Som vi nevnte har vi mottatt totalt tre ulike grafer som vi skal fors?ke ? tolke. Den f?rste grafen som beskriver den radielle hastigheten til stjernen skal vi bruke til ? finne massen til en av planetene som g?r rundt. Videre skal vi bruke grafen for lysstyrken til ? finne radiusen til planeten, og dermed ogs? tettheten. Til slutt skal vi bruke den siste grafen til ? ansl? hvor mange planeter som er i systemet.
Hvor stor er massen til stjernen?
Vi begynner med ? fors?ke ? finne massen til ved hjelp av grafen for radiell hastighet. Grafen vi fikk tilsendt ser slik ut:
Denne skal vi fors?ke ? bruke til ? ansl? en nedre grense for massen til planeten. S? hvordan skal vi gj?re det? Ved hjelp av denne ligningen kan vi finne et estimat:
\(m_p\sin{i}={{m_*^{2/3}v_{*r}P^{1/3}}\over{(2\pi \gamma)^{1/3}}}\)
- Her er \(m_p\) massen til planeten.
- \(i\) er inklinasjonen.
- \(m_*\) er massen til stjernen.
- \(v_{*r}\) er den radielle hastigheten til stjernen.
- \(P\) er perioden.
- \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten.
Her ser vi at vi kan finne all informasjonen fra grafen utenom massen til stjernen. Heldigvis for oss hadde romvesenene ogs? innsett det, s? de sendte oss massen til stjernen sin som var \(1.738M_{\odot}\). Det vil si \(1.738\) ganger massen til solen. Videre vet vi ikke inklinasjonen, men dersom vi lar denne v?re \(90^{\circ}\)ser vi at vi f?r en nedre grense for massen.
.png)
N? skal vi se litt hva vi finne ut om massen. Her velger vi ? lese direkte av grafen, s? det blir en del un?yaktigheter. Perioden ble bestemt til ? v?re cirka \(1.7\) ?r. Vi har valgt ? se p? en nedre og ?vre grense for amplitude i tillegg til den midterste for ? sammenligne (Se figur 3 for ? se hvordan vi valgte disse). Dette gir f?lgende:
| Nedre grense | Midtre verdi | ?vre grense | |
|---|---|---|---|
|
Amplitude |
\(0.0300m/s\) | \(0.0650m/s\) | \(0.115m/s\) |
|
Masse i solmasser |
\(1.74\cdot 10^{-6}M_{\odot}\) | \(3.76\cdot 10^{-6}M_{\odot}\) | \(6.66\cdot10^{-6}M_{\odot}\) |
| Relativ feil i prosent | \(48.7\)% for lav | \(10.9\)% for h?y |
\(96.5\)% for h?y |
Den relative feilen er basert p? tall fra den faktiske massen vi fikk oppgitt fra romvesenene, som viste seg ? v?re at massen var p? \(3.39\cdot10^{-6}M_{\odot}\). Til sammenligning s? er dette cirka \(13\)% st?rre enn massen til jorda. Som vi ser traff vi forholdsvis bra med den midtre verdien, med tanke p? at vi leste av grafen direkte uten bruk av noen verkt?y.
Hva er radiusen og tettheten til planeten?
For ? finne radiusen og deretter tettheten skal vi studere en graf for lysstyrken til stjernen n?r planeten passerer for ? se hvor mye den form?rkes. Grafen vi ble tilsendt s? slik ut:
Vi mottok ogs? en graf som vise hvordan lysstyrken sank mens planeten bevegde seg inn foran stjernen. Den s? slik ut:
Her ser vi at det tok i underkant av 8 minutter for planeten ? bevege seg helt foran stjernen. I tillegg ser vi at form?rkelsen er p? cirka \(0.0035\)%.
N? gjenst?r det bare ? finne ut hvordan vi kan bruke dette til ? finne radiusen til planeten. Heldigvis for oss er det andre som har lurt p? det tidligere. Det viser seg nemlig at man kan finne radiusen ved hjelp av denne formelen:
\(2R_p=(v_*+v_p)(t_1-t_0)\)
Her har vi at
- \(R_p\) er radiusen til planeten.
- \(v_*\) er hastigheten til stjerna.
- \(v_p\) er hastigheten til planeten.
- \(t_0\) er tidspunktet hvor planeten begynner ? dekke solen.
- \(t_1\) er tidspunktet hvor hele planeten er foran solen.
F?r vi g?r videre kan vi jo pr?ve ? tenke p? hvorfor denne ligningen gir mening. F?rst og fremst ser vi at vi bruker en sum av hastigheter, som gir en hastighet relativt til v?rt referansesystem. S? ser vi at vi ganger med et tidsintervall, som gir en avstand. I l?pet av denne tiden passerer hele planeten inn foran stjernen, som betyr at den m? bevege seg en avstand som tilsvarer diameteren sin, eller to ganger radiusen.
Denne ligningen ser jo veldig fin ut, men som du kanskje har oppdaget trenger vi jo hastigheten til planeten og hastigheten til stjernen. Det har vi jo ikke, eller? Det viser seg at vi ogs? kan finne disse hvis vi kjenner amplituden til stjernens radiellhastighet. Ved hjelp av litt trigonometri kan vi komme fram til f?lgende (pr?v gjerne selv):
\(v_*={v_{*r}\over{\sin{i}}}\)
Siden vi antok at \(i=90^{\circ}\) ser vi at hastighetene er like hverandre. Vi kan videre finne hastigheten til planeten med f?lgende ligning:
\(v_p={K\cdot m_*\over{m_p\cdot \sin{i}}}\)
Her er \(m_*\) massen til stjerna og \(m_p\) er massen til planeten. Som vi ser vil forholdet mellom massene direkte knyttet til oml?pshastigheten. Dette virker fornuftig ettersom dette vil p?virke kreftene som virker mellom dem. I tillegg ser vi at amplituden til radiellhastigheten inng?r i uttrykket, som gir mening i og med at en rask planet vil gi en st?rre radiellhastighet.
N?r vi bruker uttrykkene med tallene vi har funnet tidligere (velger her midtre verdi for amplituden og tilh?rende masse) f?r vi f?lgende resultater:
| \(v_*\) | \(v_p\) | \(R_p\) |
|---|---|---|
| \(0.0650m/s\) | \(3.00\cdot 10^4m/s\) | \(7.03\cdot10^3km\) |
Radien er til sammenligning cirka \(10\)% st?rre enn jordens middelradius. Fra antagelsen om at planeten er kuleformet kan vi bruke formelen for volumet til en kule for ? finne tettheten \(\rho\). Den blir
\(\rho=5.14\cdot10^3kg/m^3\)
som er dette cirka \(93\)% av tettheten til jorda. N?r vi sammenlignet med de faktiske verdiene som vi ble tilsendt kom vi fram til f?lgende
| V?r verdi | Faktisk verdi | Relativ feil | |
|---|---|---|---|
| \(R_p\) | \(7.03\cdot10^3km\) | \(6.83\cdot10^3km\) | \(2.93\)% for h?yt |
| \(\rho\) | \(5.14\cdot10^3kg/m^3\) | \(5.88\cdot10^3kg/m^3\) | \(12.6\)% for lavt |
Som vi ser har vi klart ? treffe sv?rt n?yaktig p? radiusen til tross for at vi bommet med cirka \(11\)% p? massen. Vi ser at tettheten er litt mer un?yaktig, men det er ? forvente ettersom radiusen opph?yes i tredje n?r vi finner den. Dermed vil feilen i radius gi en betraktelig st?rre feil i tetthet.
Hvor mange planeter er det i solsystemet?
Det viser seg at v?re utenomjordiske forskerkollegaer glemte ? sende en graf for den radielle hastigheten til stjernen med flere planeter. Derfor har vi valgt ? analysere v?r egen kurve for ? fors?ke ? gjette antallet planeter. N? vet vi jo ?penbart hva svaret er, men vi fors?ker ? ikke la dette styre hva vi gjetter.
For ? finne antallet planeter har vi brukt noe som kalles Fourier-analyse. Dette er langt utenfor pensum for en videreg?endeelev, s? vi skal ikke g? i dybden p? det. Det viktigste er egentlig at det kan brukes for ? bryte ned kompliserte signaler i mindre deler. En analogi kan v?re at man fors?ker ? finne ut hvor mye det er av ulike ingredienser i en matrett. De mindre delene man ser kan brukes for ? finne antallet planeter. I figur 6 kan du se grafen vi fikk etter Fourier-analysen.
Her kan vi se de rosa strekene som g?r igjennom de ulike toppene. Disse er fra den analytiske l?sningen og viser hvor planetene burde v?re. Vi ser i noen av punktene at det er vanskelig ? se om det er en topp, men dersom man zoomer inn nok vil man se det. Ved den f?rste streken ser vi ikke noen topp, men det kan skyldes at den overskygges av den store toppen ved siden av som representerer den tyngste planeten. Her kan vi g? tilbake til analogien med mat. Hvis du har veldig mye melk i en rett og bitte litt mel vil det v?re mye vanskeligere ? identifisere at den inneholder mel enn hvis det er like mye av begge deler. Basert p? grafen ville vi nok ha gjettet at det var seks eller syv planeter i solsystemet. Fasiten er at det er syv planeter.
Det ville trolig v?rt enklere ? identifisere alle planetene dersom vi hadde utelukket den aller st?rste, siden denne har s? mye st?rre p?virkning p? stjernas radielle hastighet enn de andre. Hadde vi hatt mer tid kunne vi ha sjekket dette ogs?.
Da var vi kommet til veis ende for denne delen av planleggingen. Vi har simulert planetbanene v?re i tillegg til at vi har utvekslet data med andre forskere, som vi har analysert for ? l?re om deres solsystem. Neste gang skal vi bestemme oss for hvilken planet vi ?nsker ? reise til, og fortsette enda litt mer med planleggingen.