Disse relasjonene vil bli brukt for ? forenkle regningen litt.
\(\int_{0}^{\infty} xe^{-x}\, dx = 1\) og \(\int_{0}^{\infty} x^{3/2} e^{-x}\, dx = \dfrac{3}{4} \cdot \sqrt{\pi}\) da er vi klare for det f?rste integralet.
F?rste integralet er for ? finne et uttrykk for den midlere farten, alts? gjennomsnittet til en gitt st?rrelse, i dette tilfelle er det for farten gitt en funksjon for fordelingen av verdiene \(P(v)\). Generelt kan dette skrives som \(\langle x \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} x P(x) dx \) s? vi bytter her ut \(x\) med \(v\), \(P\left(v\right) \, dv = \left ( \dfrac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} e^{ - \left ( \dfrac{m v^2}{2 k T}\right)} 4\pi v^2 \, dv\) som er Boltzmanns fordelings funksjon for \(v\), vi vil ogs? sette grensen fra \(0\) for da f?r vi arealet av den delen av grafen vi faktisk er interessert i. Det er ikke det peneste men det er den vi bruker. Vi setter det sammen og f?r f?lgende integral
\(\langle v \rangle = \int_{0}^{\infty} v P\left(v\right) \, dv \Rightarrow \int_{0}^{\infty} v \left ( \dfrac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} e^{ - \left ( \dfrac{m v^2}{2 k T}\right)} 4\pi v^2 \, dv\) , vi vil ogs? bruke substituering der \(u = \dfrac{m v^2}{2 k T} \ og\ u'(v) = \dfrac{m v}{k T}\). Starter med ? forenkle leddene og pr?ve ? f? til s? mange substitusjoner som mulig.
\(\langle v \rangle = \int_{0}^{\infty} \dfrac{m}{2\pi kT} \cdot \sqrt{\dfrac{m}{2\pi kT}} \cdot e^u 4\pi v^3\, \dfrac{du}{u'(v)} \)
\(\langle v \rangle = \dfrac{1}{\pi} \sqrt{\dfrac{m}{2\pi kT}} 4\pi \int_{0}^{\infty} \dfrac{mv^2}{2kT} e^u v \dfrac{du}{\dfrac{mv}{kt}} \), trekker ut konstantene ut fra h?yre side av integrasjons tegnet.
\(\langle v \rangle = 4 \sqrt{\dfrac{m}{2\pi kT}} \int_{0}^{\infty} \dfrac{mv^2}{2kT} \dfrac{kt}{mv}e^u v\, du\)
\(\langle v \rangle = 4 \sqrt{\dfrac{m}{2\pi kT}} \int_{0}^{\infty} \dfrac{mv^2}{2kT} \cdot \dfrac{kt}{m}\cdot e^u\, du\) \(\Rightarrow4 \sqrt{\dfrac{m}{2\pi kT}}\cdot\dfrac{kt}{m} \int_{0}^{\infty} u \cdot e^u\, du\), vi bruker s? det ene integrasjons forholdene gitt i starten og resten burde v?re greit ? skj?nne.
\(\langle v \rangle = \sqrt{4^2} \cdot \sqrt{\dfrac{m}{2\pi kT}}\cdot \sqrt{\left(\dfrac{kt}{m}\right)^2} \int_{0}^{\infty} u \cdot e^u\, du\) \(\Rightarrow \sqrt{16 \cdot \left(\dfrac{kt}{m}\right)^2 \cdot \dfrac{m}{2\pi kT}} \int_{0}^{\infty} u \cdot e^u\, du\)
\(\langle v \rangle = \sqrt{\dfrac{8 kT}{\pi m}} \cdot 1\) \(\Rightarrow \langle v \rangle = \sqrt{\dfrac{8 kT}{\pi m}}\), da er vi i m?l med det f?rste integralet.
Neste integral er for ? finne et uttrykk for forholdet mellom trykk, temperatur og antall partikler i et gitt volum.
\(P = \dfrac{1}{3}\int_{0}^{\infty} pv \cdot n\left(p\right) \, dp \Rightarrow \dfrac{1}{3}\int_{0}^{\infty} pv \cdot nP\left(p\right) \, dp\)
\(u = \dfrac{p^2}{2 mk T} \ og\ u'(v) = \dfrac{p}{mkT}\ husk\ p=mv \Rightarrow v=\dfrac{p}{m}\)
\(P(p)\, dp = \left(\dfrac{1}{2\pi mkT}\right)^{3/2} \cdot e^{ - \left ( \dfrac{m v^2}{2 k T}\right)} 4\pi p^2 \, dp\)
\(P =\dfrac{1}{3} \int_{0}^{\infty}np\dfrac{p}{m}\left( \dfrac{1}{2\pi mkT}\right )^{3/2} \cdot e^{- \left(\dfrac{mv^2}{2mkT}\right)} 4\pi p^2\, dp\)
\(\left( \dfrac{1}{2\pi mkT}\right )^{3/2} = \dfrac{1}{2\pi mkT} \cdot \left( \dfrac{1}{2\pi mkT}\right )^{1/2}\)
\(P =\dfrac{n}{3}\cdot 4\pi \int_{0}^{\infty}\dfrac{1}{m\pi}\cdot \dfrac{p^2}{2mkT} \cdot p \cdot \left( \dfrac{1}{2\pi mkT}\right )^{1/2} \cdot e^{-u} p\, \dfrac{du}{u'(v)}\)
\(P =\dfrac{n}{3}\cdot 4\pi\cdot \dfrac{1}{m\pi\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} u \cdot (p^2)^{1/2} \cdot \left( \dfrac{1}{2 mkT}\right )^{1/2} \cdot e^{-u} p\, \dfrac{du}{\dfrac{p}{mkT}}\)
\(P =\dfrac{n}{3}\cdot 4\cdot \dfrac{1}{m\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} u \cdot u^{1/2} \cdot e^{-u} \cdot mkT\, du\)
\(P =\dfrac{4n}{3}\cdot \dfrac{1}{m\sqrt{\pi}} \cdot mkT \int_{0}^{\infty} u^{3/2} \cdot e^{-u}\, du\)
\(P =\dfrac{4nkT}{3\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} u^{3/2} \cdot e^{-u}\, du \Rightarrow \dfrac{4nkT}{3\sqrt{\pi}}\cdot \dfrac{3\sqrt{\pi}}{4} \Rightarrow P = nkT\)
Siste integral er for den midlere kinetiske energien for partiklene i en gass, av de tre uttrykkene dette ekstra materialet dekker s? er dette uttrykket noe som ble dekket i fysikk 1, eller s? burde det ha v?rt dekket.
\(\langle E \rangle = \dfrac{3}{2}kT \Rightarrow \langle E \rangle = \langle \dfrac{mv^2}{2}\rangle \Rightarrow \dfrac{m}{2} \langle v^2 \rangle \Rightarrow \int_{0}^{\infty} P(v^2) \dfrac{mv^2}{2} dv\)
\(\langle E \rangle = \int_{0}^{\infty} \left(\dfrac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2} \cdot e^{ - \left ( \dfrac{m v^2}{2 k T}\right)} 4\pi v^2 \cdot \dfrac{mv^2}{2} \, dv\)
\(u = \dfrac{mv^2}{2kT}\ og\ u'(v) = \dfrac{mv}{kT}\)
\(\langle E \rangle = \int_{0}^{\infty} \dfrac{m}{2\pi kT}\left(\dfrac{m}{2\pi kT}\right)^{1/2} \cdot e^{-u} \cdot 2 \pi mv^4 \, \dfrac{du}{u'(v)}\)
\(\langle E \rangle = 2\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} \dfrac{mv^2}{2 kT}\left(\dfrac{m}{2kT}\right)^{1/2} (v^2)^{1/2} \cdot e^{-u} \cdot mv \, \dfrac{du}{\dfrac{mv}{kT}}\)
\(\langle E \rangle = \dfrac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} u\left(\dfrac{mv^2}{2kT}\right)^{1/2} \cdot e^{-u} \cdot kT \, du\)
\(\langle E \rangle = \dfrac{2kT}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} u \cdot u^{1/2} \cdot e^{-u}\, du\)
\(\langle E \rangle = \dfrac{2kT}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty} u^{3/2} \cdot e^{-u}\, du \Rightarrow \dfrac{2kT}{\sqrt{\pi}}\cdot \dfrac{3\sqrt{\pi}}{4} \Rightarrow \langle E \rangle = \dfrac{3}{2}kT\)