N? som vi har kommet fram til planeten, kan man jo lure p? hva som egentlig forteller oss at banen v?r er stabil? Vi kunne jo godt ha bare pr?vd oss fram, men vi har ikke all drivstoffet i verden! La oss dra frem noe kjent, tolegemeproblemet.
Vi ser s? for at vi skal vite hva v?r bane vil v?re, m? vi vite hvor stor den lille og store halvaksen er. For ? finne disse m? vi dra frem en del likninger som kan virke litt fjernt:
\(e = \sqrt{1-(\frac{b}{a})^2} \\ p = \frac{b^2}{a} \\ p = \frac{h^2}{m} \\ ?p = a(1-e^2) \\ r = \frac{p}{1+e\cos{f}}\)
Disse er formlene vi kjenner for en ellipse, og kan s? bruke de til ? finne det vi mangler. Men hva var n? h igjen? Jo, fra n?r vi snakket om keplers lover er jo dette spinnet. Den eneste verdiene vi kjenner blir derfor r og h. M?let blir ? f? en s? sirkul?r bane som mulig, ettersom dette vil gi oss en stabil fart. Vi gj?r en antakelse at energien er bevart i systemet, og vil s? ha at eksentrisiteten (forholdet mellom lille og store halvakse) er 0. P? dette vis vil vi ha en perfekt sirkel, hvor a = b.
Vi bruker dette problemet n?r vi ser p? to objekter hvor det kun er en tyngdekraft som fungerer, vi ser bort ifra andre gravitasjonskrefter enn planeten v?r fordi at tyngdekraften til planeten v?r er langt st?rre. Dette gir oss s? at energien i problemet er:
\(E = \frac{1}{2}\hat{\mu}v^2 - G\frac{\mu (m_p+m_r)}{r^2}\)
Hvor farten er lengden av den radielle og tangentielle farten, her vil vi helst ha en s? liten radiell hastighet som mulig da dette vil f? oss n?rmere planeten. Vi finner farten ved:
\(v = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = \sqrt{v_r^2+v_\theta^2}\)
N?r vi l?ser for denne energien en gang, kan vi bruke den videre da vi antok at energien var konservert. Vi setter s? inn formelen for r, og gjennom en del algebra ved at energien er konservert, kan skrive energien p? f?lgende m?te.
\(r = \frac{p}{1+e\cos{f}} \\ E = -G\frac{\mu (m_p+m_r)}{2p}(e^2-1)\)
Men vent! Negativ energi? Jo, hvis du husker, s? er energien negativ om den potensielle energien dominerer. I tolegemeproblemet, vet vi at for at en bane skal v?re stabil, m? dette v?re sant. Hvis den kinetiske hadde dominert, ville jo raketten bare flydd videre langt vekk fra planeten! Dette er en grunn til at vi b?r bremse ned farten rett f?r planeten, slik at tyngdekraften kan ta h?nd om oss. Vi setter s? inn likningen for p for ? finne den store halvaksen.
\(p = a(1-e^2) \\ E = -G\frac{\mu (m_p+m_r)}{2a(1-e^2)}(e^2-1) \\ a = -G\frac{\mu (m_p+m_r)}{2E}\)
Det er s? nesten hele problemet l?st! I allefall det vanskeligste, fra her er det jo bare ? bruke likningene fra en ellipse til ? finne de andre ukjente verdiene. Vi mikser og trikser med det vi vet:
\(p = \frac{b^2}{a} \\ p = \frac{h^2}{G(m_p+m_r)} \\ b = h\sqrt{\frac{a}{G(m_p+m_r)}}\)
Ved den store og lillehalvaksen kan vi s? finne eksentrisiteten til banen:
\(e = \sqrt{1-(\frac{b}{a})^2}\)
Vi kan ogs? finne oml?pstiden v?r ved Keplers tredje lov:
\(P = \sqrt{\frac{4\pi^2}{G(m_p+m_r)}a^3}\)
Da skulle det v?re alt vi skulle trenge for ? vite noe om banen v?r! M?let v?rt blir jo ? f? en s? perfekt sirkul?r bane som mulig, og m? da ha eksentrisiteten til ? v?re null.
Det er jo klart at disse likningene vil gi litt avvik fra ? anta energien er konservert, det er ikke helt et tolegemeproblem ettersom det er mange flere planeter som kan ha innvirkning p? banen v?r. Likevel s? har vi n? vist at vi kan finne banen v?r s? lenge vi kjenner energien v?r.