevegelsen?
Vi ser at stjernen beveger seg mye mindre enn planeten. Stjernen er mye mer massiv enn planeten, og derfor vil massesenteret v?re n?rmere stjernen enn planeten. I praksis s? kan man tenke seg at massesenteret er n?rme sentrum av stjernen, og at stjernen “vugger” i stedet for ? st? i ro, fordi den g?r i sirkelbane rundt massesenteret. Denne hastigheten som for?rsaker denne vuggingen kalles radialhastigheten. Dette plottet viser oss hvordan stjernen ogs? beveger seg, ikke bare planeten. De sirkulerer begge to rundt et felles massesenter, som avhenger av massen til begge legemene.
Det er viktig ? forst? at selv om planeten har mye mindre masse enn stjernen, s? vil den ogs? p?virke stjernen med en gravitasjonskraft og for?rsake at stjernen ogs? beveger seg. Denne “vuggingen” vil kunne merkes gjennom dopplereffekten, og vil v?re med p? ? avgj?re hvor synlig stjernen v?r er for andre utenomjordiske vesener.
Den totale energien til massesenter-systemet
Her ser vi hvordan den totale energien endrer seg over tid, fra simulasjonen om planet og stjerne i bane om sitt felles massesenter:
Vi ser p? hvordan den totale energien for hele systemet endrer seg over tid. I et ideelt system ville den totale energien v?rt fullstendig bevart. Da hadde den vekslet mellom kinetisk energi og potensiell energi.
Vi ser p? systemet som best?r av stjerna og v?r hjemplanet. Disse g?r i bane rundt sitt felles massesenter. Her har vi brukt den relative hastigheten mellom dem, og den relative posisjonen mellom dem for ? bergene den totale energien. Den totale energien blir da summen av kinetisk og potensiell energi. Den kinetiske energien er den energien vi f?r fra bevegelsen til stjerna og planeten. Mens den potensielle energien f?r vi fra gravitasjonen. I et ideelt system er disse to balansert, og energien er bevart. Da taper vi ingen energi, og vi f?r heller ikke tilf?rt noen ny energi.
Vi har sett fra Keplers andre lov at stjernen beveger seg raskere n?r den er n?rmere stjernen. Da har den h?yere kinetisk energi: Men da vil den jo ha lavere potensiell energi da den er n?rmere solen, og gravitasjonskraften er st?rre.
N?r planeten er lengre vekk fra stjernen derimot, vil den ha relativt sett en lavere hastighet. Og da vil den ha h?yere potensiell energi, og da svakere gravitasjon fordi avstanden er st?rre. Vi ser at summen mellom disse ti energiformene, som da er den totale energien, skal forbli konstant.
P? plottet ser det tilsynelatende ut til ? v?re konstant, da vi ser grafen som en helt rett linje. Men la oss zoome inn p? kurven:
Mens vi zoomer inn, begynner vi ? se sm? variasjoner i kurven. Dette kommer sannsynligvis fra numeriske avvik, som er en f?lgefeil fra avrundinger ved hvert tidssteg. Vi har brukt Leapfrog-metoden for ? oppdatere posisjonene og hastigheten over tid. Ved hvert tidssteg gj?res det avrundninger og tiln?rminger som vil bygge seg opp til st?rre avvik over tid. Dette er noe som g?r utover tap i energi.
I tillegg har vi gjort alle simulasjonene p? datamaskinene v?re. Men de er begrenset n?r det gjelder ? representere tall. Det vil gj?res sm? avrundsingfeil her og der. Men en bitte liten avrunding i hver eneste beregning, ved hvert tidssteg, kan etter hvert f?re til merkbare variasjoner i energien det ogs?.
S? selv om vi i teorien har et ideelt system, alts? et system der energien bare flytter seg fra bevegelsesenergi til gravitasjonsenergi basert p? hastighetene og posisjonene til stjerna og planeten, s? observerer vi ikke at vi har konstant energi. I virkeligheten, samt i en simulering slik som er det vi ser p? n?, vil det oppst? sm? avvik som vil skille resultatet fra idealet.
La oss oppsummere plottet av den totale energien litt:
I plottet ser vi p? den totale energien til systemet som best?r av stjernen og planeten som g?r i bane rundt sitt massesenter. Dette er et system som, dersom vi ikke hadde tenkt oss om litt, hadde antatt at ville ha hatt konstant energi. Det er dette vi observerer i plottet. Den totale energien har en kurve som kun er en strek, da m? jo energien v?re fullstendig bevart.
Men s? zoomer vi inn ? ser sm? periodiske svingninger i kurven. Dette kan skyldes sm? numeriske avvik i beregninger. Eller s? kan det skyldes det at systemet er p?virket av andre krefter
Radialhastigheten - hva er massen til planeten?
Vi har n? analysert og observert radialhastigheten til stjerna i solsystemet v?rt og plottet en kurve som viser radialhastigheten over 20 ?r. Ved ? studere denne grafen ser vi hvordan stjernas hastighet langs synslinjen til observat?ren (oss) endrer seg over tid, eller med andre ord, hvordan stjerna “vugger” frem og tilbake. S? n? m? vi ta p? oss forskerbrillene og studere kurven. Det er nettopp denne metoden som brukes for ? oppdage eksoplaneter!
Figur 10 under viser kurven som representerer radialhastigheten:
Men hvordan kan vi akkumulere noe fornuftig informasjon fra denne grafen? La oss analysere det vi ser:
Hvis vi tegner inn en fin b?lgelinje gjennom hele grafen, s? ser vi at det er flere “streker” som avviker fra denne linjen. Disse indikerer at stjernen p?virkes av en planet som g?r i ellipsebane. Siden denne kurven viser hvordan stjernen p?virkes av gravitasjon fra planeten, s? vil den v?re uregelmessig siden planeten g?r i ellipsebane og er derfor noen ganger n?rmer stjernen og tyngdekraften blir derfor sterkere, og andre ganger lengre borte. Grafen har ogs? gaussisk st?y med 0 i gjennomsnitt og et standardavvik som tilsvarer en femtedel av den maksimale radiale hastigheten. Denne st?yen gj?r at simulasjonen er mer realistisk, siden vi ikke klarer ? observere en stjerne uten st?y fra instrumentene og andre faktorer i verdensrommet. Det er slik i det virkelige scenarioet, at vi observerer hastigheten til stjerner med st?y.
For ? estimere massen til planeten som g?r rundt stjernen, s? ser vi p? amplituden til hastigheten. Vi ser at grafen har en periodisk svinging, som er for?rsaket av gravitasjonskraften fra planeten som f?r stjernen til ? bevege seg frem og tilbake langs synslinjen vi observerer fra. Vi kan bruke amplituden til kurven for ? finne hastigheten til stjernen, og da kan vi videre estimere massen til planeten.
Fra plottet av radialhastigheten kan vi lese av maksimal og minimal radialhastighet. Vi m? alts? finne \(v_\text{max}\) og \(v_\text{min}\). Differansen mellom disse vil gj?re slik at vi kan beregne amplituden, som er et m?l p? hvor mye stjernen beveger seg frem og tilbake. Vi finner amplituden ved ? dele differansen p? to:
\(v_* = \frac{v_\text{max} - v_\text{min}}{2}\)
denne amplituden, \(v_*\), gir oss alts? et m?l p? hvor mye stjernen beveger seg p? grunn av gravitasjonkraften til planeten (langs synslinjen). Fra dette ser vi at jo st?rre planeten er, jo st?rre bevegelse vil se hos stjernen, og desto st?rre blir amplituden i radialhastighetskurven.
Vi kan lese av oml?psperioden, \(P\), direkte av fra plottet. Oml?psperioden er tiden mellom to bunner eller to topper, som kommer rett etter hverandre, i radialhastighetskurven. Dermed kan vi sette verdiene, amplituden og oml?psperioden, inn i formelen for plantens masse.
Fra plottet av radihalhastighetskurven kan vi se at den maksimale hastigheten som stjernen kan oppn? er omtrent:
\(v_\text{rad, max} = 2 \cdot 10^{-5} \ \text{AU/?r} \)
Og den minimale hastigheten kan vi lese av til ? v?re omtrent:
\(v_\text{rad,min} = -2 \ \cdot 10^{-5} \ \text{AU/?r}\)
Disse verdiene er bare lest av p? grafen, og er derfor ikke n?yaktige. Dette er viktig ? huske n?r vi skal dr?fte resultatene v?re!
Da kan vi videre regne ut differansen mellom disse:
\(\Delta v_\text{rad} = v_\text{rad,max} - v_\text{rad,min} = (2 \cdot 10^{-5} \text{AU/?r}) - (-2\cdot 10^{-5}\text{AU/?r}) = 4\cdot 10^{-5} \text{AU/?r}\)
Da gjenst?r det ? finne amplituden:
\(K = \frac{\Delta v_\text{rad}}{2} = \frac{4\cdot 10^{-5}}{2} \text{AU/?r} = 2\cdot 10^{-5} \text{AU/?r}\)
N? som vi har regnet ut amplituden fra radialhastighetskurven, s? m? vi finne oml?psperioden, slik at vi kan regne ut planetens masse. Som nevnt ovenfor, kan vi se omtrent hva oml?psperioden er ut fra kurven. Vi leser av hvor mange ?r det er mellom to topper eller to bunner p? kurven. Den ser ut til ? v?re omtrent 10 ?r. Dette er bare sett grovt ut fra grafen. (Vi husker fra forrige bloggpost at Newtons og Keplers ligning ga oss en oml?pstids p? ca. 7 ?r). Planeten bruker alts? 10 ?r p? ett komplett oml?p rundt stjernen.
Da kan vi sette inn i formelen, og finne en nedre grense for massen til planeten. Vi kjenner allerede til massen til solen, den er \(3,3475 \ \text M_\odot\). La oss regne ut et minste estimat p? massen:
\(\text M_\text{planet} = \frac{(3,348 \ \text M_\odot)^{2/3} \cdot (2\cdot 10^{-5} \text{km/s}) \cdot (10\text{?r})^{1/3}}{(2 \pi G \ \text{AU}^3\ \text{?r}^{-2} \text{M}^{-1})^{1/3} \text{sin}\ 60^{\circ}} = \text M_\text{planet,min} = 1,5347 \cdot 10^{-5} \text M_\odot\)
Vanligvis vil man bruke utledningene og uttrykkene ovenfor for ? bli mer kjent med planeten som passerer foran stjernen. Men n? har vi sett p? hjemplanet v?r. Og denne har en masse vi kjenner til. Da kan vi sammenligne og se hvor riktig svaret vi fikk for den nedre massen faktisk er.
Massen til hjemplaneten v?r er:
\(\text M_\text{planet} = 1,0297 \cdot10^{-5} \text M_\odot\)
Massen vi estimerte var:
\(\text M_\text{estimert} = 1,5347 \cdot 10^{-5} \text M_\odot\)
Differansen mellom disse er \(\text M_\text{planet} - \text M_\text{estimert} = 5,0504 \cdot 10^{-6} \text M_\odot\)
Vi ser at den estimerte massen er veldig lik den faktiske massen v?r. Men grunnen for at de ikke blir n?yaktig de samme, er fordi den estimerte massen bare er et nedre estimat for den faktiske massen. N?r planetenen passerer foran stjernen s? ser vi ikke hele planetens bevegelse, hvor mye av bevegelsen vi ser kommer an p? inklinasjonsvinkelen. Derfor f?r vi ikke et helt n?yaktig uttrykk for massen. Alts? er inklinasjonsvinkelen den st?rste usikkerheten i beregningen.
Lyskurven - hvor synlige er vi?
Dette plottet viser lyskurven for stjernen v?r under en transitt. I plottet er det ikke inkludert st?y, s? vi ser kun p? hvordan posisjonen til planeten vil redusere fluksen til stjernen.
I starten av plottet er den relative fluksen lik 1, dette betyr at det ikke er noen planet som blokkerer lyset fra stjernen. I plottet ser vi at etter omtrent 0.2 ?r, s? har vi en plutselig reduksjon i fluksen. Det er her planeten begynner ? passere foran stjernen. Den laveste delen av kurven representerer perioden der hvor planeten er helt foran stjernen. Videre ser vi at fluksen ?ker tilbake mot 1, som vil skje n?r planeten passerer forbi.
Vi har antatt her at hele stjernen er synlig for observat?ren. Dette plottet viser en omtrent perfekt kurve uten st?y. Denne gir en modell av hvordan en transitt ville ha sett ut, dersom det ikke var noen form for observasjonsfeil. Men realistisk sett vil det v?re n?rmest umulig ? unng?. Derfor har vi her plottet akkurat det samme plottet, men denne gangen lagt til litt st?y. P? denne m?ten kan vi se p? hvordan et ekte simulasjon av en transitt ville ha blitt observert.
Dette plottet er alts? akkurat det samme som det tidligere plottet, men med inkludert st?y. Derfor viser dette mer realistiske observasjonsforhold. I Figur 9 (uten st?y) kunne vi tydelig se linjen til kurven. Vi ser hvordan st?yen skjuler dette klare m?nsteret. Men selv om st?yen gj?r det en del vanskeligere ? identifisere transitten, s? kan vi for det om se en generell trend. Vi ser nemlig akkurat den samme reduksjonen i lysstyrken midt i plottet.
Plottet sammen med st?yet (Figur 12) er mer likt det en utenomjordisk forsker ville ha sett, dersom de observerte solen i v?rt solsystem. Realistisk sett representerer st?yet i m?lingene andre faktorer som atmosf?riske forstyrrelser eller instrumentfeil, eller kanskje til og med begge deler samtidig. St?yen representerer ogs? m?leusikkerheter og variasjoner i lysstyrken fra stjernen som ikke re direkte relater til planetens transitt.
Men hvordan kan vi finne planetens radius ut fra disse plottene?
Vi ser i plottet hvordan lyset fra stjernen blir blokkert n?r planeten er foran stjernen, sett fra en gitt observasjonsposisjon. N?r planeten passerer foran kan vi observere en liten "dipp" i lysstryken. Reduksjon i lysstyrken vil avhenge av planetens st?rrelse sammenlignet med stjernas st?rrelse. Vi kan derfor beregne planetens radius, basert p? hvor mye lysstyrken reduseres med.
P? kurven uten st?y ser vi at det er et lite hakk inn, der hvor kurven g?r nedover. Dette er der hvor planeten har beveget seg to radiuser inn, og er fullstendig foran solen. Vi kan se p? grafen omtrent hvor mange ?r dette tok, ogs? kan vi estimere radiusen til planeten ut fra dette. Vi har antatt at planeten beveger seg konstant langs en rett linje foran stjernen. Da finner vi radiusen slik:
strekning = fart gange tid.
Denne kjenner vi igjen fra fysikk 1. Her er strekningen to ganger med radiusen.
Videre bruker vi formelen for bevaring av bevegelsesmengde. Siden vi ser p? et system med en stjerne og en planet som virker i et graviatsjonssystem s? kan vi bruke denne:
\(v_\text{planet} = v_\text{stjerne} \frac{m_\text{stjerne}}{m_\text{planet}}\)
Vi setter inn denne i formelen for radiusen og f?r:
\(\text{radius}=\frac{v_\text{planet} \cdot 0,6 \text{?r} }{2}\)
\(\text{radius}= {2 \cdot 10^{-5} \cdot AU/?r} \frac{3,3479 \text M_\odot}{1,0297 \cdot 10^{-5} \text M_\odot} \frac{0,6?r}{2} =1,95 AU\)
Her har vi innsatt maksimalhastigheten til stjernen som \(\text{v_stjerne}\). Denne vet vi fra radialhastighetskurven. Denne kan vi lese av plottet for radialhastighet og se at er omtrent \(2 \cdot 10^{-5} \text{AU/?r}\) Tiden fant vi ved ? se p? lengden av transitten utifra plottet. Vi leser av plottet og ser at transitten vare fra omtrent 0,2 ?r til 0.8 ?r. Det betyr at lengden p? transitten er cirka 0,6 ?r.
Vi kjenner til den faktiske radiusen til hjempaneten v?r, den er lik 9928.714878163777 km. N?r vi konverterer denne til AU f?r vi: 6,64 * 10^-5 AU.
Vi estimerte at radiusen ble omtrent 1,95 AU. Den estimerte radiusen er betydelig st?rre enn den faktiske radiusen. Dette kan skyldes flere ting. Som for eksempel kan det komme av un?yaktigheter i m?lingene av radialhastigheten, eller s? kan det komme av feil i m?lingen av transittiden. Dette betyr at vi mest sannsynlig burde m? justere hastighetsm?lingen, alts? vi m? m?le mer n?yaktig for ? f? et bedre estimat. M?lingen av hastigheten er nok den st?rste usikkerheten v?r.
P? lyskurven uten st?y observerer vi en tydelig reduksjon i fluksen. Spesielt n?r planeten er fullstendig foran solen, dette ser vi i plottet i midten av transittperioden. Der er det en flat bunn som representerer at i det tidspunktet s? er planeten rett foran stjernen.
For plottet av lyskurven inkludert st?y, s? er det inkludert st?y i dataene, for ? f? et mer realistisk resultat. St?yet representerer diverse observasjonsforstyrrelser. Vi ser hvordan st?yet gj?r det vanskligere ? se den faktiske formen p? transitten, men den gir oss derimot en god representasjon p? hvordan en ekte observasjon ville ha sett ut.
Nederst p? lyskurven kan vi lese av omtrent hvor mye som lysstyrken reduseres med. Alts? hvor mye av fluksen som reduseres, sammenlignet med n?r planeten ikke dekker noe av stjernen. Denne verdien vil gi oss forholdet mellom radien til stjernen og radien til planeten. Vi kjenner til radien til solen, og kan lese av fluksreduksjonen fra plottet. Da er det bare ? sette inn i formelen, ogs? har man estimert planetens radie.
N? som vi kjenner til radien til planeten, kan vi videre estimere tettheten til planeten ogs?. For ? kunne gj?re dette s? m? vi finne ut av hva som er planetens volum.
Vi kjenner til formelen for volumet av en kule. Da kan vi regne ut volumet til planeten v?r: (Her bruker vi den faktiske radiusen for planeten, da den estimerte radiusen ikke ble slik vi hadde ?nsket):
\(V = \frac{4}{3} \pi \text R_\text{planet}^3 = \frac{4}{3} \pi\ (9928,7\cdot 10^3 \text{m})^3 = 4,10 \cdot 10^{21} \ \text{m}^3\)
hvor \(\text R_\text{planet} \) er radiusen til planeten.
Videre trenger vi massen til planeten. Denne estimerte vi tidligere fra radialhastighetskurven. Dermed kan vi estimere tettheten, \(\rho\), slik:
\(\rho = \frac{\text M_\text{planet}}{V}\)
hvor \(\rho\) er tettheten, \(\text M_\text{planet}\) er massen til planeten m?lt i solmasser og \(V\) er volumet av en kule.
Tettheten er gitt ved:
\(\rho = \frac{m}{V} = \frac{1,029678 \cdot 10^{-5}\ \text M_\odot}{4,10\cdot 10^{21}m^3} = 4,99 \cdot 10^{3} \ kg/ m^3\)
For referanse kan vi sammenligne denne med for eksempel jorden sin tetthet. Tettheten til jorden kjenner vi til ? v?re omtrent \(5,5\cdot 10^3 kg/m^3\).
Vi ser med en gang at v?r hjemplanet har en tetthet ikke s? langt unna den tetthet jorden har. Veldig ofte betyr det at planeten med lavere tetthet er sammensatt av lettere elementer, som for eksempel hydrogen og helium. For eksempel har Jupiter en mye lavere tetthet enn jorden, da Jupiter er en gasskjempe. Mens tyngre planeter, som steinplaneter som jorden og hjemplaneten, vil ha h?yere tettheter.
Tettheten til hjemplaneten v?r er lavere enn tettheten til jorden. Dette kan inneb?re at hjemplaneten inneholder en mindre andel tunge metaller enn det jorden gj?r.
Selv om svaret v?rt virker rimelig, er det alltid viktig ? ta usikkerheter i betraktning. Vi har for eksempel antatt at planeten har en sf?risk form, og derfor ganske enkelt brukt formelen for volum av en kule. Men dersom planeten har store variasjoner geografisk eller at steinplaneten v?r ikke best?r av de elementene vi forventer (alts? vi antar tunge elementer i kjernen), s? kan dette p?virke utregningen av tettheten. Det er ogs? viktig ? alltid ha usikkerheter i m?lingene i bakhodet. Har vi noen usikkerheter i m?lingene av massen eller radien? I utregningene av tettheten har vi brukt de faktiske kjente verdiene for radien og massen til planeten, s? vi burde v?re ganske good her. Men usikkerheter er alltid noe vi skal tenke over :)