La oss n? se p? noen utledninger av lovene hans, og forbedre dem fra et analytisk utgangspunkt. Kepler fant sammenhengen i sine lover kun ved hjelp av ? se p? dataen som hadde blitt samlet av Tycho Brahe. Selv om lovene er ganske presise allerede, faller de fort fra hverandre n?r man ser p? baner som ikke g?r rundt solen. Hvorfor dette er tilfellet skal vi komme tilbake til.
- Planetene beveger seg i ellipser med Solen i det ene brennpunktet.
- En rett linje fra Solen til planeten (radiusvektoren) beskriver like store flater i like lange tidsrom (?Keplers flatesats?).
- Kvadratet av den sideriske oml?pstid for en planet er proporsjonalt med tredje potens av dens gjennomsnittlige avstand fra Solen. (P^2 = a^3)
Kilde: https://snl.no/Keplers_lover
Ved ? ta utgangspunkt i at banene er ellipser med en stjerne i brennpunktet, f?r vi nemlig baner som virker logiske og ikke g?r i episykler. Dette er det grunnleggende prinsippet og kanskje aksiomet for ? bevise Keplers andre og tredje lov.
Keplers andre lov sier at for den posisjonen planeten har bevegd seg over, vil sektoren mellom startposisjonen til planeten, sluttposisjonen til planeten og stjernen i sentrum danne et areal som er like stor for samme tidssteg uansett hvor langt planeten kom i l?pet av tidssteget.
For ? forst? Keplers andre lov, m? vi f?rst tenke oss fram til hva arealet til en sektor er. La oss n? se p? et forenklet system f?r vi begynner rett p?
Hvis vi zoomer langt inn, vil en sektor v?re ganske lik en rettvinklet trekant. Vi kan bruke dette til ? finne ut hva arealet av en sektor er. For sm? nok trekanter, kan vi benytte oss av sm?vinkelapproksimasjon. Her er tanken at for en liten nok vinkel \(\theta,\ vil\ \sin(\mathrm{d}\theta)\) v?re lik \(\tan(\theta)\).
\(\sin(\mathrm{d}\theta) = \frac{\mathrm{d}r}{r}\) vi setter s? \( \mathrm{d}r\) til ? v?re buelengden av kurven i stedet:
\(\mathrm{d}r = r*\mathrm{d}\theta.\)
Setter vi dette inn i \(\sin(\mathrm{d}\theta)\) f?r vi s?:
\(\sin(\mathrm{d}\theta) = \mathrm{d}\theta\)
Og dermed viser det seg at for liten nok vinkel, vil sinus av vinkelen v?re det samme! N?, hvis du husker hva arealet av en rettvinklet trekant er, s? har vi b?de grunnflaten og h?yden.
\(A = \frac{gh}{2}\)
\(\mathrm{d}A = \frac{r^2\mathrm{d}\theta}{2} \)
En annen veldig fin m?te ? tenke p? dette p? er ? ta arealet av en sirkel og gange det med radianer, de begge gir samme resultat.
Rotasjonell bevegelse
Ok, vi har arealet, men vi skulle jo vise at det var det samme over en lik periode!
\(\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{r^2}{2}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\)
Her ser vi faktisk den varierer med vinkelhastigheten (grader per tidsenhet!), s? dette sier oss at vinkelhastigheten b?r v?re bevart om Keplers lover skal v?re sann. Vi skal jo vise at uttrykket er konstant for en periode \( \mathrm{d}t\)
For ? finne vinkelhastigheten, m? vi s? se p? s?steren av translasjonsmekanikk, nemlig rotasjonsmekanikk. Translasjonsmekanikken er hvordan objekter beveger seg i en rett linje, rotasjonsmekanikken er hvordan objekter beveger seg om en akse. Takk og pris har vi Newtons andre lov i rotasjonsmekanikken ogs?, bare sagt p? en litt annen m?te:
\(\tau = \vec{r} \times \vec{F} \)
Dette forteller oss at for at kraftmomentet (\(\tau\)), eller objektets evne til ? endre rotasjon, er kun 0 om posisjonsvektoren og kraften er parallelle. La oss tegne opp en skisse som illustrerer kreftene i en bane rundt en stjerne. Kraften kommer s? fra Newtons gravitasjonslov.
Dette stemmer jo gitt, kraftmomentet vil alltid v?re null s? lenge vi har referansesystemet i stjernen.
-----------
For de som er litt mer interessert i rotasjonsmekanikken er denne neste seksjonen dedikert til dere, men den er ikke alt for viktig videre s? bla ned under linjen hvor vi beviser Keplers tredje lov. Siden vi vet at Newtons andre lov finnes i rotasjonsmekanikken kan vi jo bare integrere den og finne bevegelsesmengden? Det er faktisk s? lett!
\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = I\omega\)
Her vil s? \(\vec{L}\) v?re gitt som spinn (rotasjonsmekanikkens bevegelsesmengde), \(I\) er treghetsmomentet og \(\omega\) er vinkelhastigheten. Den likner utrolig mye p? bevegelsesmengden i translasjonsmekanikken. La oss n? skrive ut hele uttrykket: \(\vec{L} = r*\vec{e_r} \times m(v*\vec{e_r}+r\omega*\vec{e_\theta})\) Hva er alt dette? Jo, dette er enhetsvektorer. Det er som om n?r vi l?ser et koordinatsystem i et annet referansesystem enn x og y. Det er lettere (og ryddigere) ? l?se et system som har en sirkul?r bevegelse med polarkoordinater (\(\vec{e_r}, \vec{e_\theta}\)). Den mystiske farten kommer fra multiplikasjonsregelen i derivasjon: \((r*\vec{r})’ = (r)’*\vec{e_r}+r*(\vec{e_r})’ = v*\vec{e_r}+r\omega*\vec{e_\theta} \vec{L} = mr^2\omega\) Vi har s? funnet treghetsmomentet for spinnet, men vi er jo ikke s? interessert i spinnet, vi ville jo bare bevise at den var konstant. La oss gj?re det om til det spesifikke spinnet:\( \vec{h} = \frac{\vec{L}}{m} = r^2\omega \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{\vec{h}}{2}\)
---------
Hang du med? Ta gjerne den tiden du trenger for ? forst?, dette er nemlig essensen for ? forst? alle Keplers lover. La oss ta det litt roligere med noen enkle integraler. Fra den spesielt interesserte seksjonen ovenfor satt vi nemlig \(r^2\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\) til ? v?re en konstant \(\vec{h}\). Vi kan s? integrere dette p? hensyn med tid for ? f? oml?pstiden
\(\int_0^P \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \int_0^P \frac{h}{2}\mathrm{d}t \) -> \(\int_0^A 1\mathrm{d}A = \frac{h}{2}\int_0^P 1\mathrm{d}t\)
\(A = \frac{h}{2}P\)
Arealet til en ellipse er \(\pi a b\)
\(P = 2\pi\frac{ab}{h}\)
Vi har s? oml?pstiden, som leder oss mot Keplers tredje lov. Vi kommer til ? introdusere en del formler her som skal lede oss mot det endelige svaret. Oml?pstiden til en ellipse er gitt ved:
\(P = a(1-e^2)\)
\(P = \frac{h^2}{G(m_1+m_2)} \)
Eksentrisiteten er gitt ved:
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
Det blir veldig mye ? m?tte utlede hver eneste formel, men dette er likningen en ville ha f?tt om en hadde lagt et plan gjennom en kjegle; et kjeglesnitt. Disse formlene kan en s? enkelt mikse sammen:
\(P = a(1-(1-\frac{b^2}{a^2})) = \frac{b^2}{a}\)
\(\frac{b^2}{a} = \frac{h^2}{G(m_1+m_2)} \)
\(h= \sqrt{m\frac{b^2}{a}}\)
Vi har s? et nytt uttrykk for \(h\), som er konstant. Vi kan sette dette inn i formelen vi utledet fra kraftmomentet for ? finne oml?pstiden:
\(P = 2\pi\frac{ab}{\sqrt{G(m_1+m_2)\frac{b^2}{a}}}\)
\(P^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}a^3\)
Og s? falt jo svaret rett ut! Skalaren som Kepler manglet foran likningen sin kom fram ved ? analytisk l?se likningen for oml?pstiden. Denne skalaren vil ofte ikke ha s? mye ? si dersom den ene massen var en stjerne. Mellom to planeter derimot vil formelen slutte ? fungere. Dette er fordi skalaren n?rmer seg en n?r massene under blir ganske store.
------------
Men hvorfor g? igjennom alt dette? Jo, det er for ? p?peke feilkilder som kan oppst? ved ? bruke forenklede formler. Ikke bare det, vi kan ogs? sjekke om beregningene vi gj?r i programmet faktisk stemmer.
Aphelion: 7,57275 AU
Perihelion:
Som vi nylig hadde vist, vil et himmellegeme bevege seg og danne like store arealer i ellipsen over en gitt periode.
\(\mathrm{d}A = \frac{r^2\mathrm{d}\theta}{2}\)
Som vi beklageligvis ikke fikk bekreftet ettersom det ble noe kr?ll med koden! S? du f?r vel pr?ve selv.