For et objekt som beveger seg i et tyngdefelt kan man definere en impaktparameter \(b\) som bestemmer bevegelsen til objektet. Impaktparameteren defineres n?r objektet er s? langt unna massen at tyngdefeltet er neglisjerbart. Den er avstanden mellom to parallelle linjer der den ene g?r gjennom objektet parallellt med hastigheten og den andre g?r gjennom sentrum av massen. Basert p? impaktparameteren kan man beregne et potensial for bevegelsen.
For fotoner gir impaktparameteren opphav til bevegelseslikninger
\(\begin{align} \frac{\text{d}r}{\text{d}t} &= \pm\left(1-\frac{2M}{r}\right)\sqrt{1-\left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{b^2}{r^2}} \\ \frac{r\text{d}\phi}{\text{d}t} &= \pm\frac{b}{r}\left(1-\frac{2M}{r}\right) \\ \end{align}\)
Ved ? bruke at tidromsintervaller er de samme for alle observat?rer kan vi finne et uttrykk for hastigheten som skallobservat?ren m?ler. Vi tenker oss at begge observat?rer gj?r to m?linger av posisjonen til et foton med tidsintervall \(\text{d}t\) og \(\text{d}t_\text{shell}\). De vil da m?le en avstand i rom p? \(\text{d}r\) og \(\text{d}r_\text{shell}\). Siden skallobservat?ren befinner seg tiln?rmet p? samme sted som fotonet i begge m?lingene kan skallobservat?ren bruke lorentzgeometri. Vi f?r da:
\(\begin{align} \text{d} s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\text{d} t^2 - \frac{\text{d} r^2}{1-\frac{2M}{r}} - r^2\text{d}\phi^2 = \text{d}t_\text{shell}^2 - \text{d}r_\text{shell}^2-r^2\text{d}\phi^2 = \text{d}s_\text{shell}^2 \\ \end{align}\)
som gir \(\frac{dr_\text{shell}^2}{dt_\text{shell}^2} = 1 - \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{b^2}{r^2} \quad\Leftrightarrow \quad \frac{1}{b^2}\left(\frac{dr_\text{shell}}{dt_\text{shell}}\right)^2 = \frac{1}{b^2} - \frac{1-\frac{2M}{r}}{r^2}\)
Detter uttrykket kan skives som \(A= B\left(\frac{\text{d}r_\text{shell}}{\text{d}t_\text{shell}}\right)^2 + V_\text{eff}(r)^2\) med \(A = B= \frac{1}{b^2}\) og \(V_\text{eff}(r) = \sqrt{\frac{1-\frac{2M}{r}}{r^2}} = \frac{1}{r}\sqrt{1-\frac{2M}{r}}\). Vi kan dermed definere et effektivt potensial for lys basert p? skallhastighet. Det fine med ? ha et potensial er at intuisjonen vi har for hvordan noe sklir nedover overf?res direkte til potensialet. Formen p? potensialet er analog med et relieff der tyngdekraften virker nedover. Potensialet vi fant for lys er skisset i figuren under.
En stabil bane rundt en masse har alltid en st?rste og en minste avstand fra massen. For en sirkelbane er avstanden, det vil si \(r\), konstant. For ellipser varierer den mellom den store og den lille halvaksen. Vi ser i potensialet for lys at det ikke eksisterer noe omr?de der \(r\) kan variere mellom to verdier. Det eneste likevektspunktet er \(r_\text{crit}\), men det er er ustabilt, s? lyset kan ikke blir v?rene i den avstanden. Enten s? vil det komme litt lenger unna og unnslippe tyngdefeltet, eller s? vil det komme litt n?rmere og falle inn i det sorte hullet.