I dette fors?ket vil vi se p? hvordan lys blir p?virket n?rme et sort hull ved ? tenke oss at vi har en skall observat?r, observat?r n?rme det sorte hullet, som peker en laser radielt utover mot en langt vekk observat?r. Skall observat?ren er en avstand r fra sentrum av det sorte hullet og langt vekk observat?ren er rett og slett ganske langt unna.
Lyset som skall observat?ren sender har en b?lgelengde \(\lambda_{sh}\) og vi er ute etter ? finne b?lgelenden, \(\lambda\) som langt vekk observat?ren vil observere at det samme lyset har. Frekvensen som lyset har for skall observat?ren er \(\nu_{sh}=1/\Delta t_{sh}\) og for langt vekk observat?ren vil dette v?re \(\nu = 1/\Delta t\), her er \(\Delta t_{sh} \) og \(\Delta t\) tiden mellom to b?lgetopper til lyset som blir sendt ut fra laseren.
Vi starter med ? finne et forhold mellom \(\Delta t_{sh}\) og \(\Delta t\) ved ? bruke noe som kalles for Schwarzschild linje element som er gitt som
\(\Delta S^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \Delta t^2 - \dfrac{\Delta r^2}{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)} - r^2\Delta \phi ^2\)
og bruker noe som kalles for Lorentz linje element i polare koordinater som er gitt som
\(\Delta S^2 = \Delta t^2 - \Delta x^2 - \Delta y^2 = \Delta t^2 - \Delta r^2 - r^2\Delta \phi ^2\)
Noe som er verdt ? merke seg fra Schwarzschild og Lorentz linje element er at vi vil bruke polare koordinater fordi systemet vi ser p? er definert som planet 2 ulike eventer skjer i, rundt en masse \(M\), dermed blir det mer naturlig ? bruke polare koordinater, der origo er sentrum av massen. En annen ting som er verdt ? merke seg er at \(\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\) er dimensjonsl?s. En rask dimensjonsanalyse viser dette ganske greit. Vi kan se bort fra tallet 1, for den er allerede dimensjonsl?s. Det skal ogs? ha v?rt \(G/c^2\) der \(G\) er gravitasjonskonstanten og c er lysets hastighet i vakuum.
\(\frac{MG}{rc^2}\Rightarrow \frac{[kg]\cdot [N\cdot m^2/kg^2]}{[m] \cdot [m/s^2]}\Rightarrow \frac{[kg]}{[m]}\cdot \frac{[kg]\cdot[m]}{[s^2]}\cdot\dfrac{\frac{[m^2]}{[kg^2]}}{\frac{[m]}{[s^2]}}\Rightarrow \frac{[kg^2]}{[s^2]}\cdot\frac{[m]\cdot[s^2]}{[kg^2]} \Rightarrow [m]\)
S? du lurer nok p? hvorfor vi ikke skriver \(\left(1 - \frac{2MG}{rc^2}\right)\), kort forklart s? kommer det av at fysikere ofte er late, og som en konsekvens av at vi ofte m?ler tid i meter. Dermed m? vi v?re n?ye med ? gj?re om massen til meter f?r vi setter inn i uttrykket \(\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\), s? slipper vi ? m?tte skrive \(\dfrac{G}{c^2}\). For ? gj?re om mellom masse til meter kan vi bruke
\(\dfrac{M_{masse}}{M_{meter}} = \dfrac{G}{c^2}\)
Her er \(\Delta S\) noe som kalles for tidrom elementet som sier noe om hvordan avstander er m?lt. \(\Delta \phi\) er forskjellen i vinklene mellom to eventer i det polare koordinat systemet.
Tilbake til det opprinnelige problemet. Vi starter med ? sette \(\Delta S^2 = \Delta S_{sh}^2\), her er \(\Delta S_{sh}^2 = \Delta t_{sh}^2 - \Delta r_{sh}^2 - r^2\Delta \phi ^2\), som er for skall observat?ren. Uttrykket for langt vekk observat?ren blir Schwarzschild linje elementet.
\(\Delta t_{sh}^2 - \Delta r_{sh}^2 - r_{sh}^2\Delta \phi ^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \Delta t^2 - \dfrac{\Delta r^2}{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)} - r^2\Delta \phi ^2\)
\(r^2\Delta \phi ^2 \Leftrightarrow r_{sh}^2\Delta \phi ^2= 0\) fordi vi ser p? to eventer som er p? en rett linje langs den radielle komponenten fra origo, som betyr at forskjellen i vinkelen mellom dem er lik 0. P? grunn av at vi ser p? tiden mellom to b?lgetopper for en skall observat?r og en langt vekk observat?r kan man sette \(\Delta r_{sh}^2 \Leftrightarrow \Delta r^2 = 0 \) for begge er tiln?rmet lik null.
\(\begin{align*} ????\Delta t_{sh}^2= \left(1 - \frac{2M}{r}\right) \Delta t^2? \end{align*}\)
L?ser for \Delta t og med litt algebra og man f?r vi
\(\Delta t = \dfrac{\Delta t_{sh}}{\sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}}\)
Da er det p? tide ? putte dette sammen med EM-str?ling for ? se hvordan det blir p?virket n?rt et sort hull. Vi bruker formelen for doppler skiftet gitt som
\(\dfrac{\Delta \lambda}{\lambda_{sh}}=\dfrac{\lambda -\lambda_{sh}}{\lambda_{sh}}\)
Vi bruker s? at \(v = \nu \lambda\) der \(v = c = 1\) og at \(\nu = 1/\Delta t\). Vi f?r da \(\Delta t = \lambda\), gj?r vi dette for frekvensen for skall og langt unna observat?ren f?r vi \( \Delta t_{sh} = \lambda_{sh}\) og \(\Delta t = \lambda\). Setter vi inn dette i uttrykket for doppler skiftet f?r vi
\(\dfrac{\lambda -\lambda_{sh}}{\lambda_{sh}} = \dfrac{\Delta t - \Delta t_{sh}}{\Delta t_{sh}}\)
Setter vi s? inn uttrykket for \(\Delta t\) f?r vi
\(\dfrac{\dfrac{\Delta t_{sh}}{\sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}} - \Delta t_{sh}}{\Delta t_{sh}}\Rightarrow \left(\dfrac{1}{\sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}} - 1\right)\cdot\frac{\Delta t_{sh}}{\Delta t_{sh}}\)
\(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_{sh}} = \dfrac{1}{\sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}} - 1\)
N? er vi interessert i ? se hva som skjer n?r \(r>> 2M\). N?r \(r>> 2M\) blir alt under br?ken veldig lite, s? da kan vi gj?re noen tiln?rmelser ved hjelp av noe som kalles for taylor utvikling. Kort forklart s? lager man et polynom rundt et punkt som man kan bruke som en tiln?rmelse. Hvis du vil ha en mer detaljert forklaring s? kan du g? til 3Blue1Brown sin video om det som du kan finne her.
Vi setter f?rst at \(x = 2M/r\) og gj?r rekkeutviklingen for \(1/\sqrt{1-x}\) rundt \(0\) og f?r for f?rste orden
\(f(x) \approx 1 + \frac{x}{2} + O(x^2)?\)
Setter vi inn for \(x\) f?r vi at
\(\dfrac{1}{\sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}} = 1 + \frac{2M}{2r} \Rightarrow 1 + \frac{M}{r}\)
\(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_{sh}} = \dfrac{1}{\sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}} - 1 \Rightarrow 1 + \frac{M}{r} - 1 \Rightarrow \frac{M}{r}\)
Vi kan dermed si at dobbler skiftet lys fra en skall observat?r er \(\dfrac{\Delta\lambda}{\lambda_{sh}} = \dfrac{M}{r}\)