Ved ? analysere lysfluksen fra atmosf?ren fant vi at den midlere molekyl?rmassen er \(\mu = 17.13\text{ g/mol}\). Vi vet ogs? at den gjennomsnittelige overflatetemperaturen er \(T_0 = 337 \text{ K}\), og at tettheten til atmosf?ren p? overflaten er \(\rho_0 = 8.961836008492114??\text{ kg/m}^3\).
F?rst m? vi igjen gj?re forenklende antagelser. Vi tiln?rmer atmosf?ren som en ideell gass, alts? at trykket proporsjonalt med tetthet og temperatur. Vi antar at atmosf?ren er i hydrostatisk likevekt, s? trykket akkurat motvirker tyngdekraften. Til slutt antar vi at atmosf?ren er radielt symmetrisk, det vil si at tettheten og temperaturen kun avhenger av avstanden fra planetens sentrum. Dette er situasjonen man vi f? dersom atmosf?ren er ideell og planeten er en perfekt kule med konstant overflatetemperatur.
En gass er adiabatisk dersom temperaturen kan endre seg i gassen uten at den endrer seg i omgivelsene. I en slik gass er \(p^{1-\gamma} T^{\gamma} %= \text{konstant}\) konstant. En gass der temperaturen ikke endrer seg kalles isotermal.
Vi modellerte atmosf?ren som adiabatisk med \(\gamma = 1.4\) fra overflaten opp til \(T = T_0/2\), og som isotermal ellers.
Hittil har vi brukt numeriske metoder for ? lage modeller av raketten og av solsystemet. For atmosf?ren valgte vi ? lage en analytisk modell. Antagelsene v?re gir oss to likninger som vi kan kombinere med likningene for en adiabatisk eller isotermal gass. Disse er likningen for ideelle gasser \(p = nkT\), og likningen for hydrostatisk likevekt \(\frac{\text{d}p}{\text{d}r} = -\rho g\) , der \(p\) er trykk, \(T\) er temperatur, \(n\) er partikkeltetthet, \(\rho\) er massetetthet, \(g\) er tyngdeakselerasjonen, \(r\) er avstanden fra sentrum og \(k\) er Stefan-Boltzmanns kontant.
For den adiabatiske delen m?tte vi dermed l?se likningssystemet
\(\begin{align*} \frac{\text{d}p}{\text{d}r} &= -\rho g \\ p &= nkT = \frac{\rho RT}{\mu} \text{?der $R = kN_A$} \\ p^{1-\gamma}T^{\gamma} &=\text{konstant} \end{align*}\)
L?sningen er \(T = T_0-\frac{\gamma-1}{\gamma} \frac{\mu g}{R}(r-r_0)\) og \(\rho = \rho_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{1/(\gamma-1)}\).
For den isotermale delen l?ses de to f?rste likningene med konstant \(T\), og man f?r
\(\rho = \rho_0\text{e}^{-\frac{\mu g}{RT_0}(r-r_0)}\), der \(\rho_0\) og \(T_0\) er henholdsvis tetthet og temperatur der den isotermale delen begynner.
Den endelige modellen for atmosf?ren er vist p? figuren. Man ser at det er en 'knekk' i b?de temperaturen og tettheten ved \(T = T_0/2\), der atmosf?ren g?r fra ? v?re adiabatisk til ? v?re isotermal. Uttrykket for den isotermale tettheten g?r mot null n?r h?yden ?ker, men blir aldri lik null. Ved 100 km h?yde er tettheten 0.0297 kg/m3.
N? har vi det vi trenger for ? simulere nedstigningen og landingen, men f?r vi gj?r det skal vi finne et passende sted ? lande.