Vi tenker oss et legeme med posisjon \((t,r,\phi)\) i Schwarzschild-koordinater rundt et sort hull med masse \(M\). For ? beskrive hvordan dette legemet vil bevege seg ?nsker vi ? finne den nye posisjonen etter en tid \(\Delta\tau\) m?lt i legemets system, alts? egentiden.
For et objekt i et tyngdefelt definerer man relativistisk energi per masse som \(\frac{E}{m} = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau}\). Dette er en bevart st?rrelse som er veldig nyttig n?r man regner p? bevegelser i generell relativitet. Hvis \(\Delta\tau\) ikke er for stor kan vi tiln?rme bevegelsen som line?r over tidsintervallet. Da kan vi skrive \(\frac{E}{m} = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\frac{\Delta t}{\Delta\tau}\), eller \(\Delta t = \frac{E/m}{1-\frac{2M}{r}}\Delta\tau\).
Vi har skrevet \((E/m)\) over br?kstreken fordi man ofte kjenner \((E/m)\) selv om man ikke kjenner de to st?rrelsene separat. Det er med andre ord mest praktisk ? behandle \((E/m)\) som én st?rrelse.
En annen nyttig bevart st?rrelse i Schwartzschild-geometri er spinn per masse, definert som \(\frac{L}{m} = r^2\frac{\text{d}\phi}{\text{d}\tau}\). Ved igjen ? anta en line?r bevegelse over en kort egentid f?r vi \(\Delta\phi = \frac{L/m}{r^2}\Delta\tau\).
Til slutt skal vi bruke tidromsintervallet til ? finne den radielle forflytningen. Vi har
\(\Delta\tau^2 = \Delta s^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 - \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}\Delta r^2 - r^2\Delta\phi^2\)
Setter vi inn uttrykkene for \(\Delta\phi\) og \(\Delta t\) f?r vi
\(\Delta\tau^2 = \frac{(E/m)^2}{1-\frac{2M}{r}}\Delta\tau^2 - \frac{1}{1-\frac{2M}{r}}\Delta r^2 - \left(\frac{L/m}{r}\right)^2\Delta\tau^2\), som l?ses for \(\Delta r\) og blir
\(\Delta r^2 = \left[ \left(\frac{E}{m}\right)^2- \left(1 + \left(\frac{L/m}{r}\right)^2\right)\left(1-\frac{2M}{r}\right) \right]\Delta\tau^2\)
For ? oppsumere: Et legeme som starter i en posisjon \((t,r,\phi)\) i Schwarzschild-koordinater rundt et sort hull med masse \(M\), vil etter en tid \(\Delta\tau\) m?lt p? dets egen klokke ha en ny posisjon i Schwarzschild-koordinater gitt vet \((t\!+\!\Delta t, r\!+\!\Delta r,\phi\!+\!\Delta\phi)\), der
\(\begin{cases} \Delta t &= \frac{E/m}{1-\frac{2M}{r}}\Delta\tau\\ \Delta r&= \pm\sqrt{ \left(\frac{E}{m}\right)^2- \left[1 + \left(\frac{L/m}{r}\right)^2\right]\left(1-\frac{2M}{r}\right)}\;\Delta\tau\\ \Delta\phi &= \frac{L/m}{r^2}\Delta\tau \end{cases}\)
Fortegnet til den radielle komponenten avhenger av bevegelsesretningen.