(2) Relativistisk ping pong

I denne ?velsen skal vi dykke videre ned i den spesielle relativitetsteoriens ved ? unders?ke et scenario som involverer to romskip og en romstasjon. Fokuset v?rt er ? forst? hvordan tidsintervaller og hendelsessekvenser oppfattes forskjellig i to referansesystemer: ¨¦n som er knyttet til romskipene i bevegelse og ¨¦n som er knyttet til den stasjon?re romstasjonen. De viktigste tingene vi skal se p? er blant annet

1. Sammenligning av tidsintervaller i romskipets referansesystem: Finne ut om laserstr?len bruker lengre tid p? ? bevege seg fra venstre mot h?yre eller fra h?yre mot venstre i romskipets perspektiv, og se p? ?rsakene til dette.
2. Visualisering i romstasjonens referansesystem: Forestill deg romskipenes og laserstr?lens bevegelse fra romstasjonens perspektiv, med tanke p? lysets konstante hastighet og romskipenes h?ye hastighet.
3. St?rste tidsintervall i romstasjonens bilde: Identifisere hvilken av laserstr?lens reiser, fra venstre mot h?yre eller fra h?yre mot venstre, som tar lengst tid i romstasjonens perspektiv, og forklare hvorfor.
4. Effekten av ? ?ke romskipets hastighet: Observere endringer i tidsintervallene n?r romskipets hastighet ?ker, og sammenligne disse funnene med et ikke-relativistisk scenario med en bordtennisball.
5. Sekvensering av hendelser i romstasjonens ramme: Bestemme rekkef?lgen av spesifikke hendelser i det relativistiske tilfellet fra romstasjonens synsvinkel.

Situasjonen

La oss begynne med ? se litt n?rmere p? situasjonen. Som sagt s? ser vi I dette tankeeksperimentet p? et scenario i verdensrommet som involverer to romskip og en romstasjon, med fokus p? relativitetsprinsippene. Romskipene beveger seg med h?y hastighet, n?r lysets hastighet, i forhold til romstasjonen. Denne settingen gj?r det mulig for oss ? unders?ke hvordan ulike referansesystemene oppfatter tid og hendelsesforl?p forskjellig.

Det viktigste elementet i eksperimentet er en laserstr?le som blir brukt til ? illustrere relativistiske effekter. Denne str?len reflekteres mellom de to romskipene, som er utstyrt for dette form?let. Senere, i en ikke-relativistisk kontekst, erstattes laserstr?len med en bordtennisball som beveger seg med konstant hastighet i forhold til romskipene, for ? unders?ke om og hvordan relativitetsprinsippene gjelder i dette scenarioet.

Unders?kelsen v?r dreier seg om flere viktige hendelser:

Hendelse A: Laserstr?len sendes ut ved \(t'=t=0\) og \(x'=x=0\).
Hendelse B: Laserstr?len reflekteres av det h?yre romskipet.
Hendelse C: Eksplosjon ved romstasjonen i romskipets referansesystem.
Hendelse D: Laseren som reflekteres i B n?r det venstre romskipet.

1. Vi begynner med ? sammenligne tidsintervallene for laserstr?lens reise i romskipets ramme: fra venstre til h?yre og deretter fra h?yre til venstre. Vi fors?ker ? forst? hvilket intervall som er st?rst og hvorfor.
2. Deretter skifter vi perspektiv til romstasjonens perspektiv, med tanke p? lysets invarians og romskipets h?ye hastighet. M?let v?rt er ? visualisere romskipenes og laserstr?lens bevegelse fra dette perspektivet.
3. I romstasjonens bilde fors?ker vi ? finne ut hvilken vei laserstr?len bruker lengst tid p? ? bevege seg - enten til h?yre eller til venstre - og ser n?rmere p? hva som ligger bak dette.
4. Vi observerer ogs? hvordan tidsintervallene endrer seg etter hvert som romskipene ?ker hastigheten, helt opp til 0,8c. Denne observasjonen hjelper oss med ? forst? hvordan hastigheten p?virker tidsoppfatningen i ulike bilderammer.
5. Vi gjentar deretter scenariet med en bordtennisball i en ikke-relativistisk kontekst. Vi unders?ker om de samme prinsippene som ble observert med lysstr?len, ogs? gjelder for bordtennisballen, og hvis ikke, hvorfor.
6. N?r vi g?r tilbake til det relativistiske tilfellet med lysstr?len, bestemmer vi rekkef?lgen p? hendelsene i romstasjonens ramme, med s?rlig fokus p? om hendelse C eller B inntreffer f?rst.
7. Vi fors?ker ? visualisere hvordan scenariet utspiller seg i romstasjonens ramme, med fokus p? rekkef?lgen p? hendelsene og romskipenes og romstasjonens posisjoner under disse hendelsene.
8. Til slutt sammenligner vi visualiseringen v?r med en faktisk video av scenariet i ramme 2 for ? se om v?r forst?else stemmer overens med virkeligheten.

Metode - Hvordan svarer vi p? disse sp?rsm?lene?

For ? svare p? sp?rsm?lene som involverer romskipets bevegelse og oppf?rselen til en laserstr?le (og senere en bordtennisball) i ulike referanserammer, brukte vi prinsippene i den spesielle relativitetsteorien, med s?rlig fokus p? lyshastighetens invarians, tidsdilatasjon og samtidighetens relativitet. Slik gikk vi frem for ? l?se hvert enkelt problem:

Sammenligning av tidsintervaller i romskipets referansesystem: Vi startet med ? sammenligne tiden det tar for laserstr?len ? bevege seg fra venstre til h?yre romskip og omvendt. I romskipets perspektiv, der begge romskipene er i ro i forhold til hverandre, forventes det at tidsintervallene for laserstr?len mellom romskipene (\(\Delta t'_{AB}\) og \(\Delta t'_{BD}\)) er de samme. Dette er fordi lyshastigheten er konstant og avstandene er like i dette referansesystemet.

Visualisering av scenen i romstasjonens referansesystem: N?r vi forestiller oss scenen fra romstasjonens synsvinkel, der romskipene beveger seg i h?y hastighet, inneb?rer lysets konstante hastighet at avstandene som lyset tilbakelegger i hver retning, vil oppfattes forskjellig. Romskipet som beveger seg mot lysstr?len, vil m?te str?len tidligere enn det som beveger seg bort, noe som f?rer til ulike tidsintervaller for str?lens bevegelse i hver retning.

Bestemmelse av det st?rste tidsintervallet i romstasjonens referansesystem: Fra romstasjonens perspektiv vil tidsintervallet for laserstr?len som beveger seg mot romskipet som beveger seg bort fra den (\(\Delta t_{BD}\)), v?re lengre enn tidsintervallet for str?len som beveger seg mot romskipet som n?rmer seg (\(\Delta t_{AB}\)). Dette skyldes romskipenes relative bevegelse og lyshastighetens invarians.

Ikke-relativistisk tilfelle med en bordtennisball: I det ikke-relativistiske scenariet erstatter vi laserstr?len med en bordtennisball som beveger seg med en konstant hastighet p? 80 km/t i forhold til romskipene, mens romskipene selv beveger seg med 50 km/t i forhold til planeten. Det sentrale problemet vi tar opp her, er om reisetidene som observeres for bordtennisballen som beveger seg frem og tilbake mellom romskipene, er forskjellige p? samme m?te som for lys i en relativistisk kontekst.

I utgangspunktet kan man anta at reisetiden for ballen som beveger seg mot romskipet som n?rmer seg (mot h?yre) vil v?re kortere enn n?r den beveger seg mot romskipet som fjerner seg (mot venstre), p? samme m?te som for lys i en relativistisk sammenheng. Denne antakelsen overser imidlertid et avgj?rende poeng: Relativitetsteoriens prinsipper, som dikterer konstant lyshastighet og f?rer til fenomener som tidsdilatasjon, gjelder ikke i dette ikke-relativistiske scenariet.

Problemet ligger i ? anvende relativistiske prinsipper p? en situasjon som styres av klassisk mekanikk. I denne ikke-relativistiske konteksten p?virker de relative hastighetene til romskipene og bordtennisballen direkte de observerte reisetidene. Ballens konstante hastighet i forhold til romskipene og romskipenes konstante hastighet i forhold til planeten betyr at reisetidene bestemmes ved enkel addisjon og subtraksjon av hastigheter, uten den kompleksiteten som relativistiske effekter medf?rer. 

Bestemmelse av hendelsesforl?pet i romstasjonens ramme: I det relativistiske tilfellet med lysstr?len m?tte vi avgj?re om hendelse C (eksplosjon i det ene romskipet) eller B (refleksjon i det andre romskipet) skjer f?rst i romstasjonens ramme. Ved ? forestille oss et objekt midt mellom hendelsene B og C, som beveget seg med romskipene, kom vi frem til at lyset fra eksplosjonen (hendelse C) ville n? dette midtpunktet f?r lyset fra refleksjonen (hendelse B) p? grunn av romskipenes relative bevegelse.

Visualisering og sammenligning med videoen for bilde 2: Til slutt visualiserte vi hvordan hendelsene ville utspille seg i romstasjonsbildet, med tanke p? rekkef?lgen p? hendelsene og posisjonene til romskipene og romstasjonen. Denne visualiseringen ble deretter sammenlignet med den faktiske videoen for bilde 2 for ? kontrollere n?yaktigheten av v?r forst?else.

Konklusjon

I disse tankeeksperimentene utforsket vi nyansene i relativistisk og ikke-relativistisk fysikk, med fokus p? hvordan tid og hendelser oppfattes forskjellig i ulike referanserammer. I de relativistiske scenariene unders?kte vi hvordan en laserstr?le oppf?rer seg fra et romskip og en romstasjon, og avdekket den konstante lyshastigheten og dens sentrale rolle i fenomener som tidsdilatasjon. Dette satte s?kelyset p? den relativistiske fysikkens ikke-intuitive, men likevel grunnleggende natur.

Da vi gikk over til ikke-relativistiske forhold, byttet vi ut laserstr?len med en bordtennisball og demonstrerte at relativistiske prinsipper ikke gjelder ved vanlige hastigheter. Her ga klassisk mekanikk en mer passende forklaring, noe som understreket grensene for Einsteins teorier i hverdagsscenarier.

M?let med disse eksperimentene var blant annet ? illustrere hvordan fysiske lover varierer under ulike forhold, fra relativitetsteoriens ekstraordin?re hastigheter til dagliglivets velkjente hastigheter. 

Litt beregninger

Som en bonus p? slutten skal vi gj?re noen analytiske beregninger for eksperimentet vi har sett p?. Relativitetsteori er tungt ? forst? intuitivt, og det kan v?re utfordrende ? forestille seg hvordan ting virkelig vil utarte seg. Derfor har vi heldigvis matematikken som vi kan st?tte oss p? for ? gj?re det. Fysikken her kan v?re litt komplisert, s? det kan v?re en fordel ? ta en kikk p? dette f?r dere g?r videre. Vi kan begynne med ? se p? posisjonen og tiden \((x',t')\) for de fire hendelsene A, B, C og D fra romskipenes referansesystem. Fra en simulasjon som vi har gjort har vi f?tt f?lgende verdier som vi skal ta utgangspunkt i framover:

Da vil vi finne avstanden mellom romskipene \(L'\) sett fra deres perspektiv og tidsintervallene \(\Delta t'_{AB}\) og \(\Delta t'_{BD}\).

Vi har to hendelser A og B som skjer ved de to romskipene. Avstanden \(L'\) er da gitt ved \(L'=|x_A'-x_B'|=|4.00\cdot10^5m-0.00m|=4.00\cdot10^5m\). For tidsintervallene har vi \(\Delta t_{AB}'=t'_B-t'_A=1.34ms-0.00ms=1.34ms\) og \(\Delta t_{BD}'=t'_D-t'_B=2.68ms-1.34ms=1.34ms\).

Setter s? opp posisjonene og tidene sett fra romstasjonen

N? skal vi se p? romtidintervallene \(\Delta S_{AB}\) og \(\Delta S'_{AB}\). De kan finnes med f?lgende formeler:

\(\Delta S_{AB}^2=\Delta t_{AB}^2-\Delta x_{AB}^2\)

\(\Delta {S'_{AB}}^2={\Delta t'_{AB}}^2-{\Delta x'_{AB}}^2\)

Vi kan beregne intervallene og likestille tidsromsavstandene. La oss f?rst utf?re en enkel resonnement: I naturlige enheter m?ler vi tid og avstand p? samme m?te. Derfor vil avstanden som lyset reiser i naturlige enheter ogs? v?re tiden det tar for lyset ? reise. Siden avstanden lyset skal reise fra hendelse A til hendelse B i det merkede koordinatsystemet er \(x'_B\), betyr det at \(x_B'=t_B'\). Vi har da de f?lgende verdiene:

Fra det f?r vi

\(\Delta x_{AB}=x_B\)

\(\Delta t_{AB}=t_B\)

\(\Delta x_{AB}'=t'_B\)

\(\Delta t'_{AB}=t'_B\)

Dette gir videre

\({\Delta S_{AB}}^2=\Delta t_{AB}^2-\Delta x_{AB}^2=t_B^2-x_B^2\)

\({\Delta S'_{AB}}^2={\Delta t'_{AB}}^2-{\Delta x_{AB}'}^2={t'_B}^2-{t'_B}^2=0\)

Ved ? sette ligningene like hverandre f?r vi 

\(t_B^2-x_B^2=0\)

\(t_B^2=x_B^2\)

\(t_B=x_B\)

N? ?nsker vi ? finne \(t_C\) fra bevaring av tideromsavstanden. For ? gj?re det finner vi \(\Delta S_{AC}\) og \(\Delta S'_{AC}\). Vi begynner med ? sette opp tidene og posisjonene

Fra det f?r vi tideromsavstandene under:

\(\Delta S_{AC}^2=\Delta t_{AC}^2-\Delta x_{AC}^2={t_C}^2-x_C^2=t^2_C\)

\({\Delta S'_{AC}}^2={\Delta t'_{AC}}^2-{\Delta x_{AC}'}^2={t'_C}^2-{x'_C}^2\)

Ved ? sette de like hverandre f?r vi 

\(t_C^2={t'_C}^2-{x'_C}^2\)

\(t_C=\sqrt{{t_C'}^2-{x'_C}^2}\)

N? skal vi utlede et uttrykk for \(t_B\) ved ? se p? bevaring av tidsromintervaller. Vi skal lage uttrykk for \(\Delta S_{BC}\) og \(\Delta S_{BC}'\). F?rst setter vi opp alle kjente og ukjente tidspunkter og posisjoner for hendelsene B og C i begge koordinatsystemene.

Da har vi

\(\Delta x_{BC}=-t_B\)

\(\Delta t_{BC}=t_C-t_B\)

\(\Delta x_{BC}'=x_C'-x_B'\)

\(\Delta t'_{BC}=t_C'-t_B'\)

Vi har de f?lgende tideromsavstandene:

\(\Delta S_{BC}^2=\Delta t_{BC}^2-\Delta x_{BC}^2=(t_C-t_B)^2-t_B^2\)

\({\Delta S_{BC}'}^2={\Delta t_{BC}'}^2-{\Delta x_{BC}'}^2=(t_C'-t_B')^2-(x_C'-x_B')^2\)

Ved ? sette de lik hverandre f?r vi

\((t_C-t_B)^2-t_B^2=(t_c'-t_B')^2-(x_C'-x_B')^2\)

Dette kan omformes til 

\(t_B={t_C^2+(x_C'-x_B')^2-(t_C'-t_B')^2\over2t_C}\)

Her er alle variblene i uttrykket kjente verdier.

N? skal vi finne et uttrykk for \(t_D\). For ? gj?re det setter vi opp et tideromsintervall for hendelse A og D. Vi har de f?lgende posisjonene og tidene:

Fordi romskipene er i ro i forhold til hverandre, m? tiden \(t_D'\)v?re dobbelt s? stor som \(t_B'\). Dette skyldes at lyset reiser like langt mellom hendelse B og D som mellom A og B. Dette betyr at hendelse D vil skje etter \(t'_B\) pluss tiden lyset bruker til ? reise tilbake til det opprinnelige romskipet. Farten \(v\) er p? \(0.65c\), eller \(0.65 \) i naturlige enheter. Vi kan begynne med ? sette opp noen intervaller.

\(\Delta x_{AD}=-v\cdot t_D\)

\(\Delta t_{AD}=t_D\)

\(\Delta x'_{AD}=0\)

\(\Delta t'_{AD}=2\cdot t_B'\)

Dette gir

\(\Delta S_{AD}^2=\Delta t_{AD}^2-\Delta x_{AD}^2=t_D^2-v^2t_D^2\)

\({\Delta S_{AD}'}^2={\Delta t_{BC}'}^2-{\Delta x_{BC}'}^2=(2\cdot t_B')^2\)

Ved ? sette de like hverandre f?r vi f?lgende:

\(t_D^2-v^2t_D^2=(2\cdot t'_B)^2\)

\(t_D^2(1-v^2)=(2\cdot t_B')^2\)

Ved f?lgende identitet \(\gamma^2={1\over 1-v^2}\) f?r vi

\(t_D=2\gamma t'_B\)

N? ?nsker vi ? finne et tallsvar for \(t_B\) som tiden etter f?rste refleksjon. Da f?r vi

\(t_B={t_C^2+(x_C'-x_B')^2-(t'_C-t_B')^2\over 2\cdot t_C}\approx0.614ms\)

N? skal vi finne tiden det tok mellom refleksjon 1 og 2, alts? hendelse B og D. Da kan vi beregne \(t_D-t_B\approx2.91ms\).

Fra tallene vi har f?tt ser vi at hendelse B skjer f?r hendelse C i referansesystemet til romstasjonen. Vi finner ogs? at \(t_B\approx0.614ms\) og \(t_C\approx1.02ms\).

Hva har vi gjort i beregningene over?

Bergegningene over har brukt en rekke konsepter i relativitetsteorien, og er egentlig bare matematiske formuleringer av disse sammenhengene. De viktigste konseptene som ble brukt var de f?lgende:

1. Tidromintervaller i relativitetsteori: I utregningene over har vi brukt tidromintervaller mellom forskjellige hendelser (for eksempel mellom hendelsene A og B, A og C, B og C) i b?de romskip- og romstasjon-referansesytemer. Et tidromintervall, et sentralt konsept i spesiell relativitet, er en kombinasjon av romlig avstand og tidsforskjell mellom to hendelser. Poenget med den er at den er en invariant st?rrelse, alts? forblir konstant uansett hvilket inertialsystem det m?les i. Dette stemmer med det grunnleggende postulatet i Einsteins teori om at lysets hastighet er konstant i alle inertialsystemer.

2. Anvendelse p? romskip- og romstasjon-referansesystem: Ved ? beregne disse intervallene fra to forskjellige perspektiver, romskipet og romstasjonen, har vi demonstrert hvordan m?linger av avstand og tid kan variere betydelig avhengig av observat?rens bevegelsestilstand. Dette illustrerer den fysiske realiteten av tidsdilatasjon og lengdekontraksjon - to fenomener som direkte f?lger av den spesielle relativitetsteorien. Tidsdilatasjon betyr at en observat?r vil m?le en lengre tidsperiode for en hendelse som foreg?r i et bevegelig system sammenlignet med et system i ro, mens lengdekontraksjon betyr at objekter i bevegelse ser ut til ? v?re kortere i bevegelsesretningen.

3. Invariansen av tidromintervaller: Det at tidromintervallene er de samme i b?de romskip- og romstasjonsrammene, til tross for forskjellige m?linger av tid og avstand, bekrefter at fysiske lover er konsistente over forskjellige referanserammer. Dette prinsippet tillater oss ? koble observasjoner og m?linger p? tvers av forskjellige inertialsystemer.

4. Beregning av ukjente variabler: Gjennom ? se p? invariansen av tidromintervaller, kunne vi l?se for variabler slik som \(t_B\), \(t_C\) og \(t_D\)? i romstasjonens referansesystem. 

N? som vi har sett p? det relativistiske spillet med ping pong kan vi g? videre til ? se p? et annet interessant fenomen i relativitetsteorien, nemlig tvillingparadokset. I de to neste blogginnleggene skal vi studere det.