(4) Hvor fort beveger vi oss og hvor er vi?

Hvordan finner vi farten?

For ? finne farten bruker vi som sagt noe som er kjent som doppler-effekten. Som du sikkert vet s? beskriver doppler-effekten hvordan b?lger vil komprimeres n?r kilden beveger seg mot oss, og bli lenger n?r den beveger seg mot oss. Du har sikkert h?rt hvordan lyden forandrer seg n?r en rask bil kj?rer forbi. Det smarte med doppler-effekten er at vi kan finne ut hvor fort noe beveger seg hvis vi kjenner hvor mye b?lgene som kommer mot oss komprimeres. Dette skal vi utnytte. I figur 1 kan du se situasjonen.

Vi begynner med ? finne et uttrykk for hastigheten basert p? endringen i b?lgelengde. Denne har formen:

\(v=c{\Delta\lambda\over{\lambda_s}}\)

Her inng?r f?lgende st?rrelser:

1. \(v\) er hastigheten i radiell retning.
2. \(c\) er lyshastigheten p? cirka \(3.00\cdot10^8m/s\).
3. \(\lambda\) er b?lgelengden p? fotonene som sendes fra stjernen. Vi tar her utgangspunkt i at den er konstant lik \(656.3nm\) for begge stjernene.
4. \(\Delta\lambda\) er forskjellen i observert b?lgelengde fra den faktiske b?lgelengden.

Som vi ser vil en ?kt hastighet medf?re en st?rre endring i b?lgelengde. Vi ser ogs? at negativ hastighet vil f?re til at \(\Delta\lambda\) blir positivt, som betyr at b?lgelengden blir st?rre. Til forskjell vil en hastighet mot kilden f?re til at \(\Delta\lambda\) blir negativ, som betyr at b?lgelengden blir mindre. I figur 2 ser du hvordan b?lgene vil forandres dersom man beveger seg mot kilden.

Vi lagde en funksjon av denne ligningen som tar inn \(\Delta\lambda\) og \(\lambda_s\) som er argumenter for ? finne hastigheten. Vi kjenner disse verdiene for stjernen v?r og kan m?le de i raketten. Vi kjenner ogs? posisjonen til to referansestjerner. Posisjonene er gitt ved vinklene \(\phi_1\) og \(\phi_2\).

Videre lagde vi en funksjon som utnytter dette uttrykket for ? finne hastigheten relativt til en fjern stjerne. Her er vi interessert i hastigheten i b?de x- og y-retning, s? vi bruker to referansestjerner. Her utnytter vi f?rst dataene for b?lgelengden fra den ene stjernen og finner den radielle hastigheten ved hjelp av den forrige funksjonen. N?r vi har de radielle hastighetene st?r vi igjen med f?lgende ligninger der vi har dekomponert.

1. \(v_{rel1}=v_x\cos(\phi_1)+v_y\sin(\phi_1)\)
2. \(v_{rel2}=v_x\cos(\phi_2)+v_y\sin(\phi_2)\)

Disse ligningene kan utledes ved ? gange vektoren for synslinjen \(L=(\cos(\phi),\sin(\phi))\)med hastighetsvektoren \(V=(v_x,v_y)\). Videre kan dette uttrykkes med matriser p? slik som under. Det kan ofte v?re en fordel ? uttrykke ligningsett som matriseligninger for ? forenkle utregningene.

\( \begin{pmatrix} v_{rel1}\\ v_{rel2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\phi_1) & \sin(\phi_1)\\ \cos(\phi_2) & \sin(\phi_2) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_x\\ v_y \end{pmatrix}\)

Dette ligger et stykke utenfor pensum i R2, men hvis du ganger f?rste element i den store matrisen med \(v_x\) og summerer med den andre ganget med \(v_y\) vil du se at du f?r igjen ligningene over. Dersom man ?nsket ? l?se for en variabel ville man vanligvis ha delt p? konstanter for ? f? variablene til ? st? alene p? en side. Her m? vi i stedet gange med den s?kalte inversen til matrisen vi ?nsker ? flytte. Man kan tenke litt p? dette som deling for matriser. Uten ? g? for mye i detalj p? hvorfor s? er inversen lik

\(\begin{pmatrix} \cos(\phi_1) & \sin(\phi_1)\\ \cos(\phi_2) & \sin(\phi_2) \end{pmatrix}^{-1}={1\over-\sin(\phi_1-\phi_2)}\begin{pmatrix} \sin(\phi_2) & -\sin(\phi_1)\\ -\cos(\phi_2) & \cos(\phi_1) \end{pmatrix}\)

Da f?r vi til slutt ligningene

1. \(v_x={1\over-\sin(\phi_1-\phi_2)}(\sin(\phi_2)v_{rel1}-\sin(\phi_1)v_{rel2})\)
2. \(v_y={1\over-\sin(\phi_1-\phi_2)}(-\cos(\phi_2)v_{rel1}+\cos(\phi_1)v_{rel2})\)

Her er \(\phi_1\) og \(\phi_2\) posisjonene til stjernene, og \(v_{rel1}\) og \(v_{rel2}\) er hastighetene relativt til de.

Hvor er vi?

N? vet vi hvilken vei raketten peker og hvor fort den beveger seg. Da er det bare en ting som gjenst?r: vi m?te vite hvor vi er! Dette er heller ikke helt trivielt. Her m? vi nemlig bruke en metode som kalles triangulering. S? hva i alle dager er det? Det viser seg at hvis man kjenner avstanden til tre objekter, og posisjonene deres kan vi finne posisjonen til et fjerde objekt. S? hvordan fungerer det? Dersom du har tre punkter som er ulike avstander fra objektet kan man tegne opp sirkler med sentrum i posisjonene og radius lik avstanden. Da vil man se at de tre sirklene vil kutte seg i n?yaktig et punkt, og dette vil v?re posisjonen til objektet vi er interessert i. I figur 3 illustreres det hvordan dette brukes for ? finne posisjonen.

Dersom vi har tre kjente planeter med tre posisjoner kan vi komme fram til f?lgende ligninger:

1. \((x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2\)
2. \((x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2\)
3. \((x-x_3)^2+(y-y_3)^2=r_3^2\)

Her er \((x_1,y_1)\) sentrum \(r_1\) er radiusen til den f?rste planeten osv.. Vi valgte ? bruke planet 1 og 2 som referanseplaneter sammen med stjernen v?r. Posisjonene til planetene ved et gitt tidspunkt kjenner vi fra vi beregnet planetbaner i tidligere blogginnlegg. 

Id¨¦en v?r for ? finne krysningspunktet er ? se p? en rekke punkter langs sirkelbuen til den ene sirkelen og ? sjekke hvilket av punktene som har en avstand til de to andre planetene som er lik avstanden fra raketten. For ? finne det begynner vi f?rst med ? lage en funksjon som lager en sirkel med sentrum i posisjonen til en planet, og radius lik avstanden fra raketten til planeten. Deretter lager vi en vektor med \(1000\) vinkler mellom \(0\) og \(2\pi\). Videre kan vi finne koordinatene til de tilh?rende vinklene ved ? ta posisjonen til sentrum og legge til punktet p? sirkelbuen. Det kan gj?res slik:

1. \(x=x_{sentrum}+r\cos(\theta)\)
2. \(y=y_{sentrum}+r\sin(\theta)\)

Her vil \((x,y)\) v?re koordinaten p? sirkelbuen, \((x_{sentrum},y_{sentrum})\) er koordinaten til planeten, \(r\) er avstanden mellom raketten og planeten og \(\theta\) er vinkelen. 

Videre g?r vi gjennom alle punktene p? sirkelbuen og sjekker om avstanden derfra til de to andre planetene er like nok avstanden fra planetene til raketten. Her betyr like nok at den relative forskjellen er mindre enn \(10\). Dette kan kanskje virke litt mye, men ved tester i n?rheten av planeten vi letter fra har det vist seg ? gi sv?rt n?yaktige svar. I figur 4 kan du se et eksempelpunkt som ikke oppfyller betingelsene. Da g?r vi videre og ser p? et nytt punkt.

Til slutt bruker vi stjernen v?r, planet 0 og planet 2 som referanseplaneter for ? finne ut hvor vi er. 

N? vet vi hvilken vei raketten peker, hvor vi er og hvor fort vi beveger oss. Neste gang skal vi se n?rmere p? den faktiske oppskytningen av raketten og begynne p? romreisen v?r.