F?r vi begynner vil jeg bare nevne noen antagelser om stjerna v?r som vi bruker i denne delen.
- Stjerna har uniform tetthet \(\rho_0\).
- Trykket inne i stjerna f?lger den ideelle gassloven.
- Stjerna er i hydrostatisk likevekt (trykkreftene og gravitasjonskreftene er i balanse).
- Stjerna er kun bygd opp av hydrogen, som har masse \(m_H=1.673\cdot10^{-27}kg\).
Kjernetemperaturen
Aller f?rst skal vi finne et uttrykk for massen til stjernen gitt avstand fra sentrum. Her snakker vi spesifikt om masseprofilen \(M(r)\) som forteller hvor mye masse som befinner seg innenfor en kule med radius \(r\).
Vi vet at en kule med radius \(r\) har et volum gitt ved \(V(r)={4\over3}\pi r^3\). I tillegg vet vi at volum ganget med tetthet gir masse. Fra antagelsen om uniform tetthet \(\rho_0\) kan vi da uttrykke masseprofilen med
\(M(r)=\rho_0V(r)=\rho_0{4\over3}\pi r^3\)
N? er vi interessert i ? finne et uttrykk for temperaturen per avstand \(r\). For ? finne det kan vi kombinere antagelsene om at det er en hydrostatisk likevekt og den ideelle gassloven. Fra antagelsen om hydrostatisk likevekt har vi
\({dP\over dt}=-\rho(r)g(r)\)
Her er \(P\) trykket, \(\rho(r)\) er tettheten ved en gitt radius (alltid lik \(\rho_0\) her) og \(g(r)\) er gravitasjonsakselerasjonen som vi kan definere ved Newtons gravitasjonslov \(g(r)=\gamma{M(r)\over r}\), der \(\gamma\) er gravitasjonskonstanten.
Videre kan vi sette inn uttrykket for \(M(r)\) og bruker den ideelle gassloven med tetthet gitt ved \(P={\rho kT\over \mu m_H}\), der \(T\) er stjernas temperatur, \(k\) er Boltzmann-konstanten, \(\mu\) er gjennomsnittlig molekylvekt og \(m_H\) er massen til et hydrogenatom. Da f?r vi
\({dT(r)\over dr}=-{4\over3}\pi\gamma \rho_0{\mu m_H\over k}r\)
Til slutt skal vi finne et uttrykk for kjernetemperaturen ved ? integrere uttrykket. Her m? vi da integrere mellom sjernas sentrum og stjernas radius \(R\). Vi f?r alts? f?lgende integral:
\(\int_{0}^{R} \frac{d}{dr} T(r) \, dr = \int_{0}^{R} -\frac{4\pi}{3} \gamma \rho_0 \frac{\mu m_H}{k} \, dr = -\frac{2\pi}{3} \gamma \rho_0 \frac{\mu m_H}{k} R^2 \)
Dette kan vi skrive om til
\(\int_{0}^{R} \frac{d}{dr} T(r) \, dr = T(R) - T(0) \)
Her er \(T(0)\) kjernetemperaturen og vi kan komme fram til f?lgende uttrykk:
\(T_{kjerne}=T(R)+\frac{2\pi}{3} \gamma \rho_0 \frac{\mu m_H}{k} R^2\)
Da m? vi bare sette inn tallene for v?r stjerne. Vi kjenner som sagt massen og radiusen til planeten og kan derfor finne tettheten gitt ved
\(\rho_0={M\over{4\over3}\pi r^3}\)
Dersom vi antar en gjennomsnittlig molekylvekt p? \(1.75amu\) som er noe h?yere enn i sola, og bruker overflatetemperaturen p? \(7145K\) f?r vi f?lgende for kjernetemperaturen:
\(T_{kjerne}=22.2\cdot10^7K\)
Dette er noe h?yere enn temperaturen til sola p? cirka \(18.2\cdot10^7K\), men det er som man ville forvente. Siden begge stjernene v?re er hovedseriestjerner, og radiusen og massen til stjerna v?r er st?rre enn solas vil vi forvente et h?yere trykk i kjernen p? v?r stjerne, og derfor en h?yere temperatur.
Energiproduksjon og lumiositet
N? skal vi fors?ke ? estimere lumiositeten basert p? kjernereaksjonene i stjerna. Vi har her gjort noen antagelser. Vi tenker igjen at stjerna har en uniform tetthet. I tillegg antar vi at alle kjernereaksjonene skjer innenfor en kule med radius p? \(0.2R\), og at temperaturen er lik kjernetemperaturen vi akkurat beregnet gjennom hele denne kula.
Basert p? den beregnede kjernetemperaturen kan vi g? ut i fra f?lgende:
- Energiproduksjonen skjer via pp-kjeden (hydrogen fusjoneres til helium) og CNO-syklusen.
- Kjernen best?r av \(74.5\)% hydrogen, \(25.3\)% helium og \(0.2\)% karbon, oksygen og nitrogen.
Proton-proton-kjeden kan skrives med f?lgende ligning (du kan se en visuell representasjon av hva som skjer i figuren under):
\(\epsilon_{\text{pp}} \approx \epsilon_{0,\text{pp}} X_H^2 \rho T_6^4 \)
Her er \(\epsilon_{0,\text{pp}} = 1.08 \cdot 10^{-12} \, \text{Wm}^3\text{kg}^{-2}\) en konstant, \(X_H\) er andelen med hydrogen, \(\rho\) er tettheten og \(T_6\) er temperaturen m?lt i hvor mange millioner Kelvin det er.
CNO-syklusen er en annen kjernereaksjon i stjerna som vi kan se p?. I denne reaksjonen omgj?res hydrogen til helium. Reaksjonen er mest effektiv om temperaturer ligger rundt 20 millioner Kelvin, slik som i v?r stjerne. Syklusen skrives slik som dette:
\(\epsilon_{\text{CNO}} = \epsilon_{0,\text{CNO}} X_H X_{\text{CNO}} \rho T_{20}^6 \)
Her er \(\epsilon_{0,\text{CNO}} = 8.24 \cdot 10^{-31} \, \text{Wm}^3\text{kg}^{-2}\), og \(X_{\text{CNO}}\) er den samlede andelen med karbon, nitrogen og oksygen.
\(\epsilon\) forteller oss hvor mye energi som frigj?res per masse per tid. Siden luminositet er definert som frigitt energi per tid har vi f?lgende:
\(\frac{dL}{dm} = \epsilon \)
Vi kan begynne med ? se p? en liten sf?risk delmasse med radius \(r\). Denne vil ha en masse som kan skrives som \(dm=dV\rho(r)\). Siden tettheten er konstant kan vi skrive \(dm = 4 \pi r^2 \rho_0 dr\). Dermed kan vi finne dette uttrykket for luminositeten:
\(\frac{dL}{dr} = 4 \pi r^2 \rho_0 (\epsilon_{\text{pp}} + \epsilon_{\text{CNO}}) \)
Siden vi antar at det kun skjer kjernereaksjoner innenfor en radius p? \(0.2R\) kan integrere mellom 0 og det for ? finne lumiositeten.
\(\int_{0}^{0.2R} \frac{dL}{dr} = \int_{0}^{0.2R} 4 \pi r^2 \rho_0 (\epsilon_{\text{pp}} + \epsilon_{\text{CNO}}) dr = \frac{4 \pi}{3} \rho_0 (\epsilon_{\text{pp}} + \epsilon_{\text{CNO}}) (0.2R)^3 \)
Vi har ogs? de f?lgende verdiene
\(\epsilon_{\text{pp}} = 2.3 \cdot 10^{-5} \, \text{W kg}^{-1} \), \(\epsilon_{CNO}= 2.6 \cdot 10^{-7} \, \text{W kg}^{-1} \)
Dersom vi setter inn de ulike verdiene for variablene f?r vi en lumiositet p? \(5.29\cdot10^{23}W\). Men denne lumiositeten er jo helt sinnsykt mye lavere enn den vi fant tidligere p? \(1.51\cdot10^{27}W\). Den er faktisk flere tusen ganger lavere. S? hva skyldes det? Svaret ligger sannsynlig vis i forenklingene vi har gjort. Det ? lage forenklede modeller er veldig ofte et fantastisk hjelpemiddel, men som vi ser her kan enkelte forenklinger ha katastrofale f?lger. Her ser vi at forenklingene v?re gir enorme avvik, og hovedproblemet ligger sannsynlig vis i antagelsen om at tettheten er konstant. Det er den p? ingen m?te. N?r man beveger seg inn mot kjernen til en stjerne vil tettheten ?ke betraktelig p? grunn av det enorme trykket fra massen rundt. Som vi ser fra ligningen vil en ?kt tetthet gi en st?rre lumiositet. Dermed er det sannsynlig at dette er hovedgrunnen til det enorme avviket.
Da har vi sett litt p? kjernereaksjonene i stjerna, og skal i neste blogginnlegg se videre p? stjernas siste del av livet og d?d.