Analyse av atmosf?ren

For ? kunne begynne ? planlegge landingen trenger vi ? vite hvor stor luftmotstand landeren vil m?te p? veien ned. Derfor m? vi finne komposisjonen til atmosf?ren. 

Vi begynner med ? gj?re noen antagelser. Vi antar at komposisjonen til atmosf?ren er den samme uavhengig av h?yden. Vi antar ogs? at de forskjellige gassene vi ser finnes i like store mengder. Dette er grove antagelser, men tatt i betraktning presisjonen til utstyret v?rt ¨C som bare registrerer gasser det er relativt mye av ¨C og at vi bare ?nsker et estimat, ikke n?yaktige verdier, kan vi likevel bruke dem. Antagelsene gj?r beregningene mye enklere.

For ? finne ut hvilke gasser som utgj?r atmosf?ren m?ler sonden fluksen til lys med b?lgelengder mellom 600nm og 3000nm. Hver gass har sine spektrallinjer som man burde kunne se i den m?lte lysfluksen. Det er imidlertid flere utfordringer med h?ndteringen av dataene vi f?r fra fluksmeteret.

For det f?rste beveger atmosf?ren seg i forhold til sonden. Det betyr at vi f?r dopplerskift i spektrallinjene, og siden vi ikke vet hva hastighetsforskjellen er kan vi heller ikke beregne dopplerskiftet. Vi kan likevel si med stor trygghet at forskjellen ikke er p? mer enn 10 km/s. Vi f?r dermed et uttrykk for maksimum dopplerskift: \(\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{v}{c} \Leftrightarrow \Delta\lambda_\text{max} = \frac{v_\text{max}}{c}\lambda_0 = \frac{1}{3}10^{-4}\lambda_0\). Vi kan ogs? anta at hastigheten til atmosf?ren er omtrent konstant. 

For det andre avhenger spektrallinjene av temperaturen, og den kjenner vi heller ikke, men igjen kan vi anta at den er omtrent den samme for alle gassene.

For det tredje er det mye st?y i m?lingene, og ikke alle datapunktene er like presise. Heldigvis er st?yen gaussisk fordelt, og m?lingene inkluderer standardavviket til st?yen for hvert datapunkt. 

Vi skal bruke en metode som kalles \(\chi^2\)-minimering, som g?r ut p? at man lager en modell for fenomenet, tester den for en rekke forskjellige kombinasjoner av parametre og finner den kombinasjonen som mest sannsynlig gir den st?ykurven man har m?lt. 

Matematisk m? vi minimere \(\chi^2 = \sum\limits_\lambda\frac{(F^\text{modell}-F^\text{data})^2}{\sigma^2(\lambda)}\), der \(F^\text{modell} \) er modellen av fluksen, \(F^\text{data}\) er den m?lte fluksen og \(\sigma\) er standardavviket til m?lingen.

Hadde alle partiklene i gassen hatt samme hastighet ville en modellen av en spektrallinje bare v?rt et fall i fluksen for ¨¦n frekvens, men gasspartiklene beveger seg, s? vi bruker en gaussisk kurve som modell for spektrallinjene. N?r temperaturen ?ker beveger gasspartiklene seg raskere, s? bredden p? spektrallinjen ?ker.

Her er det viktig ? huske p? at \(\sigma\)-en som inng?r i \(F^\text{modell}\) ikke er den samme som \(\sigma(\lambda)\) i \(\chi^2\). Den f?rste kommer fra bevegelsen til gassen og avhenger av temperatur, mens den andre kommer fra usikkerheten til fluksmeteret og er forskjellig for hvert m?lepunkt.

Parametrene i modellen v?r er alts? minimumspunktet \(F_\text{min}\) til spektrallinjen, b?lgelengden \(\lambda_0\) til spektrallinjen og temperaturen til gassen.  

Vi skrev et program som minimerer \(\chi^2\) for hver eneste spektrallinje vi ?nsker ? teste for, vist i tabellen til venstre. Programmet vil da foresl? parametre for en potensiell spektrallinje i dataene for hver av de mulige. S? er det opp til oss ? g? gjennom disse forslagene manuelt for ? se hvilke som er sannsynlige, hvilke som passer sammen og til slutt bestemme hva som er ekte spektrallinjer og hva som bare er st?y. Fluksdataene er normaliserte slik at man forventer en verdi p? 1 der det ikke er noen spektrallinjer. Der det er spektrallinjer vil fluksen v?re mindre, men ikke under 0,7. 

For ? finne ut hvile forslag som stemmer brukte vi at jo lavere minimumspunktet er, jo mer sannsynlig er spektrallinjen, og at temperaturen og dopplerskiftet b?r v?re omtrent likt for alle gassene. Vi fant at de tre gule radene sannsynligvis er ekte spektrallinjer, s? atmosf?ren best?r av dioksygen og vann.   

Dette gir et estimat p? hva atmosf?ren sannsynligvis best?r av, men som dere ser fra tabellen er det langt fra ?penbart at det er disse tre spektrallinjene som er de riktige. For eksempel valgte vi ? ikke ta med den nederste spektrallinjen for metan fordi forskjellen i dopplerskiftet er for stor, men den er ikke s? stor at det umulig kan v?re st?y. 

Vi kan n? regne ut midlere molekyl?rmasse til atmosf?ren, det vil si den gjennomsnittelige massen til en mol ¨C alts? \(N_A \approx 6.02\cdot10^{23}\) ¨C molekyler.  Denne betegnes ved \(\mu\) og blir med v?re antagelser \(\mu = \frac{m_\text{O$_2$} + m_\text{H$_2$O}}{2}\cdot N_A = 17.13\text{ g/mol}\). Vi skal bruke denne verdien for ? beregne tettheten til atmosf?ren.