Simulering av rakettens bane

For en reise det har v?rt ? planlegge denne romferden! Vi har revet oss i h?ret, kastet datamaskinene v?re i veggen og satt fyr p? notater. Men vi har gang p? gang b?rstet h?ret p? plass igjen, bygget nye datamaskiner, og skrevet nye notater. Til n? har vi modellert rakettens motor ettertrykkelig, blant annet hvor stor den m? v?re og hvor tettpakka det m? v?re med gass inni. Vi har s? funnet ut av hvor mye drivstoff Frodo og Sam m? ha med seg p? reisen. Vi har simulert en testoppskytning og en faktisk oppskytning, og funnet ut hvor mye drivstoff det krever ? gj?re noen fartsbooster underveis dersom vi havner litt off track. Vi har i tillegg simulert oml?psbanene til planetene i solsystemet v?rt. Senere unders?kte vi klimaet p? disse planetene, og fant ut av hvilke som er beboelige. Og vi har valgt en destinasjon for reisen, Narnia! Vi har ogs? funnet ut hvor n?rme raketten m? v?re destinasjonen for ? komme seg inn i bane rundt den. Sist gang laget vi et kamera for at Frodo og Sam skulle kunne ta bilder p? romreisen sin. Vi lagde ogs? et GPS-system de kan ha med i raketten for ? kunne orientere seg i verdensrommet. N?, v?re venner, er de fleste forberedelsene i boks. Endelig er det p? tide ? finne ut hvordan raketten vil bevege seg n?r den er der oppe i rommet!

Take your protein pills and put your helmet on

Det er slitsomt ? lese, s? la oss heller se p? noen plots! Vi er da ikke fysikkstudenter uten grunn. La oss starte med ? ta en kikk p? hva slags bane raketten vil ta if?lge simuleringa v?r: 

I denne simuleringa blir raketten f?rst skutt opp etter 25 ?r. ?r 0 er definert som "n?tiden", alts? tidspunktet for n?r vi starter ? simulere planetenes baner. Den simuleringa tar jo utgangspunkt i hvor planetene er akkurat da. Det betyr at Frodo og Sam dessverre m? vente t?lmodig i 25 ?r for ? f? reise til Narnia. Du lurer sannsynligvis p? hvorfor vi valgte ? begynne romreisen s? utrolig langt fram i tid. Vi valgte ut dette tidspunktet etter ? ha unders?kt hvordan avstanden mellom hjemplaneten (Middle-Earth) og destinasjonsplaneten (Narnia) varierer med tida. Ta en kikk under:

For at Frodo og Sam skulle f? reist avg?rde f?r de var blitt pensjonister, valgte vi ? begrense tida vi s? p? til 20 oml?p rundt sola for hjemplaneten. Siden oml?pstida er p? ca. 1.8 ?r, viser tiden p? grafen en simulering p? ca. \(20 \cdot 1.8 ?r = 36?r\). I bildet over ser du at avstanden mellom de to planetene varierer periodisk, med en periodetid p? omkring 4 ?r (tida mellom f.eks to toppunkter). Siden vi ?nsker ? finne ut av n?r planetene er n?rmest hverandre, m? vi ta utgangspunkt i bunnpunktene p? grafen over. Den dypeste dalen viser seg ? finne sted etter ca. 25.3 ?r. Men, vi vil ikke skyte opp raketten akkurat idet planetene er n?rmest hverandre. Hvorfor ikke? Fordi de beveger seg med ulike hastigheter. I tillegg er jo v?r planet n?rmere stjerna enn Narnia, og tilbakelegger derfor en kortere strekning i l?pet av ett oml?p. Vi unders?kte hvor planetene var i forhold til hverandre ved noen forskjellige tidspunkter for ? f? en intuisjon for mye de bevegde seg i forhold til hverandre. I de seks plottene under er simuleringen kj?rt for ulike br?kdeler av hjemplanetens oml?p, alts? for noen ulike tidsperioder. Se her (h?per du kan zoome):

I bildene over kan vi se at planetene er ganske n?rme hverandre ved t = 25 ?r. I tillegg kan vi se at hjemplaneten bare drar mer og mer avg?rde ettersom tida g?r. Avstanden mellom dem vokser! Og du husker at det tar hele 4 ?r (ish) f?r avstanden blir (ish) s? liten igjen. Ok, s? konklusjonen er at planeten vi drar fra kommer mye lenger fram i sin bane enn Narnia gj?r i l?pet av samme tida. Omtrent s?nn her vil de bevege seg i forhold til hverandre:

Derfor lagde vi heller en simulering der raketten skytes opp litt f?r (etter 25 ?r) de to planetene er p? sitt n?rmeste hverandre (etter ca. 25.3 ?r). Vi pr?vde samtidig ? justere alle de parametrene vi tenkte at ville ha noen p?virkning p? banen; Tidspunkt for oppskytning, tida vi simulerer over, hvor mange tidssteg vi deler inn denne tida i, og vinkelen vi skyter opp raketten med. Vi valgte ? ikke justere p? selve rakettmotoren v?r, som f.eks hvor stor den var. Raketten v?r er nemlig s?pass kul og moderne at vi kan endre fart og retning uansett hvor i rommet vi er. Derfor var det p? ingen m?te krise dersom de parametrene vi valgte n?, ikke ga oss en perfekt smooth bane fram til Narnia. Derfor lot vi v?re ? rive fra hverandre rakettmotoren, og beholdt den heller som den var. Etter mye om og men (pr?ving/feiling der vi justerte parametrene), kom vi fram til at dette var et bra sett med verdier:

Parametrene i tabellen ga oss denne banen:

Som du ser er banen til raketten langt fra perfekt! Men, det trenger den heller ikke ? v?re. Vi kunne jo endre farta (og retningen p? denne) n?r vi ville. Og det gjorde vi. Vi fant ut at vi totalt hadde plottet posisjonen til raketten i 7169 ulike punkter i banen. Siden vi ser at raketten nesten har kommet seg langt nok "fram", men ikke langt nok "ut" til Narnia, ga vi den f?rst en fartsboost 1/3 ut i banen (i bildet over). Den boostet raketten litt opp i positiv y-retning, og en del i positiv x-retning (framover mot Narnia). Vi pr?vde oss litt fram med verdier for farta, og fant ut at ? gi den en boost p? ca. 7585 i x-retning, og 4740 m/s i y-retning ga den et fint dytt (8944 m/s) i retning Narnia. 

2/3 ut i banen ga vi raketten en ny boost mot Narnia. Den var p? 6120 m/s i x-retning, og 4883 m/s i y-retning. Det ble alts? 7829 m/s i fartsretninga. Her holdt vi p? lenge med ? justere boosten for ? komme s? n?rme Narnia som mulig. Til slutt endte vi opp med en ganske fin bane. Banen vi introduserte i toppen av bloggposten! Gjerne scroll opp og kast et lengselsfullt blikk p? den. Obs! I simuleringen har vi gjort en forenkling om at fartsboostene skjer umiddelbart. Med det mener vi at raketten ikke bruker noe tid p? ? komme opp i den nye farten sin. Dette gj?r vi fordi varigheten p? boostene er veldig kort sammenlignet med varigheten p? simuleringen totalt. Likevel er dette noe som gj?r simuleringen v?r litt mer un?yaktig.

Tid for ? snakke om tid

Et litt morsomt resultat vi fant n?r vi trikset rundt med ulike verdier for parametrene, var at alle justeringer ga ganske store utslag. Derfor var det vanskelig ? finne et sett med verdier som ga en ?lreit bane. Et eksempel p? dette er oppskytningstidspunktet. M?tte det v?re etter n?yaktig 25 ?r liksom? Man kan kanskje sp?rre seg om det blir en tullete spesifikk tid. 25 ?r er det samme som 9125 dager. Dette er det samme som 219 000 timer, som er det samme som 13 140 000 minutter. Kan det virkelig v?re s? n?ye om man skyter opp raketten 0.01 ?r f?r eller etter dette? Ja, det viste seg ? gi ganske store utslag. S?nn blir banene se ut i de to nye simuleringene der vi skyter opp ved hhv. t = 24.99 ?r og t = 25.01 ?r:

Det ser ut som om raketten kommer seg til noenlunde riktig posisjon, men den havnet faktisk ikke n?rme nok Narnia i noen av dem til ? kunne foreta en injeksjonsman?ver (dette kommer vi tilbake til i neste bloggpost). Med de ulike verdiene vi valgte for ting, er det 25 ?r som funker. N?r man tenker over det er det kanskje ikke s? rart at 0.01 ?r fra eller til kan gi s? store utslag likevel. 0.01 ?r er tross alt 3.65 dager. Det viser seg at dette er nok tid til ? forskyve banene s?pass mye at raketten ikke vil komme s?pass n?rme Narnia som vi vil ha den lenger. S? hva betyr dette? Vi kan forestille oss et scenario der Frodo og Sam venter spent p? romreisen sin i 25 ?r. Plutselig oppdager vi f.eks at en del av rakettmotoren er defekt. Vi finner s? ut at det vil ta en uke ? f? laget denne delen p? nytt. Da kan vi ikke lenger bruke planen vi lagde. Da vil det nemlig ha g?tt for lang tid siden det planlagte oppskytningstidspunktet (25 ?r). Siden vi n? vet at planen v?r er s?pass skj?r at kun 3.65 dagers forsinkelse vil gj?re at de ikke kommer fram til Narnia. 

La oss si det p? en annen m?te. Et oml?p for hjemplaneten rundt sola er p? ca. 654 dager. Hvis vi runder opp v?re 3.65 dager til 4 dager, vil denne perioden kun utgj?re 0.6 % av oml?pet til hjemplaneten. Det er en bitteliten del av sirkelen, det! Vi alts? v?re ganske n?yaktige. Derfor er det ekstra smertefullt ? tenke p? at dette faktisk kun er en simulering. I den faktiske rakettoppskytningen vil nok ikke alt s? som planlagt. Det kan f.eks v?re sm? legemer i veien for banen vi planla, eller det kan v?re at planetene ikke g?r i bane n?yaktig slik vi s? for oss. Derfor er det i grunnen litt tullete ? finjustere p? denne simuleringen s? til de grader, men, men, men det er jo s? g?y ? f? et fint plott der alt ser ut til ? g? perfekt. Men det er helt klart noe ? ha i bakhodet n?r vi faktisk skal skyte opp raketten og ting kanskje ikke g?r som planlagt. Likevel er det ikke kjempefarlig om vi ikke kan f?lge planen v?r n?yaktig. Vi har laget en ganske generelt program, som gj?r at vi kan gi nye booster n?r som helst. S? hvis vi havner litt off track i den faktiske oppskytning, s? er det ikke krise!

Cleanup time

N? har vi slengt ut masse tall her, uten egentlig ? begrunne hvordan de p?virker simuleringen, s? det skal vi gj?re n?. Hvor realistisk er egentlig denne reisen vi simulerer? Hvor mange forenklinger og antakelser har vi gjort p? veien? La oss starte med fartsboostene vi gir raketten. Den f?rste var som sagt p? 7585 i x-retning, og 4740 m/s i y-retning. Dette er en stor boost. Dette er i tillegg til den farten vi allerede har ogs?. For ? sammenligne disse tallene med noe kjent, s? beveger de raskeste togene i verden seg med en fart p? omkring 160m/s. Tenk deg hvordan det ville f?ltes ? sitte p? et tog med denne farten idet det br?bremser. Boosten v?r vi gir raketten er en hel st?rrelsesorden st?rre enn denne farten! En annen kjent fart vi kan sammenligne v?r med, er unnslipningsfarta p? jorda. For ? komme ut av gravitasjonsfeltet til jorda og inn i verdensrommet, trenger man en fart p? ca. 11 200 m/s. V?r boost er til sammen (i fartsretningen) p? 8944 m/s. Vi gir den stakkars raketten v?r en boost som er nesten like stor som unnslipningsfarten p? jorda! Og n?r vi booster, er vi jo ikke direkte innenfor gravitasjonsfeltet til noen av planetene engang (litt gravitasjonskrefter fra planetene virker p? oss likevel). Ogs? booster vi igjen!

Med denne kunnskapen i bakhodet, erkjenner vi at vi muligens krever litt vel mye av raketten v?r. Dette kom ogs? fram n?r vi beregnet hvor mye drivstoff disse boostene ville kreve. Vi kom fram til at den f?rste krevde 58 835 kg drivstoff. Den andre krevde 55824 kg drivstoff. Det er laaaaaangt mer enn vi har med oss p? reisa! Vi har nemlig kun ca. 1800 kg til overs etter oppskytningen. Derfor s? vi oss n?dt til ? be om assistanse fra NASA. De ga raketten v?r en oppgradering som gjorde at den kunne ta med seg uendelig med drivstoff. Sweet. N? m? du ikke bekymre deg over mangelen p? realisme knyttet til dette. Vi hadde i utgangspunktet med oss 70 000 kg drivstoff. Vi trenger tilsynelatende 114659 kg drivstoff for ? gjennomf?re boostene, s? dette m? vi legge til den opprinnelige mengden. Raketten vil klare ? n? unnslipningsfart selv om den har all denne ekstra massen (selv om den ekstra massen egentlig tilsier at den ikke burde klart det). NASA er alltid et steg foran!

N?yaktighet

Det er ¨¦n siste ting vi er n?dt til ? diskutere! En ganske ?penbar greie vi ikke har nevnt, er selvsagt antall tidssteg vi bruker i simuleringen. Vi nevnte tidligere at ? kj?re simuleringa over en periode p? 0.2 oml?p (for hjemplanet) ga oss 7169 punkter. Da har vi valgt ? bruke 20 000 tidssteg per ?r. I ettertid kan vi ikke helt skj?nne hvorfor det ble akkurat dette tallet, noe vi skammer oss dypt over. Det hadde kanskje v?rt mer naturlig ? bestemme seg for hvor langt et tidssteg skulle v?re (f.eks ¨¦n dag, eller ¨¦n time), og s? heller finne ut av hvor mange tidssteg det blir i l?pet av tida vi simulerer over. Gjort er gjort, vi f?r bare gj?re det beste ut av det. V?rt tidssteg er mindre enn b?de en dag og en time, det ble p? ca. en halvtime. Det er jo for s? vidt nice, da har vi gjort simuleringa med litt bedre presisjon enn vi hadde gjort om vi tenkte oss om litt mer. Likevel er kanskje ikke 7169 punkter s? mange som det h?res ut som. Det er ganske store avstander det er snakk om. Hva vil avstanden v?re mellom to tilfeldige punkter? Vi unders?kte dette i tre punkter (punkt 1, 3000 og 7000). Avstanden mellom disse og det forrige punktet var ca. 0.0003 AU for alle. Det h?res kanskje lite ut, men det er faktisk 44 879 km!!! Det er alts? 44 879 km mellom hvert av punktene i simuleringen v?r. Aiaiai. S? dette er definitivt noe som gj?r simuleringen mindre n?yaktig. Det er vanskelig ? f? en intuisjon for hva som er en akseptabel avstand mellom to punkter n?r man jobber med astronomiske avstander. ALT ER S? STORT. 

Andre forenklinger vi har gjort i denne simuleringen er ? betrakte solsystemet v?rt som et plan, med kun en x- og en y-akse. Sist vi sjekket var planeter og stjerner tredimensjonale, s? dette er grov forenkling. I simuleringen av planetbanene har vi sett bort ifra hvordan planetene vekselvirker med hverandre. Vi har alts? laget en modell der en planets gravitasjon ikke virker p? naboplaneten. Heheh. ? ta hensyn til dette ville nok gitt oss litt andre baner. Tilsvarende har vi sett bort ifra at sola ogs? p?virkes gravitasjonskrefter fra planetene. Vi regner alts? sola som stasjon?r. Vi har ?penbart ogs? ignorert relativistiske effekter, men dette temaet skal vi komme tilbake til senere!

N? har vi simulert rakettoppskytningen, romreisen etter oppskytning fram til vi n?rmer oss Narnia veldig. Hva n?? Jo, vi m? simulere hvordan vi skal hive oss inn i bane rundt den. Hvordan dette gikk kan du lese her.