Paradokset
Vi tenker oss f?lgende situasjon: To planeter P1 og P2 som ikke beveger seg i forhold til hverandre, avstanden mellom dem m?lt fra deres system er 200 ly. En astronaut a1 reiser fra P1 til P2 og tilbake med hastighet \(v = 0.99 c\). Hendelse A er at a1 drar fra P1, og hendelse B er at a1 kommer til P2. Vi setter \(x_{A} = x'_{A} = 0\) og \(t_A = t'_A = 0\). Astronauten sitt koordinatsystem er merket.
Vi bruker tidsdilatasjon for ? finne tiden reisen tar i de to systemene.
\(\begin{align*} \Delta t_{AB} = \frac{200\text{ ly}}{0.99 c} &= 202\text{ yr} & \Delta t'_{AB} = \Delta t_{AB}\cdot\frac{1}{\gamma} &= 28.5\text{ yr}\\ \Delta t_\text{ABA} = 2\cdot \Delta t_{AB} &= 404 \text{ yr} & \Delta t'_{ABA} = 2\cdot\Delta t'_{AB} &= 57\text{ yr} \end{align*} \)
N? skal vi bytte om p? koordinatsystemene og gj?re de samme beregningene, bortsett fra at koordinatsystemet til planetene er merket. Vi gj?r dette for ? f? fram paradokset, etterp? vil planetsystemet alltid v?re umerket. Fra a1 sitt synspunkt er det planetene som beveger seg med \(v = 0.99 c\) hendelse A at P1 drar fra a1 og B er at P2 kommer til a1.
Vi vet allerede at reisen tok 28.5 ?r i a1 sitt system. Tidsdilatasjon gir da at:
\(\begin{align*} \Delta t_{AB} &= 28.5\text{ yr} & \Delta t'_{AB} = \Delta t_{AB}\cdot\frac{1}{\gamma} &= 4\text{ yr}\\ \Delta t_\text{tot} = 2\cdot \Delta t_{AB} &= 57 \text{ yr} & \Delta t'_{tot} = 2\cdot\Delta t'_{AB} &= 8\text{ yr} \end{align*} \)
Dette er paradokset. Vi regnet f?rst ut at det har g?tt 404 ?r p? P1 n?r a1 kommer tilbake, men n? regnet vi ut at bare 8 ?r har g?tt. Her er noe ?penbart feil, et eller annet sted har vi antatt noe som ikke stemmer.
Den gale antakelsen er at dette er en helt symmetrisk situasjon. a1 beveger seg nemlig ikke med konstant hastighet. Dette er ?penbart siden P1 og a1 f?rst beveger seg fra hverandre og s? m?tes igjen. Det som skjer er at n?r a1 kommer til P2 og snur, blir a1 utsatt for en akselerasjon som planetene ikke blir utsatt for. Man kan selvf?lgelig tenke seg en situasjon der det er planetene som utsettes for en akselerasjon, eller der begge blir akselerert, dette er imidlertid helt andre situasjoner, so det er helt naturlig ? finne forskjellige svar.
Eksperimentet
Vi har ikke tid til ? sende ut et romskip og vente mange ?r p? at det skal komme tilbake, og man skal lete lenge for ? finne to planeter som ikke st?r stille i forhold til hverandre. I stedet har vi sendt ut tre satellitter som skal ha rollen som P1, P2 og P3. Disse satellittene er utstyrt med automatisk navigasjon slik at de ikke beveger seg i forhold til hverandre. Satellittene vil sende ut sm? romskip som gjenskaper situasjonen i tvillingparadokset. Klokkene er justert slik at de m?ler ett ?r p? én dag. Vi har dermed en skalamodell av situasjonen vi beskriver.
L?sningen av tvillingparadokset
Vi skal n? se p? hva som skjer n?r a1 akselererer, og hvordan det l?ser paradokset. Vi begynner med ? legge til en planet P3 slik at P2 ligger midt mellom P1 og P3. Hvis vi tenker oss at selve akselerasjonen skjer over infinitesimalt tidsintervall kan vi betrakte den som at a1 hopper fra systemet (') som beveger seg fra P1 til P3, og over til et annet system ('') som beveger seg fra P3 til P1. Vi tenker oss ogs? at det g?r en kolonne r' med romskip fra P1 til P3, slik at de er i ro i ('), og en kolonne r" med romskip romskip fra P3 til P1, slik at de er i ro i (")
Vi definerer en ny hendelse B': Samtidig i (') med at a1 hopper fra r' til r'' er et annet romskip i r' rett ved siden av P1 og sender ut et signal. B' skjer alts? i samme posisjon som P1, og samtidig med B i (').
Vi kan n? bruke Lorentz transformasjoner for ? finne
\(\begin{align*} t_B = \Delta t_{AB} &= \frac{L_0}{v} & t_B' &= \frac{t_B}{\gamma} \\ x_{B'} &= 0 & x'_{B'} = -L_0' &= -\frac{L_0}{\gamma} \end{align*}\) \(t_{B'}?= \frac{t'_{B'}}{\gamma} = \frac{t'_B}{\gamma} = \frac{t_B}{\gamma^2} = \frac{L_0}{v} - L_0v = 4\text{ yr}\)
Alts?, n?r a1 kommer fram til P2 i (') har det g?tt 28.5 ?r i ('), men bare 4 ?r i planetsystemet (p). Dette er det samme resultatet som vi kom frem til da vi snudde om p? merkingen, dette bekrefter at det ikke var beregningene som var feil, men v?r tolkning av dem. Merk at a1 enn? ikke har kommet fram til P2 i (p).
Vi kan gj?re det samme for en hendelse B'', som vi definerer p? samme m?te som B' bare at romskipet rett ved siden av P1 er i r''. Da f?r man \(t_{B''}=400\text{ yr}\), alts? 4 ?r f?r a1 kommer tilbake i (p). Det vil si at a1 observerer at det g?r 4 ?r p? P1 i l?pet av tilbakereisen, som igjen stemmer med de f?rste beregningene.
For ? oppsummere de to perspektivene:
P1 ser at a1 bruker 202 ?r til P2 og 202 ?r tilbake, s? 404 ?r har g?tt. De ser ogs? at tiden g?r saktere for a1, slik at a1 bare eldes 28.5 ?r hver vei, og opplever at reisen tok 57 ?r.
a1 ser at P1 bruker 28.5 ?r p? reisen bort fra a1 og 28.5 ?r tilbake, s? 57 ?r har g?tt. a1 ser ogs? at tiden g?r saktere p? P1 slik at kun 4 ?r har g?tt n?r P1 er lengst unna. S?, akkurat i det ?yeblikket P1 snur g?r det 396 ?r p? P1, mens bare en br?kdel av ett sekund har g?tt for a1. P? tilbakeveien g?r ogs? tiden saktere p? P1, s? mens a1 bruker 28.5 ?r g?r bare 4 ?r p? P1, og det har totalt g?tt 404 ?r p? P1. 4 den ene veien, 396 under akselerasjonen og 4 den andre veien.
Over s? vi p? akselerasjonen som et ?yeblikkelig bytte av referansesystemer. Dette er ?penbart ikke riktig: akselerasjonen skjer kontinuerlig over et tidsintervall. Vi skal n? anta at a1 begynner ? akselerere ved P2 med en konstant negativ akselerasjon \(g\) i (p). Ved tid \(t_\text{vendepunkt}\), m?lt i (p), er hastigheten til a1 null og romskipet snur, dette kaller vi for hendelse E. Akselerasjonen fortsetter helt til a1 har kommet tilbake til P2, s? reisene mellom P1 og P2 blir de samme som f?r.
Tiden som g?r fra akselerasjonen begynner til a1 stopper opp er finnes ved \(|v_0/g|\), der \(v_0\) er hastigheten n?r a1 begynner ? akselerere. Siden a1 kommer til P2 ved tid \(t_B\) er \(t_\text{vendepunkt} = t_B + |v_0/g| = t_B - v_0/g\).
Vi skal se p? hvordan tiden g?r for a1 under akselerasjonen. Vi velger hendelser Y og Y' som er analoge med B og B', og som kan skje n?r som helst under akselerasjonen. Med andre ord: ved en tid \(t_Y\) skjer Y i posisjonen til a1, og Y' skjer samtidig i a1 sitt system, men ved posisjonen til P1. Vi f?r
\(\begin{align*} x_Y &= \iint\limits_{t_B}^t g \text{ d}t = L_0 + v_0(t-t_B) + \frac{1}{2}g(t-t_B)^2 & x'_Y &= 0\\ t_Y &= t_Y & t'_Y &= t'_Y \\ x_{Y'} &= 0 & x'_{Y'} & =\frac{x_Y}{\gamma (t_Y)}\\ t_{Y'} &= t_{Y'} & t'_{Y'} &=t'_{Y} \end{align*}\)
der \(\gamma(t_Y)\) er verdien til \(\gamma\) med hastigheten til a1 ved tid \(t_Y\), alts? \(\gamma(t_Y) = \frac{1}{\sqrt{1-v(t_Y)^2}}\).
Ved ? bruke at tidromsintervallene \(\Delta S_{YY'}^2\) og \(\Delta S_{YY'}'^2\) er like, og at man skal kunne sette \(Y = B\) og \(Y' = B'\), finner man at \(t_{Y'} = t_Y - x_Y\cdot v(t_Y)\).
N? som vi har uttrykkene kan vi begynne ? sette inn tall. Vi antar at \(g = -0.1 \text{m/s}^2 = -0.1/c \) i relativistiske enheter. Vi finner da at n?r a1 har hastighet lik null er \(t_Y = t_\text{vendepunkt} = 202\text{yr} + \frac{0.99}{0.1/c} = 296\text{ yr}\) og \(t_{Y'} = t_Y - 0 = 296\text{ yr}\). Vi ser at i vendepunktet er a1 og P1 enige om hvor lang tid som har g?tt p? P1.
Vi plottet tiden som har g?tt p? P1 m?lt i a1 sitt system (a1) mot tiden som har g?tt p? P1 m?lt i P1 sitt system (p). Vi ser at n?r akselerasjonen begynner g?r tiden plutselig mye fortere p? P1 m?lt i a1-systemet.
M?lt i (a1) har det alts? g?tt 4 ?r p? P1 n?r a1 kommer til P2, og s? g?r det 292 ?r til f?r a1 stopper opp og snur. Reisen tilbake vil v?re helt symmetrisk med reisen fram. F?rst g?r det 292 ?r p? P1 mens a1 akselererer tilbake mot P2, og s? g?r det 4 ?r mens a1 reiser fra P2 til P1. I l?pet av akselerasjonen g?r det alts? 584 ?r p? P1 sett fra (a1), og totalt g?r 592 ?r p? P1.
M?lt i (p) bruker a1 202 fra P1 til P2, deretter 94 ?r til f?r a1 snur, enda 94 ?r for a1 ? komme tilbake til P2, og s? 202 ? fra P2 til P1. I l?pet av akselerasjonen g?r det alts? 188 ?r, og totalt g?r det 592 ?r p? P1.
I begge systemene tar hele reisen 592 ?r p? P1, s? beregningene er konsistente.
Hvor lang tid tar n? hele reisen for a1? Vi vet at det gikk totalt 57 ?r p? reisene mellom P1 og P2. Ved ? legge til tiden som gikk for a1 i l?pet av akselerasjonen finner vi den totale tiden reisen tok m?lt i (a1).
For enkelhets skyld regner vi ut tiden fra E til a1 kommer til P2. Siden akselerasjonen er konstant vil tiden f?r og etter E v?re lik. Vi setter \(T\) og \(T'\) til ? v?re tiden etter E m?lt i henholdsvis (p) og (a1). S? \(T_E = T_{E}' = 0\). Hastigheten til a1 blir da \(v = gT\), s? tidsdilatasjon gir \(\Delta T' = \frac{\Delta T}{\gamma} = \Delta T\cdot\sqrt{1-g^2T^2}\). Vi vet at n?r a1 kommer til P2 er \(v = v_0\), dermed er \(T = v_0/g\). Aldringen til a1 fra hendelse E til a1 kommer tilbake til P2 blir dermed
\(T' = \int\limits_0^{v_0/g}\sqrt{1-g^2T^2}\text{ d}T\)
N?r vi l?ser integralet og setter inn tall f?r vi at \(T' = 74.5\text{ yr}\). I (a1) tar alts? reisen fra P1 til P2 28.5 ?r, akselerasjonen tar 149 ?r og reisen fra P2 til P1 tar 28.5 ?r. Totalt eldes a1 alts? 206 ?r i l?pet av reisen.
Vi fant at tiden gikk mye saktere for a1 enn for P1 under akselerasjonen. Vi skal n? se om vi f?r de samme resultatene dersom akselerasjonen kommer fra et tyngdefelt, og ikke fra at romskipet snur.
Vi kaller avstanden fra posisjonen til E i planetsystemet for \(r\). Ved tid \(T = T' = 0\) befinner a1 seg i posisjon \(r = 0\), med hastighet \(v = 0\). a1 blir utsatt for en konstant akselerasjon \(g\), s? \(r(T) = \frac{1}{2}gT^2\), som gir \(T = \sqrt{\frac{2r}{g}}\). Da blir tiden m?lt av a1 \(\Delta T' =\sqrt{1-g^2T^2}\Delta T= \sqrt{1-2gr}\Delta T\).
N? setter vi inn uttrykket for akselerasjon i et tyngdefelt: \(g = \frac{GM}{r^2}\) og f?r \(\Delta T' = \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\Delta T\), som er identisk med uttrykket for tidsdilatasjon i et tyngdefelt fra generell relativitetsteori. Vi skal komme tilbake til dette og gj?re flere unders?kelser senere.