Det viser seg at ein ikkje kan bli stoppa for r?k?yring i kosmisk fartskontroll. Sidan ein ikkje har observat?rar plassert ute i vegkanten som kan fortelje kva hastigheita di er, m? man pr?ve ? trekkje slutningar ut i fr? omgjevnadane rundt, alts? ut i fr? stjernehimmelen. Alt ein mottek av informasjon kjem fr? lysstr?linga av stjernene rundt deg. Diverre er det s?rs vanskeleg ? pr?ve ? sj? korleis stjernene beveg seg i forhald til kvarandre for ? finne rakettens hastigheit, men heldigvis har vi enda eit triks vi kan dra nytte av.
Ein eller anna variasjon av bilete over har de sikkert sett tidlegare. For ? ta ein kort oppsummering av dopplereffekten for dei av dykk som har gl?ymd det: b?lgjelengdene som ein lekam i r?rsle sender ut vil for ein observat?r bli oppfatta som enten kortare eller lengre dersom lekamen er p? veg h?vesvis mot eller fr? deg. Dette medf?rer at lyset fr? ei stjerne som er p? veg bort fr? deg er bl?forskuven i forhold til den faktiske b?lgjelengda, medan ei stjerne som beveg seg mot deg vil gje raudforskuven lys.
Det viser seg at ein kan setje opp f?lgjande formel som viser relasjonen mellom den observerte endringa i b?lgjelengd \(\Delta\lambda\), den originale b?lgjelengda \(\lambda\) lysfarten \(c\), og farta eit objekt har mot eller fr? oss \(v_r\).
\(\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{v_r}{c}\)
Denne formelen har de kanskje allereie sett i Fysikk 1. Dette vesle dokumentet her kan vere til god hjelp dersom formelen over verkar ukjent, eller du har lyst ? sj? ei s?t lita utleiing av den.
Formelen for dopplerskift tek utgangspunkt i at man m?lar ein endring i b?lgjelengd. D? kan ein sp?rje seg: endring i forhold til kva? Alt raketten v?r kan sj? rundt seg er stjerner, og stjerner er som vi veit forenkla forklart ?brennande hydrogenklumpar?. D? viser det seg at det kan vere lurt ? studere absorpsjons- og emisjonslinjene (spektrallinjene) til nettopp hydrogen.
?????
Biletet ovanfor viser spektrallinjene til hydrogen for b?lgjelengdene som svarar til synleg lys. Av desse er det ein spektrallinje som skil seg ut som s?rs lett ? observere, nemleg spektrallinja med b?lgjelengd 656,3 nanometer. Kj?rt born har som kjend mange namn, s? denne spektrallinja blir kalla b?e Balmer-alfa, H-alfa, eller rett og slett berre \(H_\alpha\). Her er det viktig ? hugse p? at b?lgjelengda p? 656,3 nm berre geld n?r vi st?r i ro i forhold til str?lingskjelda. La oss tenkje os at vi m?ler \(H_\alpha\) fr? ei stjerne til ? ha b?lgjelengd \(\lambda\) = 657.3 nm, alts? ei ending \(\Delta\lambda\) p? 1 nm = 10-9 m. D? f?r vi gjennom formelen ovanfor at den radielle hastigheita stjerna har i forhold til oss er p?
\(v_r=\frac{c\cdot\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{3\ \cdot \ 10^8 \text{m/s}\ \cdot \ 10^{-9}\text{m}}{653.3\ \cdot\ 10^{-9}\text{m}}\approx4.57\cdot10^5\text{m/s}\)
Vi ser at eit dopplerskift p? ein nanometer svarar til at stjerna har ein hastigheit p? nesten 46000 m/s fr? oss. Av ? sj? p? formelen for dopplerforskuvinga kjem det fram at det store talet for \(v_r\) er den h?ge farta til lys. Det at vi kan h?yre at sirener p? utrykkingsk?yret?y endrar toneh?gd n?r dei k?yrer forbi oss, er fordi at farta til lydb?lgjer gjennom luft er mykje l?gare enn lyshastigheita. P? same vis vil man ikkje greie ? sj? noko til dopplereffekten p? lyset fr? framlyktene til ein bil som k?yrer mot deg, vi har jo sett at vi m? ha veldig h?ge hastigheiter f?r dopplerforskuvinga til lys blir m?lbar.
Det er no p? tide ? kome med ei lita presisering. Ved hjelp av ? sj? p? dopplereffekten fr? ei stjerne s? finn ein berre eit uttrykk for en radielle hastigheita ein har i forhold til den. Dette er komponenten av hastigheitsvektoren som peiker mot eller fr? deg. Ta ein kjapp titt p? figuren under. Sj? for deg at du st?r i midten av ein rundk?yring, og du har ein bil som lynraskt k?yrar i sirkel rundt rundk?yringa. Bilen har ikkje noko bevegelse i radiell retning (mot eller fr? deg), s? avstanden mellom deg og bilen er konstant. Dermed vil du aldri klare ? m?le nokon formar for dopplerskift fr? denne bilen, sj?lv om den heilt klart har ein hastigheit. Vi m? klare ? finne ein m?te ? ogs? m?le den tangentiale hastigheita \(v_\theta\).
For litt sida hadde vi problemet at vi hadde ein ukjend hastigheitskomponent. L?ysninga er ? bruke m?ledata fr? to referansestjerner i staden for ein. D? f?r vi vite den radielle hastigheita fr? to ulike stjerner, og s? lenge dei raketten og dei to stjernene ikkje st?r p? same linje vil vi f? nok informasjon til ? kunne sl? fast hastigheita til Michelle.
Tenkjer ein matematisk p? det her s? er dette tilsvarande til at ein treng minst to likningar for ? l?yse eit problem for to ukjende verdiar (\(v_x\),\(v_y\)). Likedan, hadde vi ikkje vore so heldige at vi hadde hatt eit todimensjonalt solsystem, m?tte vi hatt minimum tre stjerner for ? sl? fast dei tre hastigheitskomponentane \(v_x\), \(v_y\), og \(v_z\).
Her m? vi nesten skyte inn enda ein liten detalj. For oss er det eigentleg ganske s? uinteressant ? vite korleis Michelle beveg seg i forhold til to fjerne referansestjerner. Det som faktisk hadde v?rt nyttig ? vite er kor fort vi beveg oss i forhold til v?r eiga stjerne. Heldigvis for oss viser det seg at dette er lett ? fikse, vi kjem attende til dette seinere.
Lat oss sj? p? korleis situasjonen ser ut no:
Vi f?r oppgitt at stjerne 1 har ein vinkel \(\phi_1\) p? 356.7° p? x-aksen, og at stjerne 2 har vinkel \(\phi_2\) = 227.8° p? x-aksen. Samstundes er Michelle ein eller anna stad ute i solsystemet, men sida stjernene er s? langt unna, reknar vi at vinklane mellom referansestjernene og aksane er dei same b?e for v?r eiga stjerne (Almus) og Michelle.
Dopplerskifta Almus observerer fr? stjerne 1 og stjerne 2 er kjend p? forh?nd og dei held seg tiln?rma konstant medan oppdraget v?rt er i gang. Ut i fr? desse verdiane reknar vi ut den radielle hastigheita \(v_r\) Almus har for kvar stjerne. I tillegg brukar vi kameraet til Michelle til ? finne dopplerskifta (og dermed dei radielle hastigheitene) ho sj?lv observerer til ein kvar tid. D? kan vi lett finne den relative hastigheita Michelle har til Almus ved ? sj? p? forskjellen i observert dopplerskift. Sj? figur under.
No kan vi endeleg finne eit uttrykk for hastigheita til Michelle (den relative hastigheita til Almus). Ved ? stokke litt om p? uttrykket for dopplereffekt finn vi \(\vec v\). Her er \(\lambda_0\)b?lgjelengda til \(H_\alpha\), og \(\Delta\lambda_1\) og \(\Delta\lambda_2\) er kor mykje denne spektrallinja har forskuve seg med m?lingar fr? referansestjerne 1 og referansestjerne 2.
\(\vec v = [\frac{(\Delta\lambda_{1, Almus} - \Delta\lambda_{1, Michelle})\ \cdot \ c}{\lambda_0},\frac{(\Delta\lambda_{2, Almus} - \Delta\lambda_{2, Michelle})\ \cdot \ c}{\lambda_0}]\)
Vi pr?ver oss p? ? kalibrere hastigheitsm?laren til Michelle like etter oppskyting. Dei m?lte linjeskifta til \(H_\alpha\) fr? kvar av referansestjernene for b?e Michelle og Almus er d?:
| \(\Delta\lambda_{1, Almus}\) | \(\Delta\lambda_{1, Michelle}\) | \(\Delta\lambda_{2, Almus}\) | \(\Delta\lambda_{2, Michelle}\) |
|---|---|---|---|
| 0.006376471115nm | -0.020420636586nm | 0.013283865181nm | 0.0854326808939nm |
Desse verdiane innsatt i likninga ovanfor gir
\(\vec v = [ 1.80453945,\ 7.77964792]\), der eininga er AU/?r.
Er vi endeleg i m?l? Ikkje heilt! Det har seg slik at det er en superviktig siste ting vi m? fikse f?r vi kan seie oss n?gde med arbeidet v?rt. Vi har teknisk sett funne ein rett verdi for \(\vec v\), men vi er diverre plassert i feil koordinatsystem! Vi har nemleg ikkje funne \(\vec v = [v_x,v_y]\), men \(\vec v = [v_{\phi_1},v_{\phi_2}]\). Figuren under kan kanskje klare litt opp.
Fartskomponentane vi fant ut at Michelle hadde f?lgjer aksar som tek utgangspunkt i linjene ut til dei to referansestjernene. Sp?rsm?let er: klarer vi da ? f? desse komponentane over til forma \([v_x,v_y]\) som vi allereie kjenner? Ja, det viser seg at for todimensjonale koordinatsystem der aksane er dreia om p?, s? forbinder formlane under komponentar fr? \((\phi_1,\phi_2)\)-koordinatar til \((x,y)\)-koordinatar.
\(v_x = \frac{v_{\phi_1} \sin\phi_2 - v_{\phi_2} \sin\phi_1}{\sin(\phi_2-\phi_1)}\)
\(v_y = \frac{-v_{\phi_1} \cos\phi_2 \ + \ v_{\phi_2} \cos\phi_1}{\sin(\phi_2-\phi_1)}\)
Ovanfor er \(\phi_1\) og \(\phi_2\) kor mange radianar det er mellom kvar av \(\phi\)-aksane og x-aksen. Matematikken bak formlane er ganske tung, s? eg trur vi elegant hoppar over utleiinga av formlane for denne gong, vi bere godtar formlane slik dei er. La oss no finne ut det vi har kjempa for sidan starten av dette innlegget, vi vil ha hastigheita til Michelle. Etter ? ha satt inn verdiar ovanfor f?r vi at
\(\vec v = [v_x, v_y] = [ 1.80453945,\ 7.77964792] \ \text{AU/yr}\)
Dette har tatt sin tid, men no har vi verkt?ya til ? finne ut hastigheita v?r kor enn vi er i solsystemet. Farta ser fornuftig ut s?nn storleiksmessig, men korleis kan vi finne ut om den stemmer? Slik som i det f?rre innlegget har vi k?yrd ein kalibrering av hastigheitsm?laren rett etter oppskytning. Her samanliknar vi hastigheitsverdiane v?re med ein kjend verdi som er rekna ut p? forh?nd. Og gjett kva: akkurat som f?r passerer testene akkurat slik dei skal. Det var visst ikkje so tullete ? sjonglere mellom koordinatsystem likevel.
S?nn heilt til slutt kan eg innr?mme at eg bomma ganske mykje n?r eg teikna dei turkise hastigheitsvektorane til Michelle i figurane ovanfor: dei turkise pilene samsvarar ikkje med den faktiske hastigheita som vi nettopp fann. Fordi eg er litt for lat til ? lage figurane p? nytt, f?r eg berre unnskylde meg med at dette ikkje endrar korleis ein tenkjer for ? komme fram til resultatet. Og det er vel det viktigaste?
Og s?nn heilt heilt til slutt kan vi komme med ein liten statusoppdatering om romferda v?r:
For augeblikket er vi s?nn passe orienterte i verdsrommet. Vi veit korleis vi orienterer Michelle riktig veg, vi veit kor raketten er lokalisert i solsystemet, og vi veit kor fort vi beveg p? oss. For eit par innlegg sida pr?vde vi oss p? ? simulere ferden over til Vicinus p? datamaskinen, men no har vi det vi treng for ? finne ut om vi faktisk har kome fram til rett stad. F?lg med vidare!
Logg inn for ? kommentere