F?r vi kan starte med ? se p? stjernen v?r er det 4 antagelser vi m? gj?re som er f?lgende
- Tetthetene i stjernen v?r er uniform, som betyr at tettheten er det samme uavhengig av hvor vi ser i stjernen.
- Vi skal finne trykket som om det var en ideell gass. Vi kan ogs? ignorere faktorer som str?lingstrykk.
- Vi vil anta at stjernen har hydrostatisk likevekt.
- Stjernen best?r bare av protoner med masse \(M_h= 1.673 · 10^{?27}\ kg\)
Dette er noen ganske store antagelser, som for eksempel at det bare finnes protoner i stjernen, eller at tettheten er uniform. P? grunn av de store antagelsene s? betyr det at svaret vi f?r ikke er helt presist sammenliknet med det som faktisk skjer i en stjerne.
Vi starter med ? finne ut av hva kjernetemperaturen er. Vi vet at det skjer fusjon i stjernen, som trenger partikler som hoveddrivstoff. Det er mer komplisert enn som s?, men det er en av de komponentene som skal til for ? f? fusjon. Vi kan da finne ut hvor mye som kan fusjoneres innenfor en gitt avstand fra sentrum av stjernen som en funksjon av \(r\). Vi finner da hvor mye masse \(M(r)\) som er i et gitt volum \(V(r) = \frac{4\pi r^3}{3}\), som er volumet av en kule, i tillegg m? vi inkludere tettheten \(\rho\). Vi antar her at all masse innenfor dette omr?det kan g? til fusjon. Setter vi dette sammen f?r vi et uttrykk for \(M(r)\) som blir som f?lger
\(M(r) = V(r)\cdot \rho \Rightarrow \dfrac{4\pi r^3}{3} \rho\) .
Vi ser n? at vi ogs? kan finne tettheten \(\rho\), fordi tetthet er masse delt p? volum, som er det vi har her. Fra den f?rste antagelsen vet vi at \(\rho\) er konstant og uavhengig av \(r\) dermed trenger vi ikke skrive \(M(r)\) for massen, for da holder det ? bare skrive \(M\). I tillegg kan det v?re lurt ? si at det er en forskjell p? variabelen \(r\) og en radius som er konstant. Dette har muligens ikke s? mye ? si akkurat n?, men kan godt hende at det vil spille en rolle senere. Vi vil kalle den konstante \(r_{\rho}\). Vi kan da skrive \(\rho\) som
\(\rho = \dfrac{3M}{4\pi r_{\rho}^3}\). For ? finne \(\rho\) kan vi ta total masse delt p? volum, vi vet allerede radiusen til stjernen v?r som er \(R = 2.0086\cdot 10^{6}\ km\), massen er p? \(7.9418\cdot 10^{30}\ kg \). Setter vi dette inn i uttrykket for \(\rho\) f?r vi \(\rho = 233.93\ kg/m^3\).
Vi vet at trykket i en ideell gass kan skrives som
\(P = \dfrac{\rho k T(r)}{\mu m_h}\)
\(k\) er Boltzmann konstanten \(\mu\) er midlere molekylvekt, \(T\) er temperatur, \(m_h\) er massen til et proton og \(\rho\) er massetettheten som vist over. Ok, hva n?? La oss n? se p? antagelse nr. 2 og nr. 3, vi kan ignorere str?lingstrykk og at stjernen er i hydrostatisk likevekt. Fra videreg?ende l?rte du nok at det som gj?r at en stjerne ikke kollapser p? grunn av sin egen tyngdekraft kommer av det vi kaller for str?lingstrykk. S? om vi her antar at str?lingstrykket ikke er til stede s? m? det v?re en annen kraft som motvirker tyngdekraften. Denne kraften er trykket \(P\) som virker utover. S? vi kan n? inkludere hydrostatisk likevekt, og fra antagelse nr. 3 s? kan vi anta at det er hydrostatisk likevekt gjennom hele stjernen.
Usikker p? hva hydrostatisk likevekt er, s? se bildeteksten over. S? fra antagelsen om hydrostatisk likevekt har vi n? mer ? jobbe med. Vi kan starte med ? finne hvor stor tyngdekraften er i en gitt radius, som ved ? bruke newtons gravitasjons lov blir
\(g(r) = G\dfrac{M(r)}{r^2}\) der \(G\) er gravitasjonskonstanten. Likningen for hydrostatisk likevekt er gitt som
\(\dfrac{\partial P}{\partial r} = -\rho g\). \(\partial\) er bare en fancy m?te ? si at man deriverer. Setter vi disse to uttrykkene sammen f?r vi
\(\dfrac{\partial P}{\partial r} = -\rho G\dfrac{M(r)}{r^2}\)
Setter vi alt sammen s? vil vi f? f?lgende
Grunnen til at vi integrerte fra \(0 \rightarrow R\) er at vi ?nsket temperaturen fra kjernen og helt ut til der stjernens overflate. Kjernetemperaturen kan vi n? finne ved ? sette inn det vi vet om stjernen v?r fra f?r av. For \(T(R)\) s? velger vi overflate temperaturen, \(\mu\) er lik 1, fordi den midlere molekylmassen er den gjennomsnittlige massen til alle molekylene i stjernen. S? p? grunn av at vi antar at stjernen bare best?r av protoner, alts? en type molekyl, s? vil \(\mu = 1\). \(k\) er en konstant s? den kan vi sl? opp. Skriver opp verdiene slik at det er lett ? holde oversikten.
\(T(R) = 11696.4\ K \\ R = 2.0086\cdot 10^{6}\ km\\ M_h= 1.673 · 10^{?27}\ kg\\ k = 1.38\cdot 10^{-23}\ J/K\\ \rho_0 = 233.93\ kg/m^3\\ \mu = 1 \)
Etter ? ha puttet inn verdiene i uttrykket for \(T_c\) f?r vi at temperaturen i kjernen er p? rundt \(T_c = 16\cdot10^6\ K\). Hmm, hadde forventet noe h?yere temperatur i kjernen. En av grunnene til at jeg hadde forventet en h?yere temperatur er p? grunn av massen til stjernen v?r. Den er s? og si fire ganger s? massiv som solen, s? det et vi bare har en million kelvin h?yere temperatur i kjernen i forhold til solen virker litt urimelig, med tanke p? trykket burde v?re st?rre, en god del st?rre. Om vi husker tilbake til da vil designet rakett motoren v?r s? var trykket en av faktorene som kunne bidra til at den midlere kinetiske energien til en partikkel ?kte. Bruker vi samme tankegang her s? burde en h?yt trykk f?re til at temperaturen ogs? ?ker. Her kan en av v?re antagelser, at det er uniform tetthet i hele stjernen v?re ?rsaken til at vi f?r et s?pass lav temperatur. Greit nok, la oss g? videre og se om de neste resultatene er i samsvar med hva vi kan forvente, spesielt n?r vi skal sammenlikne luminositeten med den vi finner gjennom v?res veldig forenklede modell.
La oss n? se p? energiproduksjonen i kjernen for s? ? pr?ve ? finne luminositeten til stjernen v?r. Vi nevnte tidligere at det foreg?r fusjon i kjernen av en stjerne. Dette er prosessen som st?r for energiproduksjonen og g?r p? at to molekyler sl?s sammen, fusjonerer, og danner et tyngre grunnstoff. Dette gir s? fra seg energi p? grunn av noe som kalles nuklidemasse. Nuklidemasse er massen til en nuklide delt p? antall nukleoner. Differansen mellom total nuklidemasse f?r en reaksjon og etter er det som gj?res om til energi. Hvorfor fusjon og ikke fisjon? Vel, stjerner best?r av de letteste grunnstoffene, hydrogen, helium etc, andre tyngre grunnstoffer kommer hovedsakelig fra d?de stjerner for stjerner produserer tyngre grunnstoffer i l?pet av deres levetid gjennom fusjon, til de d?r og slipper dem ut.
Luminositet er definert som utstr?lt energi delt p? tid, du kjenner kanskje igjen denne enheten som watt. Vi er interessert i energi delen i dette, s? om vi finner ut av hvor mye energi som kjernen produserer pr tidsenhet s? kan vi finne luminositeten. Basert p? kjernetemperaturen \(T_c=16\cdot 10^6\ K\) vi fant tidligere kan vi gj?re f?lgende antagelser.
- All fusjonen skjer innenfor et volumet av en kule med radius \(0.2 R\)
- Vi antar at all energien som blir produsert i kjernen kommer fra pp skjeden og CNO syklusen.
- Vi antar at kjernen best?r av \(74.5 \)% Hydrogen, \(25.3\)% Helium og \(0.2\)% Karbon, Oksygen og Nitrogen
- Antagelsen om at tettheten er uniform gjelder fremdeles, i tillegg antar vi at temperaturen vi kom fram til \(T_c=16\cdot 10^6\ K\) er lik gjennom hele kjernen.
Alle antagelsene er ganske store antagelser, men kanskje dette gir et resultat som motstrider det vi har observert, og det vi kom fram til som \(T_c\). Den ene antagelsen som st?r frem som mest urealistisk er at tettheten er uniform. Man kan tenke seg en atmosf?re som man faller gjennom. ?verst vill tettheten v?re lavest, fordi alle luft partiklene ligger opp? alt som er under. G?r man til midten av atmosf?ren s? kan man tenke seg at partiklene i en gitt h?yde over bakken b?de ligger opp? andre partikler men at alt over dytter alt under seg ned, som vil ?ke tettheten. Helt nederst p? bakken har man kun alle partiklene over som presser ned, og dermed tvinger partikler n?rmere hverandre som ?ker tettheten i det omr?de.
Hadde \(T_c > 90\cdot 10^6\ K\) s? ville vi ha brukt noe som heter \(3\alpha\) reaksjonen, men p? grunn av at det ikke er det, s? bruker vi antagelse nr. 2. S? hva er egentlig pp-kjeden og CNO-syklusen? Vi vil starte med pp-kjeden.
F?rste reaksjonen vi har i pp-kjeden er to protoner som danner Deterium, inkludert et positron \({^0_0\bar{\mathrm{e}}}\), et elektron \({^0_0\nu_\mathrm{e}}\) og energi. Deretter fusjoneres Deterium med et proton som resulterer i et foton og et isotop av helium \({^3_2\mathrm{He}}\) og energi. Deretter fusjonerer isotope med et annet isotop som resulterer i 2 protoner, Helium og energi. pp-kjeden kan dermed bli skrevet som f?lgende
\({^1_1\mathrm{H}} + {^1_1\mathrm{H}}\rightarrow {^2_1\mathrm{H}} + {^0_0\bar{\mathrm{e}}} + {^0_0\nu_\mathrm{e}}\)
\({^2_1\mathrm{H}} + {^1_1\mathrm{H}}\rightarrow {^3_2\mathrm{He}} + {^0_0\gamma}\)
\({^3_2\mathrm{He}} + {^3_2\mathrm{He}}\rightarrow {^4_2\mathrm{He}} + 2\times{^1_1\mathrm{H}}\)
Denne reaksjonen er mest effektiv rundt \(15\cdot 10^{6}\ K\).
For CNO-syklusen
\({^{12}_6\mathrm{C}}+{^1_1\mathrm{H}\to^{13}_7\mathrm{N}}+{^0_0\gamma}\)
\({^{13}_7\mathrm{N}}\to{^{13}_{6}\mathrm{C}}+{^0_0\bar{e}}+{^0_0v_e}\)
\({^{13}_6\mathrm{C}}+{^1_1\mathrm{H}}\to{^{14}_7\mathrm{N}}+{^0_0\gamma}\)
\({^{14}_7\mathrm{N}}+{^1_1\mathrm{H}}\to{^{15}_8\mathrm{O}}+{^0_0\gamma}\)
\({^{15}_8\mathrm{O}}\to{^{15}_7\mathrm{N}}+{^0_0\bar{e}}+{^0_0v_e}\)
\({^{15}_7\mathrm{N}}+{^1_1\mathrm{H}}\to{^{12}_6\mathrm{C}}+{^4_2\mathrm{He}}\)
Noe som er verdt ? merke seg er at mengden av C, O og N ikke g?r ned fordi de fungerer som katalysatorer for fusjons prosessen. Denne prosessen forekommer i temperaturer rundt \(20\cdot 10^6\ K\) og er f?lsom for endringer i temperaturen.
N? er sp?rsm?let hvordan finner vi ut av energien vi f?r ut fra fusjons prosessene i kjernen. Den generelle formelen for energien som blir produsert i en fusjonsprosess er gitt som
\(\varepsilon_{AB} = \varepsilon_{0,\mathrm{reac}}X_AX_B\rho^\alpha T^\beta\), her var det en del ukjente tegn. Vi starter med det som er kjent, tettheten \(\rho\), \(\alpha\) og \(\beta\) er avhengig av temperaturen, og \(X\) er prosentandelen av et grunnstoff som den totale massen vi ser p? best?r av. For oss vil dette v?re \(X_H=0.745\), \(X_{He}=0.253\) og for \(X_{CNO} = 0.002\). For oss vil \(\varepsilon_{0,\mathrm{reac}}\) bli oppgitt for en gitt prosess.
Vi kan starte med ? se p? pp-kjeden. Energien fra pp-kjeden kan bli skrevet som
\(\varepsilon_\mathrm{pp} \approx \varepsilon_{0,\mathrm{pp}}X_H^2\rho T_6^4\)
hvor \(\varepsilon_{0,\mathrm{pp}} = 1.08\cdot10^{-12}\;\mathrm{Wm^3/kg^2}\) og \(T_6\) er temperaturen i millioner kelvin. For v?rt tilfelle s? blir \(T_6^4 = 16^4\ K\). Verdien vi f?r for \(\varepsilon_\mathrm{pp} = 9.1897\cdot 10^{-6}\ W/kg\). Gj?r det samme CNO-skjeden der energien fra denne prosessen kan skrives som
\(\varepsilon_\mathrm{CNO} = \varepsilon_{0,\mathrm{CNO}}X_HX_{\mathrm{CNO}}\rho T_6^{20}\)
Her er \(\varepsilon_{0,\mathrm{CNO}} = 8.24\cdot10^{-31}\;\mathrm{Wm^3/kg^2}\), og \(T_6^{20} = 16^{20}\ K\). Setter vi inn verdiene f?r vi at \(\varepsilon_\mathrm{CNO} = 3.4722\cdot 10^{-7}\ W/kg\)
Sammenhengen mellom luminositet og energien vi fant kan bli uttrykket som
\(\dfrac{dL(r)}{dr} = 4\pi r^2\rho(r)\varepsilon(r)\), der \(\varepsilon(r) = (\varepsilon_\mathrm{pp} + \varepsilon_\mathrm{CNO}) \), og \(\rho = \rho_0\). Her integrerer vi p? begge sider fra \(0 \rightarrow 0.2R\) og da f?r vi
\(L = \dfrac{4\pi}{3}\rho_0(\varepsilon_\mathrm{pp} + \varepsilon_\mathrm{CNO}) \cdot \left[ r^3\right]_{0}^{0.2R}\)
\(L = \dfrac{4\pi}{3}\rho_0(\varepsilon_\mathrm{pp} + \varepsilon_\mathrm{CNO}) (0.2R)^3\)
Setter vi inn verdiene og regner ut f?r vi \(L = 6.06\cdot 10^{23}\ W\), et h?yt tall, men hva sier det i forhold til luminositeten vi fant i forrige innlegg. Luminositeten vi fant der var p? \(L_s = 5.3804347\cdot10^{28} \mathrm{W}\), ser vi n? p? forholdet \(\dfrac{L}{L_s} = 1.1\cdot 10^{-5}\) ganger mindre i forhold til det vi fant tidligere. En av disse er definitivt feil, og sjansen for at det er luminositeten vi fant her som er feil er ganske stor med tanke p? alle antagelsene og forenklingene vi gjorde p? veien. Det som mest sannsynlig hadde st?rst effekt var nok tettheten. Som nevnt tidligere s? kan man ikke forvente at tettheten er uniform og lik i hele stjernen. Tettheten og trykket vil ?ke desto n?rmere sentrum man kommer, og dermed ogs? temperaturen.
Sl?r man opp p? den type stjerne vi har, en type B i hovedserien, s? finner man at f?rst at energien kommer hovedsakelig fra CNO-syklusen, som krever temperaturer p? rundt \(T = 15\cdot 10^{6}\ K\) p? ? starte, og rundt \(T = 17\cdot 10^{6}\ K\) er det den dominerende kilden til energi. Det st?r ogs? at type B stjerner ikke har en konveksjonsstr?m i seg, slik solen har. Ta dette med en klype salt, men om jeg ikke husker feil, s? er konveksjon en av de beste m?tene ? transportere varme p?. Mangel p? dette gj?r at temperaturen i stjernens indre har det mye vanskeligere ? slippe ut, og dermed vil temperaturen bli bevart i langt st?rre grad enn om det hadde hatt konveksjon.
Den andre antagelsen som kan ha f?rt til at resultatet var s? forskjellig er at vi antok at all fusjonen foregikk innenfor en kule med radius p? \(0.2R\). V?r stjerne sin energiproduksjon er konsentrert i sentrum av kjernen, som danner konveksjonsstr?mmer rundt kjernen, som bringer hydrogen inn der fusjonen foreg?r. Denne konsentrasjonen av fusjons prosesser, mangel p? god varmetransport eller overf?ring av varme, og h?ye tettheten gir oss grunn til ? tro at resultatet er for lavt, og burde ha v?rt h?yere. Siste tingen som st?tter dette er at vi er under \(T = 17\cdot 10^{6}\ K\)dersom vi antar at den dominerende kilden til energi skulle ha v?rt CNO-syklusen s? er dette et ganske tydelig tegn p? at vi har for lav temperatur.
Av ren nysgjerrighet plottet vi dette for ? se hva som skulle til for ? f? tilsvarende resultat med den tidligere innlegget. Verdt ? nevne er at det kan hende begge er feil, og at luminositeten vi fant tidligere er for h?y. Det betyr heller ikke at begge kan v?re feil, men basert p? informasjonen vi har n?, s? er det mye som tyder p? at temperaturen i kjernen er for lav. Med hvor mye er vanskelig ? si, alt vi vet, er at den burde ha v?rt h?yere.
