Begge to er utstyrt med rekkert av ypperste kvalitet og tennisballen er ikkje ein ball, men eit foton! P? denne tennisturneringa er vi òg invitert, b?de forfattarar og ivrige lesarar, men vi er plassert saman med publikum p? romstasjonen OSS for ? observere hendingane.
- Askeladden og Tuslingen er i referansesystemet \((x', y')\) der Askeladden er i origo. Dei har begge den same konstante hastigheita i retning venstre i h?ve til romstasjonen. Avstanden mellom dei er \(L' = 400km\).
- Vi er i referansesystemet \((x, y)\) i origo.
Askeladden og Tuslingen skal no spele tennis med dette fotonet, og det er Askeladden som byrjar med fotonet. La oss no definere nokre hendingar:
- Hending A n?r \(t = t' = 0\) ved \(x = x' = 0\) der Askeladden sl?r fotonet mot Tuslingen.
- Hending B der fotonet n?r Tuslingen og han sl?r det attende.
- Hending D der fotonet kjem attende til Askeladden etter hending B og han sl?r det mot Tuslingen nok ein gong.
- Hending C der publikum jublar p? romstasjonen, noko som skjer samstundes i \((x', y')\)-systemet med at Tuslingen sl?r fotonet i hending B.
Det vert utveksla mange djupe st?nn fr? begge deltakarane under turneringa, men heldigvis oppheldt vi oss i verdsrommet og kunne difor ikkje h?yre nokon ting.
La oss fyrst samanlikne tida fotonet brukar fr? hending A til B, til tida det brukar fr? hending B til D i \((x', y')\)-systemet. Vi skal alts? samanlikne \(\Delta t'_{AB}\) og \(\Delta t'_{BD}\). Begge skipa er i same referansesystem og avstanden mellom dei forandrar seg ikkje. Og som vi veit s? er ljoshastigheita konstant, sj?lv kor fort du m?tte bevege deg. Vil ikkje d? desse to tidsintervalla vere like? Jau!
Men korleis vil dette sj? ut for oss i publikummet dersom hastigheita til Askeladden og Tuslingen er n?r ljoshastigheita? Korleis vil \(\Delta t_{AB}\) og \(\Delta t_{BD}\) sj? ut? Vi vil ikkje sj? nokon ting fordi dei bevegar seg alt for fort for d?delege auge. Neida. Vi er i eventyrets verd, ikkje gl?ym det. For oss p? romstasjonen s? bevegar Tuslingen seg (s?rs raskt vel ? merkje) mot fotonet som Askeladden sl?r mot ham. N?r Tuslingen sl?r fotonet attende, bevegar Askeladden seg fr? fotonet. Er det ikkje d? opplagt at \(\Delta t_{AB} < \Delta t_{BD}\)? Hugs at hastigheita til ljoset ikkje forandrar seg sj?lv om vi er i eit anna referansesystem.
La oss no sj? p? noko litt meir realistisk. La oss seie at Askeladden og Tuslingen bevegar seg med ei hastigheit p? \(50^{km}/_h\) til venstre i h?ve til romstasjonen, og at fotonet er ein ball som bevegar seg med ei hastigheit p? \(80^{km}/_h\) i h?ve til skipa. Ballen bevegar seg med same hastigheit i h?ve til skipa heile tida.
D? skulle ein vel tru at den same formuleringa som vi brukte over òg gjeld her? At n?r Askeladden sl?r ballen til h?gre, vil den bevege seg mot Tuslingen som vil kome den i m?te. Og n?r Tuslingen sl?r den attende, vil ballen bevege seg mot Askeladden som p? same tid òg bevegar seg bort fr? Tuslingen.
D? gjev det vel meining at ballen vil bruke lenger tid fr? Tuslingen til Askeladden, enn fr? Askeladden til Tuslingen? I praksis hadde vi nok ikkje observert dette grunna dei l?ge hastigheitane.
Kva om vi legg saman hastigheitane til ballen og romskipa? Fr? A til B vil ballen ha ei hastigheit p? \(80^{km}/_h + (-50^{km}/_h) = 30^{km}/_h\), og fr? hending B til D vil ballen ha ei hastigheit p? \(80^{km}/_h + 50^{km}/_h = 130^{km}/_h\).
D? vert det ganske berrsynt at grunn til at ballen brukar mindre tid fr? B til D er fordi den har ei h?gare hastigheit!
Men kva har dette med fotonet og gjere, h?yrer vi dykk skrik ut. N? m? dykk for fysikkens lovar skuld hugse at ljoshastigheita er invariant! Den vil ikkje forandre seg sj?lv om fotonet vert skoten ut av eit skip som allereie har ei hastigheit. Det at fotonet vil bruke mindre tid fr? B til D er grunna lengdekontraksjon.
Og s? har vi denne hending C da.
Tuslingen dreg inn pusten. Han strekkjer ut rekkertarmen og gjer seg klar for fotonet. Plutseleg er det der og Tuslingen sl?r til alt han maktar medan han gjev ut s? brutalt eit st?nn at det sl?r kraftig ut p? gravitasjonsb?lgjedetektoren hj? LIGO. Publikum jublar.
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Alt dette skjer samstundes for Tuslingen, b?de slaget og jubelen (vi antek at jubelen har like stor hastigheit som fotonet). Men skjer det samstundes for oss i publikum p? romstasjonen?
La oss f? inn ein upartisk dommar i denne turneringa. Dommaren er Aurikla Kveitkakulien som er plassert midt mellom hending B og C, med same hastigheit i same retning som Tuslingen. Ho vil d? vere i same referansesystem som skipa og hending B og C vil d? skje samstundes for ho òg. Som vi har nemnt s? m? fotonet fr? Askeladden reise ei kortare distanse for ? n? Tuslingen sidan han bevegar seg i retning venstre for stasjonen. For at hending B og C d? skal hende samstundes for Aurikla, alts? for at ljoset fr? b?de Tuslingen og jubelen fr? publikum skal kome fram til Aurikla samstundes, m? hending B hende f?r C.
Forvirra?
Huffda.
Aurikla bevegar seg mot romstasjonen. Jubelen fr? publikum vil difor ha ei kortare distanse ? reise enn fotonet som kjem fr? Tuslingen. For at dei skal kome fram til Aurikla samstundes, m? fotonet ha hatt ei tidlegare "avreise". Hending B skjer fyrst.
La oss oppsummere og prove!
Alt dett e kan provast ved ? setje opp tidspunkta \(t\), \(t'\) og posisjonane \(x\), \(x'\) for alle hendingane, og fr? der bruke at tidromsintervallet er invariant for ? finne dei ukjende verdiane. Kva meiner vi med det? D? meiner vi at tidromsintervallet \(\Delta s = \Delta t - \Delta x\) er likt i alle referansesystem. Alts? at \(\Delta s = \Delta s'\). Set vi opp desse intervalla mellom kvar hending AB, AC, BC og AD kan vi til slutt finne ut for kva tidspunkt alt skjer i kvart referansesystem. I byrjinga veit vi at
La oss no leggje det vi veit av verdiar inn i tidromsintervalla v?re. D? f?r vi
\(\begin{align*} \Delta s^2_{AB} &= \Delta s'^2_{AB} \\ t_B &= x_B \end{align*}\) \(\begin{align*} \Delta s^2_{AC} &= \Delta s'^2_{AC} \\ t_C &= \sqrt{t'^2_C - x'^2_{C, sek}} \\ &\approx 0.97ms \end{align*}\)
\(\begin{align*} \Delta s^2_{BC} &= \Delta s'^2_{BC} \\ t_B &= \frac{t^2_C + (x'_{C, sek} - x'_{B, sek})^2}{2t_C} \\ &\approx 0.58ms \end{align*}\) \(\begin{align*} \Delta s^2_{AD} &= \Delta s'^2_{AD} \\ t_D &= 2\frac{L'}{c}\frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \\ &\approx 4.39ms \end{align*}\)
Vi har ikkje tenkt ? g? inn p? mellomrekninga her, men det som er viktig ? bite seg merkje i her er at vi m? ha same eining p? alle storleikane. Her har vi gjort at vi m?ler posisjon i sekund. Snodig greie det der. Dersom du er nysjerrig p? mellomrekninga kan du ta ein titt her.
Og n?r vi har rekna ut alt f?r vi det som er vist p? f?lgjande figur:
Her ser vi til slutt at tala st?ttar argumentasjonen v?r om at hending B skjer f?r hending C.
Var ikkje dette morosamt?! La oss g? over til noko anna.
Kjelder:
- /studier/emner/matnat/astro/AST2000/h21/undervisningsmateriell/lecture_notes/part2a.pdf