Vi vil n? unders?ke hastigheter i to forskjellige referansesystemer ved bruk av bevegelsesmengde og energi. Vi er nysgjerrige p? hvordan relativistiske effekter vil p?virke b?de bevegelsesmengde og energi. Videre er vi nysgjerrige p? om masse vil v?re en bevart st?rrelse!
Situasjonen
Utfor planeten, Narnia, har vi et n?ytron som beveger seg i n?r lyshastighet i x-retning, mer n?yaktig 0.865 ganger lyshastigheten. Etter en viss tid g?r dette n?ytronet i oppl?sning til et proton, elektron og n?ytrino. Her vil vi ignorere n?ytrinoet, og anta at det eneste resultatet fra oppl?sningen er protonet og elektronet. Protonet og elektronet er sett til ? bevege seg i samme retning som n?ytronet.
Her har vi to referansesystemer, hvor det umarkerte labsystemet \((x,t)\), er referansesystemet til planeten. Planeten vil observere bevegelsen til n?ytronet frem til det oppl?ser, og s? videre observere bevegelsen til protonet og elektronet. Det markerte systemet \((x',t')\), er referansesystemet til n?ytronet, hvor n?ytronet vil st? i ro i origo, og som etter oppl?sning vil observere bevegelsen til protonet og elektronet i x-retning.
I figur 1 kan du se en tegning av hvordan denne situasjonen vil se ut i referansesystemet til planeten. Her er det da tegnet protonet og elektronet som beveger seg etter oppl?sningen av n?ytronet. I figur 2 kan du se en mer overordnet illustrasjon av hvordan systemet vil v?re. Her kan du se hva som vil foreg? i hvert av referansesystemene. En tydelig forskjell her er at n?ytronet vil s? klart st? i ro i origo i sitt eget referansesystem, mens i planetens referansesystem s? beveger den seg n?r lyshastighet f?r den oppl?ses til et n?ytron og proton. V?r obs p? at st?rrelsesforholdet i figurene ikke er n?yaktige.
Vektorer av nye dimensjoner og momenergy!
N? skal vi unders?ke hastigheten til protonet og elektronet i begge referansesystemene ved hjelp av bevegelsesmengde og energi. For ? gj?re dette, vil vi f?rst introdusere et nytt konsept kalt 4-vektor. Slike vektorer kommer fra at vi har tid som et koordinat i tillegg til de 3 vanlige koordinatene x, y, og z for posisjon. Men merk at en slik vektor ikke er det samme som en hvilken som helst 4-dimensjonal vektor! En 4-vektor m? nemlig best? av fysiske st?rrelser, og disse st?rrelsene m? kunne transformeres fra et referansesystem til et annet ved Lorentz-transformasjon. Transformasjonen av et tidromskoordinat kan skrives p? matriseform p? f?lgende m?te:
\(\begin{pmatrix} x_0' \\ x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma & -v\gamma & 0 & 0 \\ -v\gamma & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1& 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0 \\ x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\)
Her beskriver \(x_0'\) og \(x_0\) koordinatet for tid i de forskjellige referansesystemene, mens de resterende koordinatene henholdsvis tilsvarer x, y og z-posisjon. Her er \(v\) hastigheten til det markerte referansesystemet sett fra det umarkerte systemet, og \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v^2}}\). Dette uttrykket kan vi skrive som \(x_{\mu}' = c_{\mu \nu} x_{\nu}\), hvor \(x_{\mu}'\) og \(x_{\nu}\) er koordinatvektorer for et event i de forskjellige referansesystemene, og \(c_{\mu \nu}\) er transformasjonsmatrisen.
Vi vil n? finne en 4-vektor \(V_{\mu}\) for hastighet, som vi kan bruke videre. Det er kanskje naturlig ? tenke at vi simpelthen kan bruke \(dx_{\mu}/dt\), men dette vil ikke v?re korrekt! For \(dt\) vil nemlig variere med hvilket referansesystem man er i, og da ville ikke transformasjonen mellom systemer ha fungert hvis man brukte denne metoden for ? finne hastigheten. Vi m? derfor bruke et annet tidsintervall for ? finne hastigheten, og den kan ikke variere med hvilket referansesystem man er i. Dermed kan vi bruke egentiden \(\tau\), siden alle observat?rer vil m?le samme tidsintervall \(\Delta \tau\) mellom to eventer. I tilfelle du ikke vet, s? er egentiden tidsintervallet m?lt mellom to eventer i et referansesystem der posisjonen er identisk for begge hendelser. Vi bruker s? dette for ? f? et uttrykk for hastigheten p? 4-vektor form, som ser f?lgende ut:
\(V_{\mu} = \dfrac{dx_{\mu}}{d\tau} = \gamma (1, \vec{v})\)
Hvor \(\vec{v}\) er en 3-dimensjonal vektor for hastighet i x-,y- og z-retning. Det f?rste koordinatet her er koordinatet for tid. Hvis du er nysgjerrig, s? kan du finne utledning for dette uttrykket her (forelesningsnotat 2b, s.7).
Men hvordan kan man transformere en observert hastighet mellom referansesystemer? Vi har en observat?r i origo i labsystemet som oberverer et objekt som beveger seg langs x-aksen med en fart \(v_x\). I tillegg har vi en observat?r i origo i et annet referansesystem som beveger seg med en fart \(v_{rel}\) relativt til labsystemet, og som observerer at objektet har en fart \(v_x'\). I v?rt tilfelle er \(v_{rel}\) farten til n?ytronet observert fra planeten. Observat?ren i labsystemet lurer p? hvilken fart \(v_x'\) den andre observat?ren m?ler. I relativistiske tilfeller, alts? n?r vi n?rmer oss lyshastigheten (som vi gj?r i v?rt tilfelle), s? kan vi ikke simpelthen bruke \(v_x' = v_x - v_{rel}\). Siden vi har uttrykk for hastighet p? 4-vektor form, s? kan vi bruke Lorentz-transformasjon p? lignende m?te som for tidromskoordinat for ? skrive transformasjonen av hastighet slik:
\(V_{\mu}' = c_{\mu \nu} V_{\nu}\)
P? matriseform vil dette uttrykket se slik ut:
\(\begin{pmatrix} \gamma ' \\ \gamma ' v_x' \\ \gamma v_y' \\ \gamma v_z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{rel} & -v_{rel}\gamma_{rel} & 0 & 0 \\ -v_{rel} \gamma_{rel} & \gamma_{rel} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \gamma \\ \gamma v_x \\ \gamma v_y \\ \gamma v_z \end{pmatrix}\)
Her er \(\gamma_{rel} = \dfrac{1}{\sqrt{1-v_{rel}^2}}\), \(\gamma ' = \dfrac{1}{\sqrt{1-(v_x')^2}}\) og \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-v_x^2}}\). Dette gir oss at en observert hastighet fra to ulike referansesystemer vil f?lge Lorentz-transformasjon. Dette vil naturligvis p?virke hvordan vi finner forholdet til bevegelsesmengde (\(p = mv\)) mellom referansesystemene, og ogs? energi (\(E = \dfrac{1}{2}mv^2\)). Vi vil f?rst finne en 4-vektor \(P_\mu\) for bevegelsesmengde. Da bruker vi hvilemassen \(m\), som er massen m?lt i referansesystemet hvor objektet er i ro. Videre bruker vi 4-vektoren vi har for hastighet: \(V_\mu = \gamma (1,\vec{v})\). Da f?r vi en 4-vektor for bevegelsesmengde som ser slik ut:
\(P_\mu = mV_\mu = \gamma m(1,\vec{v}) = \gamma (m,\vec{p})\)
Her er \(\vec{p}\) bevegelsesmengden p? vanlig, ikke-relativistisk, newtonsk form (for en lettelse ? endelig se noe som er godt kjent!). Vi kan se at den relativistiske bevegelsesmengden i 3 dimensjoner vil se slik ut: \(\vec{p}_{relativistisk} = \gamma m \vec{v}\). Men hva betyr s? tidskomponenten av 4-vektoren? Vi unders?ker dette for hastigheter mye, mye lavere enn lyshastigheten. Vi vil n? bruke Taylor-utvikling, som er litt utenfor matematikken man l?rer p? videreg?ende, men for de som er spesielt interessert s? kan dere sjekke denne linken. Vi f?r f?lgende resultat:
\(P_0 = m + \dfrac{1}{2}mv^2\)
Det andre leddet i uttrykket vi fant er den vanlige, newtonske kinetiske energien. Det f?rste leddet er kanskje litt mer snodig! Det er nemlig hvileenergien, som er energien til en partikkel i ro, alts? energien som kommer fra massen til partikkelen. Hvis vi omskriver dette til SI-enheter istedenfor naturlige enheter, s? ser dette kanskje litt mer kjent ut. Da f? vi nemlig at det f?rste leddet er \(mc^2\)! Vi har alts? funnet at tidskomponenten av den relativistiske bevegelsesmengden tilsvarer den relativistiske energien. Alts? vi har f?lgende:
\(P_\mu = \gamma (m, \vec{p}) = (E_{relativistisk}, \vec{p}_{relativistisk})\)
Her er da \(E_{relativistisk} = \gamma m\). Vi har alts? at 4-vektoren \(P_\mu\) ikke bare omhandler bevegelsesmengde, men ogs? energi. Denne 4-vektoren kaller vi for momenergy 4-vektor, som kommer fra det engelske momentum og energy. Vi har her at bevegelsesmengde og energi er relatert p? lik m?te som tid og rom! Siden dette er en 4-vektor, s? vil den f?lge Lorentz-transformasjon slik at vi f?r f?lgende sammenheng:
\(P_\mu ' = c_{\mu \nu} P_\nu\)
Dette kan vi skrive p? matriseform slikt:
\(\begin{pmatrix} E' \\ p_x' \\ p_x' \\ p_z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \gamma_{rel} & -v_{rel}\gamma_{rel} & 0 & 0 \\ -v_{rel}\gamma_{rel} & \gamma_{rel} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z \end{pmatrix}\)
Her har vi alts? en metode for ? transformere bevegelsesmengde og energi mellom v?re to referansesystemer. Dette vil vi bruke for ? unders?ke hastigheten i referansesystemene, og videre hvilke st?rrelser som er bevart.
Vi har n? gjennomg?tt masse nytt og tungt stoff, s? ta gjerne en liten pause f?r vi n? endelig skal anvende v?r nye kunnskap!
Momenergy og bevarte st?rrelser
Vi skal n? finne en momenergy 4-vektor for elektronet og n?ytronet i n?ytronet sitt referansesystem. Her vil vi bruke n?yaktig dette referansesystemet fordi utregningene blir mye simplere, siden her har n?ytronet nemlig ingen hastighet og st?r i ro i origo! Med alt det vi nettopp har l?rt s? skal vi lett klare ? finne dette. Vi husker at elektronet vil ha en ukjent hastighet, som bare er i x-retning. Dermed f?r vi f?lgende:
\(P_\mu ' (e) = \gamma_e'(m_e,\vec{p_e'}) = m_e\gamma_e' (1,\vec{v_e'}) = m_e\gamma_e' \begin{pmatrix} 1 \\ v_e' \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Her er \(\gamma_e' = \dfrac{1}{\sqrt{1-(v_e')^2}}\), hvor \(v_e'\) er farten til elektronet i referansesystemet til n?ytronet, og den vil bare v?re i x-retning. Videre er \(m_e\) lik massen til elektronet. N? vil vi finne en slik 4-vektor for n?ytronet i samme referansesystem. Her husker vi at n?ytronet ikke vil ha noen hastighet, og dermed f?r vi f?lgende:
\(P_\mu'(n) = \gamma_n'(m_n,\vec{p_n'}) = m_n (1,\vec{v_n'}) = m_n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)
Her mister vi Lorentz-faktoren, siden n?ytronet ikke har noen hastighet i sitt eget referansesystem, og da f?r vi \(\gamma_n' = \dfrac{1}{\sqrt{1-(v_n')^2}} = 1\). Videre er \(m_n\) lik massen til n?ytronet. Vi ser fra 4-vektoren at n?ytronet bare vil ha hvileenergi, og ingen bevegelsesmengde.
P? tilsvarende m?te fant vi et uttrykk for momenergy 4-vektor for protonet i n?ytronets referansesystem. Vi vet at b?de energi og bevegelsesmengde er bevarte st?rrelser, og her mener vi de relativistiske utrykkene som vi har funnet. Dermed kan vi bruke \(P_\mu'(n) = P_\mu'(p) + P_\mu'(e)\), som gir oss to likninger som vi kan bruke for ? finne farten til elektronet og protonet i n?ytronets referansesystem, alts? \(v_e'\) og \(v_p'\). Vi fikk da disse to likningene:
\(m_n = m_p\gamma_p' + m_e\gamma_e' \\ m_p\gamma_p' v_p' + m_e\gamma_e' v_e' = 0\)
Her fokuserer vi ikke p? ? vise frem utregningene v?re, for vi vil heller kaste lys p? hva resultatene inneb?rer. Hvis du derimot er spesielt interessert i matematikken, s? pr?v gjerne ? regn ut selv! Anyways... vi g?r n? videre! Disse to likningene ga oss f?lgende resultater:
\(\gamma_p' = \dfrac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_pm_n} \\\\ v_e' = \sqrt{\dfrac{C}{1+C}} \\\\ C = \left( \dfrac{v_p'\gamma_p' m _p}{m_e} \right) ^2\)
Kanskje du ikke umiddelbart har sett hva som muligens kan betegnes som snodig med disse resultatene... Hvis ikke, s? skal jeg p?peke dette for deg! Her har vi nemlig at \(m_n \neq m_p + m_e\). Alts? masse er ikke en bevart st?rrelse i denne prosessen, siden deler av massen har blitt omgjort til energi! G?r dette kanskje i mot alt det du trodde du visste? Holder verdenen din n? p? ? kollapse? La oss unders?ke dette litt n?rmere for ? f? litt sinnsro! Vi antar for en liten stund at masse er bevart, alts? at \(m_n = m_p + m_e\), og vi setter dette i uttrykket v?rt for \(\gamma_p'\) for ? se hvilken hastighet dette gir oss for elektronet og protonet i n?ytronets referansesystem. Da f?r vi:
\(\begin{align} \gamma_p' &= \dfrac{(m_e + m_p)^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_p(m_e + m_p)} \\\\ &= \dfrac{m_e^2 +2m_em_p + m_p^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_pm_e + 2m_p^2} = 1 \end{align}\)
Dette resultatet gir oss at \(v_e' = v_p' = 0\), som vi f?r fra at \(v_p' = \sqrt{1- \dfrac{1}{(\gamma_p')^2}}\) og fra uttrykket vi fant for \(v_e'\). Men dette kan jo overhodet ikke stemme! Vi vet jo at elektronet og protonet vil ha en hastighet! Hvis massen hadde v?rt bevart ville vi alts? f?tt et helt urimelig og feil svar for hastighetene. Dermed kan vi se at masse ikke er en bevart st?rrelse, og forh?pentligvis s? kan du n?, i hvert fall litt, forst? hvorfor dette m? v?re sant (vi har full forst?else for at dette kan ta litt tid ? prosessere)!
Hva har vi funnet ut?
Vi har alts? unders?kt et n?ytron som beveger seg i n?r lyshastighet, og som oppl?ses til et proton og et elektron. Her m?tte vi dermed ta hensyn til relativistiske effekter. Ved ? bruke bevegelsesmengde og energi for ? unders?ke hastigheter s? fant vi ut at masse ikke er en bevart st?rrelse! Vi fant frem til dette resultatet ved bruk av bevaring av bevegelsesmengde og energi (de relativistiske uttrykkene!). Vi fant alts? ut at masse ikke blir bevart, siden deler blir omgjort til energi. Fullstendig mindblowing, ikke sant?! Hvis dette ikke hadde v?rt sant, s? ville vi f?tt et helt urimelig svar, nemlig at protonet og elektronet ikke ville hatt noen hastighet i n?ytronets referansesystem. Vi vet jo at protonet og elektronet vil ha en hastighet, s? dermed gir det alts? mening at massen ikke vil v?re bevart.