N?r man gj?r beregninger i generell relativitet skiller man mellom tre typer observat?rer. En langt-vekk-observat?r antas ? befinne seg utenfor tyngdefeltet man ser p?, og gj?r observasjoner p? hele systemet med Schwarschild-geometri. De to andre observat?rene gj?r bare observasjoner av hendelser som skjer i deres posisjon. En skallobservat?r befinner seg p? et 'skall' en bestemt avstand fra massens sentrum, og en fritt fallende observat?r er i fritt fall mot sentrum av massen.
I spesiell relativitetsteori brukte vi Lorentz-geometri for ? definere tidromsintervallet. I generell relativitetsteori bruker man Schwarzschild-geometri, som definerer tidromsintervallet som
\(\Delta S^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{1-\frac{2M}{r}} - r^2\Delta\phi^2\), der \((r,\phi)\) er posisjon i polarkoordinater. Schwarzschild-geometri gjelder bare for langt-vekk-observat?ren. De to andre observat?rene gj?r observasjoner i lokale inertialsystem, og bruker Lorentz-geometri, der polarkoordinater gir \(\Delta S^2 = \Delta t^2-\Delta r^2 - r^2\Delta\phi^2\). Et system regnes som et lokalt inertialsystem n?r hendelsene skjer over et kort tidsintervall og i samme posisjon som observat?ren.
Vi tenker oss at en skallobservat?r p? skall \(r\) sender en laser med b?lgelengde \(\lambda_\text{shell}\) utover, bort fra den sentrale massen. Vi kan velge \(\Delta t_\text{shell}\) til ? v?re tiden mellom to b?lgetopper i laseren som blir sendt ut, og \(\Delta t\) til ? v?re tiden mellom to b?lgetopper i laseren som langt-vekk-observat?ren ser. Begge b?lgetoppene er p? samme sted, s? tidromsavstanden mellom dem er tidskomponenten i begge systemene. Vi velger ? se p? b?lgetoppene der de blir sendt ut, slik at skallobservat?ren m?ler egentiden. P? den m?ten kan vi finne et uttrykk for tidromsavstanden i skallsystemet: \(\Delta S_\text{shell}?= \Delta \tau = \Delta t_\text{shell}\).
Ved ? bruke at tidromsintervallet mellom to hendelser er det samme i alle referansesystemer f?r vi
\(\Delta S^2 = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 = \Delta t_\text{shell}^2 = \Delta S_\text{shell}^2 \) som gir \(\Delta t = \frac{\Delta t_\text{shell}}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}}\).
Siden laseren beveger seg med lyshastighet – alts? 1 – blir b?lgelengden det samme som tidsintervallet. Vi f?r dermed at \(\frac{\Delta \lambda}{\lambda_\text{shell}} = \frac{\lambda-\lambda_\text{shell}}{\lambda_\text{shell}} = \frac{\Delta t-\Delta t_\text{shell}}{\Delta t_\text{shell}} = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2M}{r}}} - 1 \).
I situasjoner der \(r >> 2M\), som for eksempel p? overflaten til en planet, observerer vi ikke at b?lgelengden endrer seg med h?yden. Vi kan bruke en 1. ordens Taylorutviklig av \(f(x) = (1-x)^{-1/2} - 1\) rundt \(x = \frac{2M}{r} \approx 0\) for ? f? et uttrykk for dopplerskiftet i slike tilfeller:
\(T_0(f(x)) = f(0) + \frac{\text{d}f}{\text{d}x}(0) \cdot (x-0) = 0+ \frac{1}{2}x = \frac{M}{r}\). Vi ser at n?r \(r\) blir stor nok i forhold til \(M\) g?r dopplerskiftet mot null, som stemmer med observasjonene.
N?r man st?r p? en planet og ser p? lyset fra solen vil b?lgelengden forandres b?de av massen til solen og massen til planeten. Massen til solen skaper en r?dforskyvning av lyset som sendes ut, mens massen til planeten bl?forskyver lyset som kommer inn. Regner man ut forskyvningene for Solen og Jorden f?r man imidlertid at st?rrelsesordenen er p? henholdsvis 10-12 m og 10-16 m, s? fargen p? solen forblir den samme.
Det trengs mye st?rre masser for ? f? en lysforskyvning som kan observeres. Dette finner man i quasarer, som er antatt ? v?re varm gass som roterer rundt og faller inn i et sort hull. Vi har observert en spektrallinje fra gassen med b?lgelengde \(\lambda = 2150\text { nm}\), som n?r vi m?ler den i laboratorie har b?lgelengde \(\lambda = 600\text{ nm}\). Vi har sett at vi kan se bort fra bl?forskyvningen fra jorden, ved ? sette \(\lambda_\text{shell} = 2150\text{ nm}\) og \(\lambda = 600\text{ nm}\) f?r man ut \(r = 2.169M\). Radien \(r = 2M\) kalles Schwarzschild-radien. Her bryter uttrykket v?rt for lysforskyvning sammen, fordi lyset ikke slipper ut i det hele tatt. Dette er et sort hull, og faktum at radien til quasaren er s? n?r \(2M\) st?tter hypotesen om at quasarer har et sort hull i midten.
Dersom vi tenker oss en skallobservat?r med \(r = 2.01M \) vil synlig lys (400nm – 700nm) bli bl?forskj?vet til mellom 30nm og 53nm, som er ekstrem ultrafiolett.