Luftmotstand
En av de viktigste tingene ? vite n?r man skal lande er hvor stor luftmotstanden er. Dette avgj?r hvor fort vi kommer ned mot bakken, og det er helt n?dvendig ? kunne regne p? dette s? vi ikke styrter i bakken og ?delegger romskipet.
S? hvordan finner vi luftmotstanden? Vi kan bruke denne ligingen:
\(F_{drag}={1\over2}\rho C_dAv_d^2\)
Her inng?r f?lgende st?rrelser:
- \(\rho\) er tettheten til atmosf?ren
- \(C_d\) er en konstant kalt dragkoefisienten som vi her setter lik 1
- \(A\) er overflatearealet til det som faller
- \(v_d\) er hastigheten til det som faller relativt til atmosf?ren
Denne kraften peker alltid i motsatt retning av bevegelsen. Ligningen oppsummerer forholdet mellom disse variablene. Den viser at luftmotstanden er proporsjonal med tettheten, luftmotstandskoeffisienten, tverrsnittsarealet og kvadratet av hastigheten.
N? er vi interessert i ? finne et uttrykk for hastigheten til atmosf?ren. Vi m? huske p? at atmosf?ren flytter seg sammen med planeten n?r den roterer. Det er n?dvendig ? finne ut hvor fort dette skjer for ? kunne finne et uttrykk for \(v_d\). Hastigheten \(\vec w\) representerer hastigheten til atmosf?ren relativt til planeten.
Vi g?r ut i fra at vinkelhastigheten er konstant utover. Det vil si at to punkter i atmosf?ren vil rotere like mange grader per tid uavhengig av hvor langt unna planeten de er. I praksis betyr dette at punkter langt unna planeten vil ha en h?yere hastighet enn de n?rme.
Vi begynner med ? sette opp et uttrykk for vinkelhastigheten. Det er definert som f?lgende:
\(\vec{\omega}=\vec{r}\times\vec{v}_T\)
Her er \(\vec{r}\)posisjonsvektoren og \(\vec{v}_T\) den tangensielle komponenten til hastigheten. Videre kan vi se p? hvordan vi kan uttrykke posisjonsvektoren \(\vec r\). Siden vi ser p? planeten som kuttes av xy-planet og at vi har angul?r symmetri passer det utmerket ? bruke sylinderkoordinater for ? uttrykke posisjonen. Sylinderkoordinater fungerer ganske likt som polarkoordinater med at man har en komponent som forteller vinkelen, og en som forteller hvor langt ute i sirkelen man er. Forskjellen er at man ogs? har en komponent for hvor h?yt over grunnflaten man er. Da kan vi skrive \(\vec{r}=r\hat{e}_r\), der \(\hat{e}_r\) er enhetsvektoren i radiell retning og \(r=|\vec r|\). Fra dette kan vi se at \(\vec{w}=\vec{v}_T\). Det skyldes at atmosf?ren har en hastighet som st?r normalt p? den radielle retningen.
Fra dette kan vi uttrykke f?lgende:
\(\vec{w}=\vec{\omega}\times\vec r=\omega\hat e_z\times r\hat e_r=\omega r(\hat e_z\times\hat e_r)=\omega r\hat e_\theta\)
Vi vet videre at hastigheten til romskipet m? v?re p? formen \(\vec v=v_r\hat e_r+v_\theta \hat e_\theta\). Dersom vi ?nsker ? finne hastigheten relativt til atmosf?ren m? vi se p? differansen av disse to, som gir
\(\vec v_d=\vec v-\vec w=v_r\hat e_r+v_\theta\hat e_\theta-\omega r\hat e_\theta\)
\(=v_r\hat e_r+(v_\theta-\omega r)\hat e_\theta\)
\(=v_r\hat e_r+\left(v_\theta-{2\pi\over T}r\right)\hat e_\theta\)
Her bruker vi til slutt at \(\omega={2\pi\over T}\) siden vi ser p? en sirkelbevegelse med konstant fart.
Terminalhastighet
Terminalhastighet er et annet viktig prinsipp ? se p? n?r man skal lande. Dette er hvis du ikke husker, den hastigheten som n?s n?r luftmotstanden er lik tyngdekraften. Alts? er det farten man n?r n?r man slutter ? akselerere. S? hva skjer spesifikt n?r raketten kommer inn i atmosf?ren?
En av tingene som skjer er at den tangentielle hastigheten vil g? mot 0. ?rsaken til at dette skjer er at luftmotstanden vil virke mot bevegelsesretningen. Det vil ikke v?re noen kraft som dytter i tangentiell retning, kun i mot. Derfor vil den deakselerere helt til den n?r 0. Fra uttrykket vi skrev opp tidligere for luftmotstanden ser vi at kraften blir lik 0 n?r man n?r en hastighet p? 0, s? vi f?r derfor ikke noen akselerasjon som gir en hastighet i motsatt retning igjen.
Et annet interessant poeng er at raketten vil n? en terminalhastighet. Det skyldes at luftmotstanden vil ?ke med farten. Men etter hvert vil luftmotstanden bli like stor som gravitasjonskraften, og vi vil ende opp med at summen av kreftene er lik 0. Derfor vil hastigheten holdes konstant fra og med det tidspunktet.
Hvis vi antar at \(\vec v_\theta=0\) kan vi finne et uttrykk for terminalhastigheten. Denne inntreffer som sagt n?r summen av kreftene er lik 0, alts? n?r
\(\vec G=\vec F_v\)
\({1\over2}\rho C_dAv_r^2=mg\)
Dette gir
\(v_r=\sqrt{2mg\over\rho C_dA}=\sqrt{2mg\over\rho A}\)
Herfra kan vi videre utlede et uttrykk for det totale arealet for romskipet og fallskjermen. Det blir
\(A={2mg\over\rho v_r^2}\)
Dersom vi ?nsker en myk landing er vi interessert i ? finne et areal som gir en radiell hastighet p? maks \(3m/s\). Dette vil vi at skal v?re hastigheten ved overflaten p? planeten. Dermed kan vi l?se ligningen over, men med \(g=\gamma{M\over r^2}\), der \(M\) er planetens masse, \(r\) er planetens radius og \(\gamma \) er gravitasjonskonstanten. Setter vi inn de kjente verdiene f?r vi
Landingsraketter
Vi kan ogs? bruke noen landingsraketter til ? bremse ned romskipet. Kraften fra disse kan vi kalle \(F_L\). Da kan vi komme fram til at \(F_L+F_d=G\). S? da er sp?rsm?let: hva m? \(F_L\) v?re for at vi n?r \(v_{safe}\) som s?rger for en myk landing? Dette er egentlig ganske enkelt ? finne. Vi ser raskt at \(F_L={1\over2}\rho_0A(v_t^2-v^2_{safe})\) fordi det gir \({1\over2}\rho_0A(v_t^2-v^2_{safe})+{1\over2}\rho_0Av_t^2=-{1\over2}\rho_0Av^2_{safe}=G\).
Da er vi endelig klare for ? begynne med landingen. I neste blogginnlegg skal vi se hvordan det g?r. Tror du vi klarer ? gjennomf?re en vellykket landing?