Vi vet at b?ten har en ukjent posisjon gitt som \((x, y)\) i solsystem-planet. Stjernen i Pjokknes ligger i origo om vi ser p? solsystem-planet, dermed f?r den posisjonen \((0, 0)\). Avstanden mellom stjernen og b?ten kan vi definere som \(r_1\) og skriver dette inn i ligningen for sirkel under:
\(\begin{align}(x - 0)^2 + (y - 0)^2 &= r_0^2 \\ x^2 + y^2 &= r_0^2\end{align}\), den siste likningen her kaller vi for \([L1]\).
Hva er det vi trenger dette for da? Jo, Askeladden trenger ? vite hvor b?ten ligger til enhver tid for ? sikte seg inn p? planetene i solsystemet. I trilaterasjon s? l?ser man tre sirkellikninger og finner to ukjente. Dette vil v?re de to n?rmeste planetene og stjernen i origo. For den n?rmeste planeten vil sirkellikningen se slik ut:
\(\begin{align} (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 &= r_1^2 \\ x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2 &= r_1^2\end{align}\), den siste likningen her kaller vi for \([L2]\).
Askeladden ser videre p? den nest n?rmeste planeten og b?tens posisjon. For denne skriver vi sirkellikningen som den under:
\(\begin{align}(x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 &= r_2^2 \\ x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2 &= r_2^2\end{align}\), den siste likningen her kaller vi for \([L3]\).
Vi vil n? gj?re de tre likningene \(L1, L2, L3\) om til to likninger som l?ser for x- og y-posisjonen til b?ten. Det f?rste vi gj?r er ? trekke \([L2]\) fra \([L1]\) i likningssettet under:
\(\begin{align} x^2 - x^2 + 2xx_1 - x_1^2 + y^2 - y^2 + 2yy_1 - y_1^2 &= r_0^2 - r_1^2 \\ x(2x_1) + y(2y_1) &= r_0^2 - r_1^2 + x_1^2 + y_1^2 \\ xA + yB &= C \end{align}\), her har Askeladden gjort om konstantene til store bokstaver. Om du ikke ser det s? er \(A = 2x_1\), \(B = 2y_1\) og \(C = r_0^2 - r_1^2 + x_1^2 + y_1^2\).
Det neste vi kan gj?re er ? trekke \([L3]\) fra \([L2]\) i likningsettet under:
\(\begin{align} x^2 - x^2 - 2xx_1 + 2xx_2 + x_1^2 - x_2^2 + y^2 - y^2 - 2yy_1 + 2yy_2 + y_1^2 - y_2^2 &= r_1^2 - r_2^2 \\ 2xx_2 - 2xx_1 + 2yy_2 - 2yy_1 &= r_1^2 - r_2^2 - x_1^2 + x_2^2 - y_1^2 + y_2^2 \\ x(2x_2 - 2x_1) + y(2y_2 - 2y_1) &= r_1^2 - r_2^2 - x_1^2 + x_2^2 - y_1^2 + y_2^2 \\ xD + yE &= F \end{align}\), her har Askeladden igjen gjort om de kjente konstantene til store bokstaver. Om du igjen ikke helt klarer ? se hvordan det er gjort s? er \(D = 2x_2 - 2x_1\), \(E = 2y_2 - 2y_1\) og \(F = r_1^2 - r_2^2 - x_1^2 + x_2^2 - y_1^2 + y_2^2\).
Om vi l?ser den f?rste likningen med ABC-konstantene finner vi at x kan vises som:
\(Ax + By = C \rightarrow x = \frac{C - By}{A},\quad y = \frac{C - Ax}{B}\), her har vi bare skrevet om formelen til ? uttrykke x og y.
Det vi kan gj?re n? er ? bytte ut for x i uttrykket med DEF-konstantene. L?ser vi for y i dette uttrykket finner vi en formel for y-posisjonen til b?ten gitt som:
\(\begin{align} D\left(\frac{C - By}{A}\right) + Ey &= F \\ DC - DBy + AEy &= FA \\ y(AE - DB) &= FA - DC \\ y &= \frac{FA - DC}{AE - BD} \end{align}\), denne formelen bruker alle kjente verdier i ABCDEF.konstantene som er definert over.
Vi gj?r akkurat det samme for x-posisjonen til b?ten, bare at vi her bytter ut y i uttrykket:
\(\begin{align} Dx + E\left(\frac{C - Ax}{B}\right) &= F \\ BDx + EC - AEx &= FB \\ x(BD - AE) &= FB - EC \\ x &= \frac{FB - EC}{BD - AE} \end{align}\), samme konstanter her ogs?.
Dette er det Askeladden bruker i simuleringen sin for ? sjekke b?ten sin posisjon.
For ? konvertere fra AU/?r til km/t s? m? man f?rst vite hva en AU er i km og hva ?r er i timer. Vi minner oss selv p? at 1 AU er 149.597.871 km og 1 ?r er 8765.81 timer. Deler vi antallet km p? ?r s? f?r vi at 1 AU/?r er:
\(1 \text{AU/?r} = 149597871 / 8765.81 = 17066.06\) [km/t].
Da Askeladden skulle bruke dette for ? finne hastighetene til b?ten s? ganger han bare de AU/?r hastighetene han har med den definisjonen vi har f?tt over.