Omsider finner vi rakettposisjonen

Mormors hemmelige GPS-oppskrift

Steg 1:

Vi starter med ? skissere sirkler om planetene i solsystemet v?rt, med avstanden deres til raketten som radius. Avstandene til raketten f?r vi som du husker fra radaren v?r. Siden vi tenkte ? bruke tre planeter, gidder vi ikke ? tegne opp sirkelen rundt stjerna. Dette er ikke noe vi sier bare fordi vi glemte ? gj?re det. Uansett, for ? lage denne skissen bruker vi et numerisk hjelpemiddel, og resultatet blir s?nn her:

Ved ? kikke p? dette plottet plukker vi oss ut tre av sirklene ? utf?re trilaterasjon-metoden p?. Vi velger oss ut planetene med indeks 1, 6 og 7. Det var egentlig utelukkende fordi de s? ut til ? overlappe hverandre p? en "oversiktlig" m?te, hehe. Vi plottet s? bare disse tre alene for ? dobbeltsjekke at det s? bra ut. Ta en kikk:

Som du ser er det ikke s???? stor variasjon i st?rrelsen deres. Da blir det litt enklere ? se hvor de skj?rer hverandre. I tillegg var det ingen av sirklene som bare "sneide" hverandre, typ s?nn her:

En situasjon som den over kunne skapt numeriske problemer som vi ikke orket ? ta hensyn til. Derfor plukket vi utelukkende ut planetsirkler som krysset hverandre klart og tydelig i to ulike punkter. 

Steg 2:

Vi plukker ut to av de tre planetsirklene. S? beregner vi avstanden mellom et punkt p? den ene sirkelen, og alle punktene p? den andre. Slik blir det:

Vi gjentar dette for alle punktene p? den f?rste sirkelen. For hvert av disse punktene, tar vi vare p? den minste avstanden til et punkt i den andre sirkelen (den korteste streken i figuren over). Denne prosessen gj?r vi s? to ganger til. F?rst mellom sirkel 7 og sirkel 1. S? mellom sirkel 1 og sirkel 6. S? mellom sirkel 6 og sirkel 7. Disclaimer: Vi har fremdeles bare tre sirkler alts?, men vi tenkte det kanskje (med stor k) ville v?re mindre forvirrende ? kalle dem opp etter hvilken planet de tilh?rer, enn ? kalle dem sirkel 1, 2 og 3.

Steg 3:

N?r vi n? har samlet alle de minste avstandene for hvert punkt p? v?r f?rste sirkel, sorterer vi disse i stigende rekkef?lge. S? plukker vi ut de to minste av disse. Disse m? jo gi oss skj?ringspunktene, og b?r i teorien v?re 0! Er du enig? De to minste avstandene b?r bli 0 fordi vi pr?ver jo p? en m?te ? finne ut hvor langt et punkt ligger unna seg selv (brainfart). Men n?r vi l?ser ting numerisk, tar vi noen shortcuts som gj?r at vi kjapt og enkelt kan tiln?rme oss l?sningen. Derfor vil avstanden mellom punktene kun n?rme seg 0.

Antall punkter vi deler opp sirkelen i, v?re noe som p?virker n?yaktigheten av resultatene. Vi valgte ? dele opp sirkelen i 1000 punkter. Her testet vi litt ulike verdier. 1000 punkter var nok til ? lage smoothe sirkler. Samtidig var det "f? nok" til at skj?ringspunktene ble i de faktiske skj?ringspunktene, og ikke i et punkt og s? i punktet med neste indeks. Det kunne tenkes at litt numeriske un?yaktigheter, kombinert med mange, mange punkter p? sirkelen i fors?k p? ? finne et veldig presist skj?ringspunkt, ville f?re til at den minste avstanden mellom punkter p? de to sirklene, ville v?re fra to punkter rett ved siden av hverandre p? den ene sirkelen. Dermed ville vi mistet et av de faktiske skj?ringspunktene. Gir dette mening, mon tro? I tillegg ville programmet v?rt blitt mye treigere ? kj?re dersom vi skulle hatt enda flere punkter enn 1000.

Uansett, n? kan vi finne ut hvilke to punkter som ga oss disse to minste avstandene. Vi vet at raketten befinner seg i et av disse punktene! Dette gj?r vi ved ? (grovt forklart) sjekke n?r det er minst avstand mellom sirkel 7 og sirkel 1, og s? bruke dette "tidspunket" til ? finne ut i hvilket punkt p? sirkel 7 vi var da. Vi gj?r tilsvarende opplegg for den nest minste avstanden. S? gjentar vi dette steget, og finner til slutt ogs? skj?ringspunktene mellom sirkel 1 og 6, og mellom sirkel 6 og 7. 

Steg 4:

N? som vi har funnet seks mulige punkter der raketten kan befinne seg, gjenst?r det bare ? sl? fast hvilket som er det riktige. Vi vet at tre av disse punktene vil v?re (omtrent) det samme punktet, fordi de tre sirklene skal krysse hverandre der raketten er. Alts? m? alle sirklene innom dette punktet. Til slutt beregner vi avstanden fra hvert av skj?ringspunktene mellom sirkel 7 og 1, ut til sentrum av planet 6. S?nn her vil det se ut:

?n av disse avstandene i figuren over b?r bli tiln?rmet lik avstanden radaren m?lte ut til planet 6. Da veit vi at det tilh?rende skj?ringspunktet vil v?re rakettens posisjon. Igjen m? vi gjenta prosessen for sirkel 1 og 6, og sentrum av planet 7. Og s? for sirkel 7 og 6, og sentrum av planet 1. P? denne m?ten finner vi tre sligthly ulike punkter der raketten kan v?re. Vi bruker et gjennomsnitt av disse for ? lage den beste mulige tiln?rmingen. That's it!

Vi fant, vi fant!

Dette var skj?ringspunktene vi fant ved ? ta utgangspunkt i planet 1, 6 og 7:

Man kan jo egentlig se direkte fra plottet hvilket av disse punktene som ville gi oss rakettposisjonen. Vi h?per du er enig i at det vil v?re punktet lengst til h?yre der! Det kan se ut som om det bare er ett markert punkt der, men vi lover deg at det er to som har gjemt seg bak der ogs?. Hvis vi zoomer langt nok inn kan vi se dem:

I disse plottene er det verdt ? bemerke seg at posisjonene hverken er oppgitt i meter, kilometer eller mil, men i AU. AU st?r for astronomisk enhet, og bare ¨¦n AU er KJEMPELANGT. Mer presist er det 149,6 millioner kilometer langt. For et vanlig, d?delig menneske er det nesten umulig ? forestille seg hvor langt dette faktisk er. Men alt vi trenger ? forholde oss til, er egentlig bare at ¨¦n AU er gjennomsnittlig avstand mellom jorda og sola (i Solsystemet). S? n?r vi observerer at raketten v?r befinner seg ish 1.8 AU unna stjerna i x-retning (i v?rt solsystem), s? vet vi at det betyr at raketten er lenger unna stjerna enn jorda noengang er fra sola. Hvis v?r stjerne hadde varmet akkurat like mye som sola, ville det dermed v?rt litt kaldere der raketten er i forhold til jorda. S?, back to business. Vi finner ut hva x- og y-verdien til de tre punktene p? bildet over blir, og stapper dem inn i en tabell. Fargene i tabellen tilsvarer fargene til punktene i bildet over:

Som du kan se gir den nederste raden oss den gjennomsnittlige verdien for x- og y-koordinatet til rakettens posisjon! Jippi, endelig er vi i m?l.