Vi har blitt utstyrt med to ulike m?ter ? komme oss trygt ned p? overflaten. Den ene er en fallskjerm som vi kan justere st?rrelsen p?, den andre er et sett med mindre raketter som skal virke i motsatt retning enn det vi faller i. Vi kaller dem bare for thrusters, for enkelthetens skyld. En vellykket landing er her definert som om landingsmodulen treffer bakken med en fart lik eller mindre enn \(3\ m/s\). S? v?rt m?l blir dermed ? f? farten til ? bli mindre enn det f?r vi treffer bakken. Planeten har en atmosf?re som vi m? gjennom p? vei ned, det betyr at vi vil f? luftmotstand inn i bildet. Kraften som luftmotstanden vil virke p? landingsmodulen p? vei ned vil bli uttrykket gjennom motstandskraften \(F_D\), ogs? kjent som drag equation p? engelsk.
\(F_D = \frac{1}{2}C_D\rho Av_{drag}^2\), her antar vi at dragkoeffisienten lik 1, \(\rho\) er tettheten til luften i en gitt avstand fra bakken, \(A\) er overflate arealet som er vendt mot retningen vi faller i, men vi kan anta at denne er st?rrelsen av landingsmodulen, til slutt vi vil forkorte \(v_{drag}\) til \(v_d\) som er farten til landingsmodulen i forhold til atmosf?ren.
Overflatearealet til landingsmodulen er \(A_l = 0.3\ m^2\), og veier 90kg, \(\rho_0\) som er tettheten til luften p? overflaten er \(\rho_0 = 4.87\ kg/m^3\). Vi antar at atmosf?ren f?lger planeten sin rotasjon i en gitt avstand fra sentrum av planeten, s? i og med at \(v_d\) er avhengig av farten til modulen i forhold til atmosf?ren blir det naturlig ? finne et uttrykk for farten til atmosf?ren som en funksjon av avstanden fra sentrum.
Vi kan anta at rotasjonen til planeten er konstant, alts? den roterer like fort pr tidsenhet man bruker. Vi kan se p? farten til atmosf?ren som strekningen en partikkel, som vi antar ikke endrer avstand til sentrum underveis, m? tilbakelegge etter en hel runde. Vi f?r dermed en velkjent formel som er resultatet av at \(s = vt\), strekningen blir da omkretsen gitt radius, og med litt algebra f?r vi at \(w = v \Rightarrow \dfrac{2\pi r}{t} \), merk at dette er teknisk sett er den tangentielle farten.
Videre m?ler vi alltid v?r hastighet i forhold til overflaten av planeten. Vi kan dermed se at det er relasjon mellom v?r hastighet, og atmosf?ren sin fart og dermed kan man finne et uttrykk for \(v_d\) gjennom disse. Atmosf?ren sitt forhold til bakken er at den er bundet til rotasjonen av planeten, s? p? grunn av at bakken ogs? er bundet av rotasjonen og vi m?ler v?r hastighet i forhold til bakken kan \(\vec{v}_d\) bli uttrykket som \(\vec{v}_d = \vec{v}_p - \vec{w}\). \(v_p\) er hastigheten v?r landingsmodul har i forhold til bakken, og kan bli dekonstruert til ? v?re radiell og tangentiell hastighet.
For ? forst? hva som skjer n?r landingsmodulen kommer inn i atmosf?ren er vi n?dt til se n?rmere p? kreftene som virker p? modulen under nedstigingen, ved ? dekomponere noen vektorer i form av radiell og tangentiell. Det er 2 hovedkrefter som virker p? landingsmodulen, luftmotstanden som er avhengig av hastigheten i forhold til atmosf?ren og tyngdekraften som er avhengig av avstanden til sentrum av planeten. Tyngdekraften virker bare radielt mellom modulen og sentrum, og kan ikke virke tangentielt. Dette f?rer til at modulen vil f? en akselerasjon ned mot overflaten, som betyr at man f?r en radiell hastighet, og dermed en luftmotstand som virker i motsatt retning av bevegelsen, som vil si opp fra bakken. Vi setter positiv retning opp og negativ i retning bakken. Fra dette har vi da \(\vec{G}_t = -g\) og \(\vec{F}_{d, t} = \frac{1}{2}C_D\rho Av_{d, t}^2\). I radiell retning er den eneste kraften luftmotstanden som er avhengig av den radielle hastigheten til landingsmodulen i forhold til atmosf?ren. P? grunn av at det ikke er noen andre krefter som virker i denne retningen vil det bli en kraft som virker mot bevegelse, som vil redusere den radielle hastigheten over tid. P? et eller annet tidspunkt vil den radielle hastigheten bli tiln?rmet lik \(0\ m/s\). Ser vi p? uttrykket for \(F_d\) ser vi at n?r \(\{v_d = 0\},\ F_d(v_d) \Rightarrow F_d(0) = 0\ N\), dermed vil vi bare ha \(\vec{G}_t\ og\ \vec{F}_{d,t}\) etter lang nok tid.
Vi kan gj?re om det opprinnelige problemet til et problem om fritt fall. Ser vi p? summen av kreftene f?r vi \(\sum F = G_t + F_{d,t} = 0\ N \Rightarrow -mg + \frac{1}{2}\rho C_d Av_d^2=0\ N\), her er \(g = G\frac{M}{r^2}\), s? med litt algebra der vi l?ser for \(v_d\) ender vi opp med \(v_d=\sqrt{G\dfrac{2Mm}{A\rho r^2}}\) . Dette ga oss et uttrykk for terminalfarten som en funksjon av avstanden til sentrum av planeten, for \(\rho\) er ogs? en funksjon av \(r\).
La oss n? finne st?rrelsen p? fallskjermen som vi vil trenge for ? f? en myk landing. Igjen med algebra og l?ser for arealet, s? f?r vi \(A=G\dfrac{2Mm}{v_d^2\rho r^2}\Rightarrow \dfrac{2mg}{v_d^2\rho}\). Tyngdeakselerasjonen p? overflaten er \(g = 5.09\ m/s^2\), \(m = 90\ kg\) og \(v_d = 3\ m/s\). Setter vi inn de verdiene f?r vi st?rrelsen v?r fallskjerm trenger \(A = 20.9\ m/s^2\).
Vel, det er n? godt og slikt, men for ? v?re p? den sikre siden setter vi heller \(v_d = 2.9\ m/s\) isteden for det vi brukte f?rste gangen. Dette gj?r vi fordi vi ?nsker et lite slingringsrom dersom vi ikke skulle klare ? bremse nok f?r vi treffer bakken. Med denne endringen f?r vi et areal p? \(A = 22.4\ m/s^2\). I tillegg av ren nysgjerrighet sjekket vi ogs? terminalfarten p? overflaten dersom vi ikke skulle ha noen fallskjerm, da fikk vi \(v_{uten} = 25.05\ m/s\). Dette skulle vise seg ? bli relevant senere.
Vel, dette kan kalles for stilheten f?r stormen.