I bane om planeten

??? Advarsel ???

I dette innlegget kan det komme en del likninger, som skal gi oss informasjon om ellipsebanen v?r rundt planeten. Dere er dermed advart, og jeg skal selvf?lgelig pr?ve ? forklare s? godt jeg kan hvordan vi resonnerer.

En del viktige likninger

Vi er i bane rundt planeten, men hvor stabil er denne banen? Det er interessant for oss ? vite en god del ting om banen v?r, slik at vi har nok informasjon til n?r vi skal lande. Dette kan for eksempel v?re hvor stor halvaksene v?re er, som forteller oss noe om formen p? banen v?r. Dersom store halvakse er kjempestor, og lille halvakse er kjempeliten (se Figur 1 for eksempel), betyr jo det at vi er i en ganske utstrakt ellipsebane, som betyr at vi vil ha ganske h?y hastighet i n?rheten av planeten (i lille halvakse), og ganske lav hastighet langt unna planeten (i store halvakse).

Egentlig skulle vi funnet verdier for \(v_r,\;v_{\theta},\;\text{og}\;r\), men siden IPA har laget programmet for oss, kan vi tenke at vi allerede har tilgang p? disse verdiene. Forel?pig holder vi det generelt og bruker ingen verdier, kun symboler. Her er en del likninger vi kommer til ? f? bruk for:

\((1)\hspace{1cm}v_r = \frac{x\cdot v_x + y\cdot v_y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\)

\((2)\hspace{1cm}v^2 = v_r^2 + v_{\theta}^2 = v_x^2 + v_y^2 \)

\((3)\hspace{1cm}E_{tot} = \frac{1}{2}\hat{\mu}v^2 - \frac{\hat{\mu}m_g}{r}\),   \(\hat{\mu} = \frac{Mm}{M + m} \approx m,\;\;m_g = G(M + m) \approx GM,\;\text{M >> m}\)

\((4)\hspace{1cm}a = \frac{\hat{\mu}m_g}{2|E_{tot}|} = \frac{GMm}{2|E_{tot}|}\)

\((5)\hspace{1cm}P^2 = \frac{4\pi^2a^3}{G(M + m)} \approx \frac{4\pi^2a^3}{GM}\)

\((6)\hspace{1cm}rv_{\theta} = b\sqrt{\frac{GM}{a}}\)

\((7)\hspace{1cm}e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2},\;\;a>b\)   (husk at hvis \(a<b\) s? er b store halvakse og a lille halvakse og m? bytte plass i likningen)

\((8)\hspace{1cm}r_A = a(1+e)\)    (apoapsis, lengste avstand unna planet)

\((9)\hspace{1cm}r_P = a(1-e)\)    (periapsis, korteste avstand unna planet)

Jeg kommer ikke til ? utlede likningene, og noen av dem b?r dere v?re kjent med fra tidligere innlegg som Planetbaner, Keplers lover, og Sol-dans og planet-vals. Andre likninger her kan det virke som at jeg trekker fra l?se lufta, s? jeg kan si kort hvor de kommer fra.

Den aller f?rste likningen, likning (1) kommer fra ? derivere posisjonsvektoren \(\vec{r}\) i polare koordinater. Dette ligger litt utenfor vgs-niv?, men kan v?re for de spesielt interesserte. Vi kan skrive posisjonen i polare koordinater som \(\vec{r} = r\vec{e}_r\), der b?de avstanden \(r\) og enhetsvektoren \(\vec{e}_r = (\cos\theta(t), \sin\theta(t))\) er funksjoner av tid. Deriverer vi \(\vec{r}\) vil vi f? hastigheten gjennom produktregelen \(\vec{v} = \frac{dr}{dt}\vec{e}_r + r\frac{d\theta}{dt}\vec{e}_{\theta}\) der \(\vec{e}_{\theta} = (-\sin\theta(t), \cos\theta(t))\) er enhetsvektoren i tangentiell retning (kommer fra ? derivere \(\vec{e}_r\)). Vi ser at hastighetskomponenten som g?r i radiell retning er \(v_r = \frac{dr}{dt}\). Vi husker at \(r = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}\), s? for ? f? den radielle komponenten \(v_r \) m? vi derivere denne. Ved ? derivere \(r = \sqrt{x(t)^2 + y(t)^2}\) ender vi opp med \(v_r = \frac{x\cdot v_x + y\cdot v_y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\), som er likning (1).

Likning (4) kommer rett og slett fra den analytiske l?sningen av tolegeme-problemet som du finner i dette innlegget, der vi finner st?rrelsen \(p=a(1-e^2)\). Deriverer vi den analytiske l?sningen og kombinerer det med energilikningen, likning (3), kan vi ogs? finne at st?rrelsen \(p\) ogs? er \(p = \frac{\hat{\mu}m}{2E_{tot}}(e^2 - 1)\). Vi vet at i en ellipsebane s? er \(E_{tot}<0\), s? dermed vil for en ellipse \(p = \frac{\hat{\mu}m}{2E_{tot}}(1-e^2)\), og ved ? sette disse to uttrykkene for \(p \) lik hverandre komme frem til likning (4).

MERK en ting fra likning (8) og (9). Ser vi p? den analytiske l?sningen av tolegeme-systemet kan vi se f?lgende:

\(r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\theta} = \frac{a(1 - e)(1 + e)}{1 + e\cos\theta}\)

Der vi har \(\theta = 0^\circ\) og \(\theta = 180^\circ\) kan vi se at vi f?r 

\(r_P = \frac{a(1 - e)(1 + e)}{1 + e\cos(0)} = \frac{a(1 - e)(1+e)}{1 + e} = a(1-e)\), og f?lgende for

 \(r_A = \frac{a(1 - e)(1 + e)}{1 + e\cos(180)} = \frac{a(1 - e)(1+e)}{1 - e} = a(1+e)\).

Likning (6) kommer fra bevaring av spinn og vis-viva likningen fra forrige innlegg. Ved litt manipulering av vis-viva likningen langs apoapsis og periapsis kan vi komme frem til uttrykket for spinn: \(L = mb\sqrt{\frac{GM}{a}}\). Vi vet at spinn kan skrives som \(L = mh\), der st?rrelsen \(h\) kan skrives \(h = r^2\omega\) der \(\omega\) er vinkelfarten. Vi kjenner ogs? forholdet mellom vinkelfart og tangential fart, \(\omega = \frac{v_{\theta}}{r}\), setter inn i \(h\) og f?r \(h = rv_{\theta}\). Setter vi dette inn for \(L \) kommer vi frem til likning (6). Resten av likningene burde v?re kjente identiteter, og Keplers 3 lov i likning (5).

En full utledning av vis-viva likningen og likning (6) kan du finne p? denne linken her.

Hvordan finner vi st?rrelsene? 

Du skal se n? at rekkef?lgen jeg satte opp likningene tidligere ikke var helt tilfeldig, fordi p? akkurat den m?ten, i samme rekkef?lge, kan vi finne st?rrelsene vi er interessert i ? finne. 

Programmet til IPA gir oss f?lgende informasjon:

• Hastighet \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\) i forhold til planeten
• Posisjon \(\vec{r} = (x, y, z)\) i forhold til planeten
• Tidspunktet \(t\) hastighet og posisjon er m?lt i. 

Vi holder oss kun i xy-planet, s? \(v_z\) og \(z\) er begge forholdsvis 0. V?re verdier er \(\vec{v} = (0, 1961,0) m/s\),  \(\vec{r} = (2861743.6,0,0)m\) og at vi er i tiden \(t=0\). Dette kan f?re til forenklinger, men likningene og prosessen vi gj?r gjelder helt generelt. La oss ta dette stegvis.

Steg 1: Vi starter med likning (1) for ? finne radiell hastighetskomponent \(v_r \). Vi f?r at \(v_r = 0\).

Steg 2: Vi bruker likning (2) til ? finne total fart \(v\) ved ? bruke at \(v^2 = v_x^2 + v_y^2\). Dermed skriver vi om likningen slik at vi kan finne \(v_{\theta}\) ved \(v_{\theta} = \sqrt{v^2 - v_r^2}\). Dermed f?r vi at \(v_{\theta}=1961m/s\).

Steg 3: Vi bruker likning (3) til ? regne ut den totale energien \(E_{tot}\). Verdiene v?re her for \(M\) og \(m\) er da \(M = 1.65\cdot 10^{23}kg\) som er planetens masse og \(m = 1100kg \) som er romskipets masse (kan v?re \(\pm\) drivstoff, men ikke s? mye at vi for store avvik). Vi bruker likning (3) og f?r at v?r totale energi er \(E_{tot} = -2114872820.77J\).

Steg 4: Vi f?lger rekkef?lgen slavisk, og bruker likning (4) n? til ? finne store halvakse, og f?r at store halvakse er \(a = 2861874.895m\).

Steg 5: Nestemann i rekka er Keplers 3 lov fra likning (5), som skal vi oss oml?pstiden rundt planeten, \(P = \sqrt{\frac{4\pi^2a^3}{GM}}\), som spytter ut en verdi \(P = 9170s\), eller sagt p? en greiere m?te, \(P=2.5hr\).

Steg 6: Dette begynner ? bli litt trettende, men vi holder ut. Vi bruker likning (6) og skriver om slik at vi kan l?se for \(b\). Dette gir oss likningen \(b = rv_{\theta}\sqrt{\frac{a}{GM}}\), og husk at \(r = \sqrt{x^2 + y^2} = 2861743.6m\). Da f?r vi at lille halvakse er \(b = 2861874.892m\) (merk at store og lille halvakse er nesten helt like)

Steg 7: Blir da ? finne eksentrisitet i ellipsebanen v?r, ved ? bruke likning (7), \(e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}\) (merk at her har vi a>b). Dette gir oss eksentrisiteten \(e = 4.59\cdot10^{-5}\). 

Steg 8: Dette er endelig det siste steget, og vi skal her bruke likning (8) og (9) til ? bestemme apoapsis og periapsis. Setter vi inn informasjonen vi har samlet s? langt, f?r vi at \(r_A = 2862006.19m\) og \(r_P = 2861743.59m\).

Resultater

S? langt er all informasjonen vi har funnet frem spredt utover 8 steg, s? la meg samle det mest interessante i en oversiktlig tabell:

Basert p? resultatene ligger vi i en rimelig stabil bane. Lengste og minste avstand p? apoapsis og periapsis er ikke spesielt ulike hverandre, som tyder p? at vi ligger i ganske s? lik avstand fra planeten til gitte tidspunkter. Det bekrefter ogs? st?rrelsene p? halvaksene v?re, som ogs? er nesten identiske (helt opp til tredje desimal p? meteren, alts? \(mm\)!). 

Eksentrisiteten v?r er ganske liten, og om du husker det s? betyr \(e = 0\) at man befinner seg i en sirkelbane. Med andre ord ligger vi i en ganske s? n?rt sirkelbane. Resultatene i seg selv kan v?re nok s? trette, s? vi plotter banen v?r rundt planeten for ? ta en sjekk

Med det blanke ?yet kunne vi ikke skilt Figur 2 fra en helt ordin?r sirkel (i alle fall ikke jeg). 

En annen ting jeg ?nsker ? kommentere er at oml?pstiden v?r rundt banen ikke er spesielt lang. Ved f?rste tanke kan man tenke seg at dette m? v?re feil, men da er det fint ? sammenlikne: ISS (International Space Station) bruker omtrentlig 90 minutter, alts? 1.5 time p? en runde rundt jorda. Det er 1 time mindre enn oss! Da ser vi plutselig at svaret v?rt ikke er s? urimelig likevel. N? er planeten vi g?r rundt betraktelig mindre enn jorda (planeten v?r har radius p? 1 862km, jorda har 6 371km), men s? ligger vi tross alt en del h?yere ogs? (vi ligger 2861km over planetens overflate, mens ISS ligger 408km over jordas overflate), s? det er en slags trade-off mellom avstand og st?rrelse her.

N?yaktighet

Her er det ikke s? mye ? ta av, annet enn at jeg valgte ? se bort ifra romskipets masse. Mest p? grunn av at jeg er litt usikker p? hva massen er helt n?yaktig, ?nsket jeg ? bruke romskipets masse minst mulig, siden jeg ofte kunne se bort ifra den da den blir helt ubetydelig sammenliknet med planetens masse uansett (\(1100kg\) opp mot \(1.65\cdot10^{23}kg\), da trenger vi ikke ? bry oss). Svarene hadde selvsagt blitt mer n?yaktige om jeg inkluderte det, men marginalt. 

For ? sjekke hvor konsistente tallene er, kj?rer vi noen runder rundt planeten, og gjentar hele prosessen for ? finne ut. Jeg lar romskipet g? 5 ganger, som tilsvarer en tid \(t = 45850s\), eller omtrent \(13\) timer... Da f?r vi disse resultatene, representert i en liknende tabell: 

som gir oss relative feil mellom denne tabellen og f?rste tabellen: 

Vi ser her at de relative feilene er bittesm?, som betyr at verdiene holder seg stabile. Det er verdt ? kommentere feilen p? den radielle farten \(v_r\): siden den f?rst var \(0\), vil derfor den relative feilen p? denne alltid v?re 1, siden vi alltid f?r \(\frac{|v_{r,1} - v_{r,2}|}{v_{r,2}} = \frac{|v_{r,2}|}{v_{r,2}} = 1.0\). Dermed vil alle feil p? denne vises som h?y relativ feil, selv om forskjellen mellom \(v_r\) skulle bli aldri s? liten. Disse feilene kan komme av sm? numeriske feil, eller feil i simuleringene. Dermed er ikke denne noe vi bekymrer oss for, siden vi vet at verdien vi f?r for \(v_r\) etter 5 oml?p er veldig liten.  

Det viser seg at IPA manglet flere av tallene vi har funnet, og dermed sender vi tallene ned til dem slik at de ogs? kan s?rge for at vi f?r en trygg landing til den tid kommer, s? ikke alt lener seg p? oss. Vi kan dessverre ikke lande helt enda, da det er n?dvendig for oss ? analysere atmosf?ren p? planeten. Dette skal dere f? vite mer om dersom dere leser dere inn p? Del 6! 

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>