F?r vi fotografert Narnia?

Litt optikk

Oppl?sningen til kameraet vi monterte p? raketten i g?r natt er begrenset av antall piksler kameraet har. Vi har lyst til ? finne ut av hvor n?rme planeten de m? v?re for at kameraet skal klare ? fotografere den. Det vil si at vi m? vite n?r planeten begynner ? dukke opp som fire piksler. Vi kaller avstanden mellom planeten og raketten/kameraet for L. Vi lar n? radien til planeten v?re gitt ved R. Kameraet har pikseldimensjon p? \(P \times P\) piksler, og et synsfelt p? \(F \times F\) radianer. Aiaiai, dette var litt forvirrende. La oss skissere det:

Vi vet at planeten m? opptre som mer enn ¨¦n piksel i bildet dersom vi skal kunne si at vi har klart ? fotografere det. Siden planeten er kuleformet, vil den opptre i bildet som en sirkel. Den eneste m?ten en sirkel kan fordele seg p? mer enn ¨¦n piksel p?, er p? fire. Det m? se slik ut:

Og da blir L?

For ? finne ut hva avstanden mellom kamera og planet m? v?re, bruker vi rett og slett litt god, gammeldags trigonometri. Vi tegner litt igjen:

F?rst m? vi finne ut hva vinkelen \(\theta\) blir. Vi vet at \(tangens(x) = \frac{motst?ende ~katet}{hosliggende~katet}\). Dette bruker vi p? figuren over og f?r at \(tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{R}{L}\). Dette vinkelen \(\frac{\theta}{2}\) er det samme som antall radianer per den ene pikselen. Det kan alts? uttrykkes som \(\frac{\theta}{2} = \frac{F}{P}\), der F er synsvinkelen og P er antall piksler. Tilsvarende ville \(\theta\) blitt uttrykt slik: \(\theta = \frac{F}{2P}\) fordi den spenner ut to piksler. Vi kan tenke oss at synsvinkelen F dekker et visst omr?de, og at innenfor der dekker \(\theta\) omr?det planeter spenner ut. Da m? denne vinkelen v?re F, men delt p? antall piksler som spennes ut. Siden \(tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{R}{L}\) og \(\frac{\theta}{2} = \frac{F}{P}\) f?r vi at:

\(\begin{align} tan(\frac{F}{P}) &= \frac{R}{L} \\ L &= \frac{R}{tan(\frac{F}{P})} \end{align} \)

Vi bruker s? noe som heter liten vinkel-approksimasjonen, som gir oss at hvis \(\theta \) er liten (det er den, husk at vi er langt unna planeten), s? vil \(tan(\theta) > \theta\). I v?rt tilfelle f?rer det til at:

\(\frac{RP}{F} > \frac{R}{tan(\frac{F}{P})} = L\)

Den minste mulige avstanden L vil da bli \(L ? \frac{RP}{F}\). Dette er alts? hvor n?re raketten m? v?re Narnia for at kameraet skal kunne ta et oppl?st bilde av den!