N?r man ser p? stjernene i universet oppdager man at mange stjerner likner p? hverandre. Siden det er finnes stjerner i alle faser av utviklingen – fra f?dsel til d?d – kan vi si hvordan en stjerne har utviklet seg og vil utvikle seg ved ? se p? andre stjerner i andre stadier i utviklingen.
Det er vanlig ? klassifisere stjerner i et Hertzsprung-Russell diagram, forkortet HR-diagram. P? x-aksen vises temperaturen til stjernen, og p? y-aksen vises luminositeten.
Luminositeten til en stjerne sier hvor mye energi den sender ut per tidsenhet. I SI-enheter angis den i \(\text{W} = \text{J}\cdot\text{s}^{-1}\), men i HR-diagrammer er det vanligere ? oppgi den i \(\text{L}_\odot\), som er luminositeten til Solen. Luminositeten til en stjerne med radius \(R\) og temperatur \(T \) finnes ved \(L = 4\pi R^2\sigma T^4\), der \(\sigma\) er Stefan-Boltzmann's konstant.
Stjernen v?r har temperatur p? \(3\ 639\text{ K}\) og radius p? \(321\ 254\ 042\text{ m}\), som gir den en luminositet p? \(1{,}289\cdot10^{25}\text{?W} = 0.03350 \text{ L}_\odot\). Under er den plassert i HR-diagrammet:
Prikkene p? HR-diagrammet viser fordelingen til stjernene i Universet. Diagonalen kalles hovedserien, og de fleste stjerner befinner seg der. Vi kan se at v?r stjerne har lav temperatur og luminositet, den befinner seg i nedre del av hovedserien.
Stjerner blir ikke v?rende p? samme sted i HR-diagrammet fra de blir f?dt til de d?r. Under det meste av levetiden holdes hovedseriestjernene i hydrostatisk likevekt ved at trykket fra fusjon av Hydrogen til Helium i kjernen motvirker tyngdekraften. Til slutt vil det ikke v?re nokk Hydrogen til ? holde reaksjonen g?ende, og stjernen forlater hovedserien. Vi skal se p? detaljene av hva som skjer senere.
Vi skal n? finne levealderen til stjernen, det vil si hvor lenge den blir v?rende i hovedserien f?r Hydrogenet i kjernen er brukt opp. Her bruker vi mange veldig grove tiln?rminger, men resultatet stemmer overraskende godt med observasjonene. Vi antar at luminositeten er den samme hele tiden stjernen er i hovedserien, og at energien bare overf?res ved str?ling – det vil si ikke ved konveksjon eller ledning.
Levetiden til stjernen avhenger av hvor mye energi den produserer i l?pet av livet og hvor fort denne energien sendes ut, alts? luminositeten. Stjernen produserer energi ved ? fusjonere hydrogen til helium, og jo st?rre masse den har, jo mer hydrogen har den ? fusjonere. S? den totale energien en stjerne kan produsere er proporsjonal med stjernens masse. Hvor fort sendes denne energien ut? Det avhenger igjen av hvor fort den produseres og hvor lang tid den bruker p? ? slippe ut av stjernen. Energien skapes av fusjonsreaksjonene i kjernen og beveger seg utover i form av str?ling. Denne str?lingen treffer gasspartikler p? veien ut og blir reflektert i alle retninger, slik at jo st?rre og jo tettere stjernen er, jo lenger tid bruker den p? ? komme seg ut. Fusjonsreaksjonene skjer oftere ved h?ye temperaturer, og det skjer flere av dem i stjerner med st?rre volum. Hvis vi tiln?rmer gassen som en ideell gass i hydrostatisk likevekt med konstant tetthet viser det seg at luminositeten avhenger av massen ved \(L\propto M^\beta\), der \(\beta\approx3\) for massive stjerner, og \(\beta\approx 4\) for sm? og mellomstore stjerner. Til slutt f?r vi at \(t_\text{life}\propto\frac{1}{M^3}\).
Vi kan bruke denne proporsjonaliteten til ? bestemme hvor lenge v?r stjerne blir p? hovedserien. Vi m? bare finne proporsjonalitetskonstanten. Solen er forventet ? leve p? hovedserien i \(10^{10}\) ?r, s? hvis vi angir massen til v?r stjerne i solmasser f?r vi \(t_\text{life} = 10^{10}\frac{1}{0{,}386^3} = 174\!\cdot\!10^{11}\text{?yr}\). Stjernen v? vil alts? bli p? hovedserien i \(174\!\cdot\!10^2\) milliarder ?r.
For sm? og mellomstore stjerner i hovedserien er \(L\propto M^4\) og \(M\propto T^2\). Vi kan sammenlikne forholdet mellom masse og temperatur og mellom masse og luminositet med en annen stjerne som vi vet er en typisk hovedseriestjerne, nemlig solen. Vi f?r at
\(\begin{align} \frac{M_\odot}{T_\odot^2} &= \frac{1\text{ M}_\odot}{(5778\text{ K})^2} = 2{,}995\cdot10^{-8}\text{?M$_\odot$/K$^{2}$} & \frac{M_\odot^4}{L_\odot} &= 1\text{ M$_\odot^4$/L$_\odot$} \\ \frac{M_*}{T_*^2} &= \frac{0{,}3861\text{ M}_\odot}{(3639\text{ K})^2} = 2{,}916\cdot10^{-8}\text{?M$_\odot$/K$^{2}$} & \frac{M_*^4}{L_*} &= \frac{(0{,}3861\text{ M}_\odot)^4}{0{,}03350\text{?L}_\odot} = 0{,}634\text{ M$_\odot^4$/L$_\odot$} \end{align}\)
Vi ser at forholdet mellom masse og temperatur er ganske likt for begge stjernene, mens v?r stjerne har h?yere luminositet i forhold til massen enn det hovedseriestjerner vanligvis skal ha.
Vi skal n? se p? hvordan stjernen v?r ble til. En stjerne begynner som en molekyl?r sky med lav temperatur. Denne kalles for GMC, fra engelsk "giant molecular cloud". Tyngdekraften trekker den sammen slik at den blir sf?risk, og dersom massen er stor nok vil skyen kollapse til en stjerne. Supernovaeksplosjoner skaper sjokkb?lger som kan f? slike skyer til ? kollapse selv om massen er for liten, men heretter ser vi p? skyer som kollapser av seg selv.
Partiklene i GMC-en har kinetisk energi, som gir et trykk som dytter partiklene fra hverandre. For at skyen skal kollapse og danne en stjerne m? tyngdekraften v?re st?rre enn trykket utover. En sky er i likevekt dersom
\(\langle K\rangle = -\frac{1}{2}\langle U\rangle\), der \(\langle K\rangle\) er midlet av kinetisk energi og \(\langle U\rangle\) er midlet av potensiell energi.
For at tyngdekraften skal vinne m? dermed \(2\langle K\rangle < |\langle U\rangle|\). Dersom man antar at tettheten er den samme overalt i skyen kan man l?se for radien til skyen og finne
\(R < \sqrt{\frac{15kT}{4\pi G\mu m_H\bar{\rho}}} = R_J\),
som kalles Jeans-radien. Her er \(k\) Boltzmanns konstant, \(T\) temperatur, \(G\) er gravitasjonskonstanten, \(\mu = \frac{\bar{m}}{m_H}\) er midlere molekylvekt, \(m_H\) er massen til et hydrogenatom og \(\bar{\rho}\) er den gjennomsnittelige tettheten. Antagelsen om at tettheten er konstant stemmer ikke i praksis, men det har vist seg at svaret man f?r stemmer godt med observasjoner likevel.
Vi kan bruke dette uttrykket til ? finne den maksimale radien GMC-en som dannet v?r stjerne kan ha hatt. Vi antar at stjernen v? ble dannet fra en GMC med temperatur \(10\text{ K}\) og best?ende av 75% hydrogen og 25% helium, s? \(\mu = 1{,}743\). Vi antar ogs? at den kollapset av seg selv, uten hjelp fra sjokkb?lger fra supernovaer. Vi kjenner massen til stjernen, s? vi skriver \(\bar{\rho} = \frac{M_*}{\frac{4}{3}\pi R^3}\) og setter det inn i uttrykket for Jeans-radien. Vi f?r da
\(R < \left(\frac{15kT\frac{4}{3}\pi R^3}{4\pi G\mu m_H M_*}\right)^{1/2} = \left(\frac{5kTR^3}{G\mu m_HM_*}\right)^{1/2} \Leftrightarrow R^{-1/2} < \left(\frac{5kT}{G\mu m_HM_*}\right)^{1/2} \Leftrightarrow R < \frac{G\mu m_HM_*}{5kT}\)
Ved ? sette inn verdiene fikk vi at v?r GMC hadde en radius p? maksimalt \(2{,}165\cdot10^{14}\text{ m} = 200{?}6\text{?lh (lystimer)}\).
Selv om en slik GMC har lav temperatur gj?r st?rrelsen at den har h?y luminositet. Hvis skyen som dannet v?r stjerne var rett under den maksimale st?rrelsen hadde den en luminositet p? \(L = 4\pi R^2\sigma T^4 = 3{,}340\cdot10^{26}\text{?W} = 0{,}87\text{ L}_\odot\). Vi plasserer den p? HR-diagrammet:
