Vi skal se p? bevegelsen til et objekt som passerer gjennom tre punkter ved tidene \(t_1, t_2\) og \(t_3\) som vist p? figuren. Vi kjenner posisjonen til punkt 1 og 3, og avstanden fra sentrum til punkt 2. Vi antar at avstanden mellom punktene er s? liten at radien mellom punkt 1 og 2 er konstant lik \(r_A\), og at radien mellom punkt 2 og 3 er konstant lik \(r_B\).
Vi skal se p? egentiden til objektet fra punkt 1 til punkt 3. Vi vet at tidromsavstanden mellom to hendelser er lik egentiden mellom dem, s? vi f?r:
\(\begin{align} \Delta \tau_{13}?&= \tau_3-\tau_1 = \Delta \tau_{12}?+ \Delta\tau_{23}?= \Delta s_{12}?+ \Delta s_{23} \\ &= \sqrt{\left(1-\frac{2M}{r_A}\right)\Delta t_{12}^2 -\frac{\Delta r^2_{12}}{1-\frac{2M}{r_A}} - r_A^2\Delta\phi^2_{12}} + \sqrt{\left(1-\frac{2M}{r_B}\right)\Delta t_{23}^2 -\frac{\Delta r^2_{23}}{1-\frac{2M}{r_B}} - r_B^2\Delta\phi^2_{23}} \end{align}\)
Prinsippet om maksimal aldring sier at dersom det ikke virker ytre krefter – og husk at gravitasjon ikke regnes som en kraft i generell relativitetsteori, men som en b?yning av tidrommet – vil et objekt alltid bevege seg slik at egentiden er st?rst mulig. Det virker ingen ytre krefter i v?r situasjon, s? \(\phi_2\) vil v?re slik at \(\Delta \tau_{13}\) er st?rst mulig. I stedet for ? finne \(\phi_2\) skal vi finne \(\Delta\phi_{12}\) siden den allerede st?r i uttrykket for \(\Delta \tau_{13}\). Vi kan skrive \(\Delta\phi_{23}?= \Delta\phi_{13}-\Delta\phi_{12} \), slik at \(\Delta\phi_{12}\) blir den eneste ukjente i uttrykket for \(\Delta \tau_{13}\). Vi m? alts? finne \(\Delta\phi_{12}\) slik at \(\Delta \tau_{13}\) blir st?rst mulig. Matematisk betyr det at \(\frac{\text{d}\Delta\tau_{13}}{\text{d}\Delta\phi_{12}} = 0\). For ? unng? ? skrive kjempestore uttrykk skriver vi de to r?ttene i uttrykket som henholdsvis \(\Delta\tau_{12}\) og \(\Delta\tau_{23}\).
\(\begin{align} \frac{\text{d}\Delta\tau_{13}}{\text{d}\Delta\phi_{12}} &= \frac{\text{d}}{\text{d}\Delta\phi_{12}}\Delta\tau_{12} + \frac{\text{d}}{\text{d}\Delta\phi_{12}}\Delta\tau_{23} = \frac{1}{2\Delta\tau_{12}}(-2r_A^2\Delta\phi_{12}) + \frac{1}{2\Delta\tau_{23}}(-2r_B^2)(\Delta\phi_{12} -\Delta\phi_{13}) = 0 \\ \\ r_A^2\frac{\Delta\phi_{12}}{\Delta\tau_{12}} &= r_B^2\frac{\Delta\phi_{13}-\Delta\phi_{12}}{\Delta\tau_{23}} = r_B^2\frac{\Delta\phi_{23}}{\Delta\tau_{23}}\\ \end{align}\)
N?r avstanden mellom punktene g?r mot null blir begge sider av likningen til \(r^2\frac{\text{d}\phi}{\text{d}\tau}\), som betyr at denne st?rrelsen er bevart.
Dette uttrykket kan omskrives som
\(r^2\frac{\text{d}\phi}{\text{d}\tau} = r^2\frac{\text{d}\phi}{\text{d}\tau}\frac{\text{d}t}{\text{d}t} = r^2\frac{\text{d}\phi}{\text{d}t}\frac{\text{d}t}{\text{d}\tau} = r^2\frac{v_{\phi\text{,shell}}}{r}\gamma_\text{shell} = \gamma_\text{shell}rv_{\phi\text{,shell}}\).
For lave hastigheter blir \(\gamma_\text{shell}\approx1\), og man finner igjen det klassiske uttrykket for spinn per masse: \(\frac{L}{m}?= \frac{I\omega}{m} = \frac{mr^2v_\phi}{mr} = rv_\phi\). Akkurat som med energi og bevegelsesmengde er det en relativistisk st?rrelse som egentlig er bevart, men vi finner igjen de klassiske bevaringslovene for lave hastigheter.