Logg #030 (Dato: ???)

N? skal vi se for oss at vi st?r i et tyngdefelt og vi skal m?le hvor lang tid perioden til en laserstr?le som har reist uendelig langt unna observat?ren v?r som st?r p? et skall i et tyngdefelt s? vi ser for oss at vi st?r p? et skall som noen praktisk nok har laget rundt et sort hull. Skallet er langt nok unna til at vi ikke blir most og gjort om til suppe av tyngdeaksellerasjonen.

Vi ser for oss to fotoner som beveger seg radielt ut fra denne massen, den ene forlater laserpekeren en viss tid \(\Delta t_{skall}\) f?r den andre. N? skal vi finne ut av hvordan denne tiden utvikler seg etterhvert som fotonene vil bevege seg ut av tyngdefeltet. S? det vi ser for oss er at en klokke tikker hver gang et foton forlater laserpekeren. S? da vet vi at tidsrommet mellom to eventer vil v?re annerledes for en langtvekk observat?r enn for observat?ren p? skallet. S? da skal vi se litt p? hvor lang tid dette kommer til ? ta for langtvekk observat?ren. Ser vi p? formen for Schwarzschildgeometri (\(\Delta s^2 = (1-\frac{2M}{r})\Delta t^2 -\frac{\Delta r^2}{(1-\frac{2M}{r})} - r^2 \phi^2 \)) n?r det kun er endringer i tid s? f?r vi at at \(\Delta s^2 = (1-(\frac{2M}{r}))\Delta t^2 \) Da har vi jo at tidromsavstanden for en langtvekkobservat?r som st?r stille er da bare avstanden i tid. Og det gir mening siden det ikke er bevegelse i r eller vinkel for hverken skall eller langtvekk observat?r. 

Da f?r vi at tiden mellom b?lgetoppene eller fotonene da er gitt ved; \(\Delta t_{shell}^2 = (1-\frac{2M}{r})\cdot \Delta t^2 \) da gir enkel regning videre. Tiden for en langtvekk observat?r er gitt ved: 

\(\Delta t = \frac{\Delta t_{shell}}{(1-\frac{2M}{R})^{\frac{1}{2}}}\)

Dermed har vi tidsforskjellen for en langtvekkobservat?r. S? skal vi se p? hva dette gj?r med b?lgelengden til lyset? For langtvekk observat?ren og for skallobservat?ren som m?ler b?lgelengde s? vil dette v?re som at det er to hendeleser som skjer n?rme i tid og rom, da gjelder vanlig Lorentz geometri. Da har vi at lyshastigheten vil m?les til ? v?re en og frekvens ganget med med b?lgelengde. Da har vi alt vi trenger for ? finne denne b?lgelengden. 

For r verdier mye st?rre enn 2M s? forsvinner de fleste leddene og vi sitter igjen med lorentzgeometri skrevet om til kulekoordinater. Da f?r vi ogs? at det er radiusen som dominerer uttrykket. Og siden da tyngdefeltet til massen ikke har noe p?virkning lenger s? vil endring i b?lgelengde v?re lik 0 dermed er det ogs? slik at denne endringen er gitt ved M delt p? r. 

Hvis vi ?nsker ? se p? frekvensen som langtvekkobservat?ren ser eller observerer s? kan vi ganske enkelt bare begynne ? se p? loven for hvordan b?lgefart er avhengig av hastighet og frekvens, vi vet at de to eventene som er at to b?lgetopper treffer observar?ren er n?rme i tid og rom dermed kan vi si at Lorentzgeometri gjelder og da vet vi at lyshastigheten er konstant. Noe som ikke gjelder generelt for GR. 

Det var alt for denne gang.

-LSE Marius