Sidan vi her ikkje har med ekstremt h?ge eller l?ge temperaturar ? gjere, kan vi forenkle og gjere ei tiln?rming av gassen. Men vent, blir det ikkje veldig varmt i tuten til raketten? Jau, det blir det, men her er det prat om berre 3000 kelvin (forh?pentlegvis) som er slik passe h?g temperatur i kosmisk skala, og ein ideell temperatur for forbrenning av hydrogen.
Vi forventar òg at det er inga interaksjon mellom gasspartiklane, dei kolliderar ikkje med kvarandre, og vi forventar at ein kollisjon med veggen er elastisk som betyr at den kinetiske energien er bevart og kun endrar forteiknet til hastigheitskomponenten som st?r normalt p? veggen. Partiklane er heller ikkje utstrekte, men berre punktpartiklar. Dette gjev oss ein ideell gass.
Og n?r vi n? fyrst snakkar om ideelle gassar s? kjem vi ikkje utanom tilstandslikninga:
\(P = nkT\)
der P er trykk, n er antaltettleik (alts? antal partiklar per volum), k er Boltzmann konstanten og T er temperaturen. Dette er ei likning som trekkjer ein relasjon mellom trykket og tettleiken til ein gass. Utleiinga av denne formelen er litt tidkrevjande dersom ein ikkje har gjort det f?r (sj?lvsagt), og det krevs ein st? hjerne og gode algebrakunnskapar, men for den ivrige lesaren har vi lagt til utleiinga i eit vedlegg her.
Og n?r vi no pratar om trykket til gassen er vi òg n?ydd til ? nemne korleis vi reknar ut dette trykket. Trykk er kraft per areal, ikkje sant? Og denne krafta som blir utf?rt p? arealet kan vi skrive som \(\frac{dp}{dt}\), den tidsderiverte av r?rslemengda der \(p = |\vec{p}| \). Tiln?rmar vi den f?r vi \(\frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2p_x}{\Delta t}\). Men kvar i reine verd kom det to-talet fr??! Den totale endringa i r?rslemengd er \(2p_x\), som er den vi er ute etter. Set vi dette inn i likninga for trykk f?r vi \(P_x = \frac{F}{A} = \frac{2mv_x}{\Delta t A}\). Merk at vi her pratar om ein kollisjon med ein vegg i x-retning som d?me.
Fordi vi forventar ein ideell gass kan vi bruke gaussisk sannsynsfordeling av partiklane. Ei tilfeldig gaussisk fordeling der alts?. Med gaussisk meiner vi uniform. Denne normalfordelinga, som det òg blir kalla, er s?rs viktig i matematikken, det heng saman med noko som heiter sentralgrenseteoremet. Dette skal vi ikkje g? s? mykje inn p? her, men det inneb?r at eit tilfeldig utval av noko, uavhengig av korleis fordelinga av dette "noko" var i utgongspunktet, vil vere normalfordelt slik som kurva p? figuren her.
Skriv inn bildetekst her...
"Dette var d? ein fin graf" tenkjer du sikkert no. Jau, det har du heilt rett i, og her er kvifor! Som vi kan sj? p? denne andre figuren til h?gre her, s? ser vi no noko som liknar p? Hufsa. Augane hennar, den greske bokstaven sigma \(\sigma \), er standardavviket, som seier noko om kor langt fr? gjennomsnittsverdien enkelte verdiar i gjennomsnitt ligg. Gjennomsnitt meg her og gjennomsnitt meg der, kva s? med FWHM? Det st?r for Full Width at Half Maximum, som seier noko om bredden p? kurva ved halve maksimumsgjennomsnittet (den raude streken), som ofte vert kalla \(\mu\). Les vi av FWHM, finn vi \(\sigma\) ved
\(\sigma = \frac{FWHM}{\sqrt{8 \ln2}}\)
Det som er veldig interessant her, og ikkje minst veldig snodig, er at ved normalfordeling, sj?lv kva det handlar om, finn vi alltid ved \(\sigma\), \(2\sigma\) og \(3\sigma\) h?vesvis desse fordelingane: 68%, 95% og 99.7%.
Maxwell-Boltzmann fordeling er noko vi kjem til ? f? veldig godt bruk for. Dette er ei sannsynsfordeling som vert brukt p? r?rslemengd, energi eller hastigheita til partiklane i ein ideell gass. Det er dette vi vil bruke for ? gje partiklane ei initell hastigheit. Vi kjem n? sj?lvsagt ikkje med ei sannsynsfordeling med fint namn utan ? gje dykk ein formel! Ta ein titt p? dette dyret:
\(\begin{align*} P(\vec{v}) &= \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} e^{-\frac{1}{2}\frac{mv^2}{kT}} \end{align*}\)
der k er Boltzmanns konstant, m er partikkelmassa, T er temperaturen i kelvin og v er total hastigheit i alle retninga.
KJELDER
Figur 1: /studier/emner/matnat/astro/AST2000/h21/undervisningsmateriell/lecture_notes/part1a.pdf, http://www.caprino.no/shop/images/movie_dvd3/askeladden1.jpg, samt ei god dose Paint.
Figur 2: Eigen illustrasjon.
Figur 3: https://no.wikipedia.org/wiki/Normalfordeling#/media/Fil:Standard_deviation_diagram.svg
Figur 4: /studier/emner/matnat/astro/AST2000/h21/undervisningsmateriell/lecture_notes/part1a.pdf