Vi ser opp mot stjernehimmelen og undrer. Hvilke stjerner har planeter? Er det noen som ligner p? Hjemplaneten? Hva kan vi finne ut om disse planetene? Planeter som g?r rundt andre stjerner enn v?r egen kallen ekstrasolare planeter, og man kan faktisk se at en stjerne har planeter, og noen ganger til og med hva slags planeter den har, kun ved ? se p? lyset vi f?r fra den.
Teorien
N?r vi ser p? stjerner, selv med kraftige teleskoper, dekker de lite av synsfeltet. Oppl?sningsevnen til et teleskop m?ler hvor stor vinkelen mellom to objekter, sett fra teleskopet, m? v?re for ? kunne skille mellom dem.
Avstanden mellom en stjerne og en planet er nesten alltid alt for liten til at det er mulig ? se planeten direkte. Heldigvis finnes det andre m?ter ? oppdage ekstrasolare planeter p?. Jeg beskriver situasjoner der en stjerne kun har én planet i bane. Det er de samme metodene som brukes for flere planeter, bare at beregningene selvf?lgelig blir mer kompliserte.
Hastighetskurven
Hvis planeten er stor nok kan vi se at den er der p? grunn av effekten den har p? stjernen. I et system med en stjerne og en planet g?r begge to i bane rundt et felles massesenter. Hvis man tenker seg en tynn, massel?s stav mellom planeten og stjernen, er massesenteret balansepunktet til alt sammen. Siden stjernen er s? mye mer massiv enn planeten er massesenteret nesten alltid inne i stjernen, men hvis planeten er stor nok er det likevel langt nok unna sentrum til at man kan se bevegelsen til stjernen, takket v?re Doppler-effekten.
Doppler-effekten beskriver hvordan b?lger blir klemt sammen hvis kilden beveger seg mot deg, og blir strukket ut hvis den beveger seg bort fra deg. Det er det som skjer med lydb?lgene fra bilmotorer, s? de h?res lysere ut n?r bilen kommer mot deg, og dypere etter at bilen har kj?rt forbi. Ved ? se p? b?lgelengden til lyset vi f?r fra stjernen kan vi se hvor fort den beveger seg bort fra oss eller mot oss.
Avhengig av inklinasjonen \(i\) til solsystemet vil stjernen bevege seg mye eller lite bort fra oss.
Doppler-effekten gir oss alts? bare hastigheten til stjernen langs synsretningen, kalt radiell hastighet (\(v_{r*}\)). Bevegelsen i andre retninger er stort sett alt for liten til at vi kan se den. Solsystemet man ser p? beveger seg som oftest ogs?, s? den hastigheten man m?ler er summen av den radielle hastigheten til stjernen og den radielle hastigheten til solsystemet, kalt pekuli?rhastighet fra engelsk "peculiar velocity". Jo mindre inklinasjonen er, jo mindre ser \(v_{r*}\) ut. Dessverre kan har vi ingen teknikk for ? m?le inklinasjonen, s? vi kan bare gi et minimum for den radielle hastigheten, ved ? anta at inklinasjonen er 90° som vist p? figuren under. Det betyr ogs? at en stjerne godt kan ha planeter i bane uten at vi kan se det. Ved ? bruke Keplers tredje lov kan man utlede en formel for massen til planeten: \(m_\text{P} = v_{\text{r}*}\left(\frac{m_*^2p}{2π\text{G}}\right)^{1/3}\). Siden man bare har en minimum for \(v_{\text{r}*}\) kan man bare finne et minimum for \(m_\text{P}\).
Lyskurven
Dersom solsystemet man ser p? er orientert med \(i\approx90°\) kan man i tillegg se at planeten g?r foran stjernen. Selv en stor planet er alt for liten til ? kunne lage noe som likner en form?rkelse, men vi kan m?le at vi f?r litt mindre lys fra stjernen n?r planeten er foran. Vi f?r det som kalles en lyskurve. Tiden planeten bruker p? ? g? foran stjernen kan brukes til ? beregne radius til planeten og til stjernen.
N?r vi har radius og masse til en planet kan vi regne ut tettheten og finne ut hva slags planet det er. Gassplaneter har tetthet p? mellom 0.7 og 1.7 ganger tettheten til vann, mens steinplaneter har tetthet p? fire til fem ganger tettheten til vann.
St?y
Hittil har jeg bare skrevet om fine, glatte kurver, men i virkeligheten er det aldri det man har. I observasjoner er det alltid en del st?y, som kommer blant annet fra m?leinstrumentene og fra atmosf?ren. Den observerte hastigheten blir da \(v^\text{obs}(t) = v_\text{real}(t)+\delta v(t)\), der \(v_\text{real}(t)\) er den faktiske hastigheten og \(\delta v(t)\) er st?yen. F?r man kan begynne ? gj?re beregninger m? denne st?yen fjernes fra m?lingene. Figuren under viser hvordan en m?lt hastighetskurve kan se ut, med den virkelige kurven tegnet inn opp?.
Hvordan kan man fjerne st?yen fra en slik m?ling? Det viser seg at st?yen er omtrent gaussisk fordelt. Det vil si at hvis man tar alle de forskjellige verdiene av \(\delta v(t)\) og ser p? hvor mange ganger hver verdi dukker opp, f?r man noe som likner p? dette:
Man vet med andre ord hvordan \(\delta v(t)\) sannsynligvis ser ut. Derfra kan man g? baklengs og finne den ekte hastighetskurven \(v_\text{real}(t)\) som mest sannsynlig gir den \(v^\text{obs}(t)\) man har m?lt. Problemet n?r man regner med sannsynligheter er at selv om en l?sning er den mest sannsynlige betyr ikke det at den er riktig. Det er derfor helt n?dvendig ? gj?re flere m?linger for ? finne riktig svar.
Analysering av m?lte hastighetskurver
Min oppgave var ? skrive et program som behandler dataene fra m?linger av radiell hastighet og beregner et minimum for massen til planeten. F?rste steg var ? beregne pekuli?rhastigheten. Her tar jeg ganske enkelt gjennomsnittet av alle hastighetsm?lingene. Denne metoden virker bra n?r m?lingene er gjort over mange perioder, ellers m? det et menneske til for ? s?rge for at dataene g?r over et ca. heltalls antall perioder. Deretter justeres hastighetskurven s? pekuli?rhastigheten blir satt lik null, og man f?r hastighetskurven til stjernen rundt massesenteret.
S? skal programmet finne den hastighetskurven som gj?r det mest sannsynlig ? f? den st?yen vi observerer. Her tester programmet en rekke kombinasjoner av \(v_\text{r}^\text{B} , p \) og \(t_0\) i formelen for hastighetskurven og regner ut sannsynligheten for ? f? de dataene vi har gitt det. S? bruker det de verdiene som gir st?rst sannsynlighet i formelen for massen til planeten.
Jeg testet programmet ved ? simulere bevegelsen til v?r egen stjerne med bare Hjemplaneten i bane. Selve simuleringen er nesten helt lik den vi brukte for ? simulere planetbanene, bare at stjernen og planeten beveger seg rundt massesenteret, i stedet for at planetene beveger seg rundt stjernen. Jeg m?lte hastighetskurven for \(i=90°\) i simuleringen, la p? tilfeldig gaussisk st?y, og ga den til programmet. Jeg fikk tilbake en masse p? \(7.899\cdot10^{-6}\text{M}_\odot\) som er litt mindre enn den egentlige massen p? \(7.959\cdot10^{-6}\text{M}_\odot\). Her vises behovet for ? gj?re flere m?linger for ? f? en n?yaktig verdi.
Programmet ble ogs? testet p? stjernen n?rmest oss, som har en planet som vi kan se direkte. Her ga programmet \(1.548\cdot10^{-6}\text{M}_\odot \), mens den egentlige massen er \(1.537\cdot10^{-6}\text{M}_\odot \). Her ogs? ville nok flere m?linger ha gitt en mer n?yaktig verdi.