S? hvordan bygger man en rakett? Skal man bygge en rakett er det ganske greit ? forst? hvordan den fungerer. Grunnprinsippet er overraskende enkelt, og du vet kanskje at bevegelsen til en rakett og en oppbl?st ballong som ikke har blitt knyttet igjen fungerer p? fundamentalt samme m?te. Slipper du ballongen, s? flyr den av g?rde. Tenker man at antennelsen av drivstoffet gj?r at det virker krefter som akselerer drivstoff-molekylene, sier den tredje loven til v?r gode venn Newton at det vil virke en like stor motsatt rettet kraft som akselererer raketten. Hvis vi n? klarer ? rette utslippsgassene mot bunnen av raketten, ja da er vi godt p? vei mot m?let om ? f? raketten opp i lufta.
Neste punkt er ? pr?ve ? regne ut akkurat hvor mye en gitt mengde drivstoff akselerer raketten. Vi kan lage en sv?rt enkel modell av raketten v?r, som bare best?r av satelitten, drivstoffet om bord, og forbrenningskammeret. Det er i det sistnevnte stedet at magien skjer: ved ? studere hvordan en gasspartikkel her oppf?rer seg, kan vi kanskje finne ut mer om hvordan raketten fungerer.
For at vi i det hele tatt skal klare ? regne ut noen fornuftige verdier m? vi som vanlig gj?re en del antagelser. Vi lever ikke i en ideell verden (eksempel: se p? situasjonen jeg og William er i), men som oftest kan man late som at den er det, og f? fornuftige resultater selv om det er gjort noen forenklinger. Noen av disse er:
- Drivstoffet vi bruker best?r av ren hydrogengass (\(H_2\))
- Ingen luftmotstand under oppskytning
- Konstant mengde drivstoff brent/utsluppet per tidsintervall
- Vi gassen i forbrenningskammeret oppf?rer seg som en ideell gass.
Det siste punktet inneb?rer at vi ser p? en ideell gass inneb?rer blant annet at kollisjonene til gasspartiklene er fullstendig elastiske (bevaring av kinetisk energi), og at posisjonene og hastighetene til gasspartiklene f?lger visse sannsynlighetsfordelinger. Vanskelig ? f?lge med? Slapp av, vi kommer tilbake til dette senere.
For ? ta det fra starten av, s? blir beregningene v?re enklere av at vi kun ser p? forbrenning av én type gass. Siden hydrogengassmolekylet er s? lett, s? har hydrogengass veldig h?y energitetthet (per kg). Som rakettdrivstoff er det vanligvis reaksjonen mellom flytende hydrogen og flytende oksygen som f?r fart p? en rakett. Vi velger ? se litt mellom fingrene n?r det kommer til oksygenet.
Heldigvis for oss s? har ikke Domum, planeten vi har havnet p?, en atmosf?re. Dette betyr at luftmotstand ikke er noe problem for oss i denne omgang. Dette medf?rer f?rst og fremst at vi sparer en god del drivstoff, men det gj?r ogs? beregningene enklere. I tillegg gj?r den konstante forbrenningen av hydrogengass at vi kan anta at det er en konstant kraft som skyver raketten fremover. Livsmottoet er, kan vi slippe ? gj?re utregningene un?dvendig kompliserte, s? gj?r vi det.
Som oppvarming for pratet om den ideelle gassen kan du n? se for deg at vi endelig har klart ? knyte igjen oppbl?st ballong. Er det slik at vi n? har f?tt ?temmet? den indre lufta ved ? sl? knute p? enden, slik at lufta inni n? st?r i ro? Absolutt ikke! Gassmolekylene i ballongen har en kinetisk energi, og hver eneste br?kdel av et sekund smeller det utallige partikler mot innerveggen p? ballongen. Gummien som ballongen er laget av ?nsker i utgangspunktet ikke v?re i strekt tilstand (du trenger bl.a. en kraft for ? holde en fj?r utstrakt, st?rrelsen p? denne gitt ved Hooks lov), s? ved ? ?ke lufttrykket inni, blir krafta som virker mot innerveggen i ballongen st?rre (husk: trykk er lik kraft per areal).
S?, la oss g? tilbake til forbrenningskammeret i raketten v?r. Ser vi p? en gass som en ideell gass, vil det si at den har bestemte egenskaper. Bevaring av energi er sv?rt viktig her. I rakettene spretter gassmolekylene hele tiden av veggene i forbrenningskammeret, og dette kan vi modellere som elastiske kollisjoner der den kinetiske energien er bevart. Treffer et molekyl en av veggene lar snur vi bare fortegn p? ene fartskomponenten, og s? lar vi molekylet fortsette p? sin glade vei (se figuren under!)
Noe annet som er viktig er at selv om vi har mange gasspartikler, s? er de bittesm? sammenlignet med volumet p? forbrenningskammeret (de ?tar ikke opp plass?), og at de heller ikke reagerer med hverandre. Fordelen med dette er at vi kan se p? hver partikkel hver for seg n?r vi regner ut bevegelsen dens.
F?r vi snakker om den siste sentrale egenskapen til ideelle gasser, er det p? tide ? stoppe opp og sp?rre seg selv et par sp?rsm?l. Hvordan er posisjonen til gasspartiklene fordelt i en beholder? Dersom man ser p? gassen inni en ballong, kan det jo tenkes at det er mer sannsynlig ? finne en partikkel i midten av ballongen enn ute ved veggene. Eller er det som i en heis, der personene gj?r sitt ytterste for ? ikke v?re den ene personen som st?r i midten? Det er dette vi tenker p? n?r vi snakker om sannsynlighetsfordelinger. Si at vi skal studere ett tilfeldig hydrogenmolekyl, er det da mer sannsynlig at den befinner seg et sted fremfor et annet?
Det viser seg at nei, det gj?r de ikke. En ideell gass sprer seg jevnt ut og fyller beholderen sin, det er dette vi kaller uniform sannsynlighetsfordeling. N?r det kommer til hastighetene partiklene beveger seg med derimot, er visa litt forskjellig.
Det viser seg nemlig at hastighetene f?lger en gaussisk fordeling/normalfordeling. Den er beskrevet med en kurve som ser slik ut:
Overraskende mange naturfenomener f?lger en (tiln?rmet) gaussisk fordeling, deriblant h?yde, blodtrykk, ja til og med skost?rrelser gj?r det.
La oss dekomponere hastighetsvektoren \(\vec{v}\) for en gasspartikkel til \(v_x\), \(v_y\) og \(v_z\), da viser det seg at komponentene hver for seg f?lger en sannsynlighetsfordeling som ser ut som den bl? kurven over. Dette medf?rer blant annet at snitthastigheten i b?de x, y, og z-regning er lik 0! Hvordan kan dette stemme? La oss se p? et oppdrettsanlegg for fisk:
Bakgrunnsbilde: http://www.eschooltoday.com/aquaculture/images/open-net-pen-aquaculture-system.jpg / eSchoolToday
Anta at hastighetene til hver fisk er fordelt p? samme m?te. Da m? det v?re like mange fisk som sv?mmer med hastighet 1m/s i positiv x-retning som antall fisk med hastighet 1m/s i negativ retning. Hadde snitthastigheten for alle fiskene v?rt noe annet enn null (over tid), s? hadde jo alle sammen f?r eller siden v?rt stuck p? ved kanten og stanget inn nettet som holder dem inne (dette er det samme som at gauss-kurven har sitt toppunkt for v=0). Det normalfordelingen ogs? forteller oss er at det er flere fisk som har hastighet n?r gjennomsnittet enn hyperaktiv fisk som svinser rundt i full fart.
M?t Espen. Han er en av mange mange milliarder hydrogenmolekyl i forbrenningskammeret til raketten, og for ?yeblikket spretter han rundt i forbrenningskammeret og venter p? at han skal treffe dysen som slipper han rundt i rommet. Fordi vi tenker at den totale bevegelsesmengden er bevart, s? vil Espen bidra til ? dytte raketten fremover bittelitt n?r han suser ut bak.
For ? se p? bevegelsen til Espen fra et tidspunkt 
trenger vi ? vite b?de hastigheten og posisjonen til partikkelen i ?yeblikket vi starter ? studere han. Fordi verken jeg eller William har lyst ? st? med m?leb?nd og stoppeklokke inni forbrenningskammeret under oppskytning, f?r vi her virkelig nytte for statistisk fysikk. Fremgangsm?ten er enkel:
- Vi har fire bokser: tre fylt med tilfeldige hastigheter for hver komponent og én boks fylt med mulige posisjoner.
- Lukk ?ynene dine
- Velg ut en tilfeldig verdi fra hver boks.
Voila! Du har informasjonen n? du trenger for ? simulere en enkelt partikkel. Med startbetingelsene i boks, kan vi f?lge bevegelsen til Espen rundt i boksa. I 2D ser det kanskje slik ut:
??
Aiai, n? snakker vi. N? kan vi finne ut hvor stor kraft denne partikkelen skyver p? boksen. Bare en liten hake – selv om Espen kan bevege seg flere tusen meter i sekundet, s? klarer han ikke ? akselerere raketten noe s?rlig. Hvorfor det? Det har med at Espen veier s? lite: bare \(3.35\cdot 10^{-27}\) Kg. Vi trenger faktisk trilliarder av Espen-er for ? klare ? f? raketten opp i rommet! Det blir sinnsykt mange bokser med tilfeldige verdier ? velge mellom, ikke minst vil det ta um?telig lang tid ? holde styr p? n?r hver enkelt partikkel kommer seg ut av raketten. Vi har ikke nok gr?papirruller og leve?r igjen til ? regne ut bevegelsen til ? alle partiklene i en rakett for h?nd. Kanskje pc-en vi har i sekken kan komme til nytte?
...phew, dette ble et veldig langt blogginnlegg, s? vi h?per at dere fortsatt henger med! Om det er noe som er uklart eller noe dere lurer p?, er det bare ? legge igjen en kommentar under. Vi setter stor pris p? tilbakemeldinger :)
Logg inn for ? kommentere