En gruppe forskere har klart ? produsere en stor mengde antimaterie, og skal kollidere den med en tilsvarende mengde materie for ? studere kollisjonen. Det gir oss muligheten til ? observere dopplereffekten ved relativistiske hastigheter. Vi har utplassert to observat?rer: en p? planetens overflate og en i et romskip som f?lger etter materieprosjektilet.
Vi kommer til ? bruke bevaring av momenergy, med da m? vi f?rst finne momenergy 4-vektoren til et foton. Da vi definerte momenergi ga vi \(P_\mu = mV_\mu\), der \(V_\mu\) er hastighets 4-vektoren. Problemet er at fotoner er massel?se, s? dette uttrykket blir bare null. Det betyr ikke at fotoner ikke har momenergy, det er bare uttrykket v?rt som ikke kan brukes. Fotoner har ogs? bevegelsesmengde, men den er definert p? en annen m?te. For ? finne hva bevegelsesmengden til et foton er begynner vi med ? skrive ut
\(P_\mu = (m\gamma, m\gamma \vec{v_{\,}}) = (E, \vec{P_{\,}})\), der \(E\) er tidsdelen og \(\vec{P_{\,}}\) er romdelen.
Herfra kan vi skrive \(P_\mu?P^\mu?= E^2 - P^2\). Vi setter det sammen med \(P_\mu?P^\mu?= m^2V_\mu V^\mu = m^2\) for ? f? \(E^2 - P^2 = m^2\). Notasjonen med hevet og senket skrift markerer at vi ganger sammen to 4-vektorer, s? vi f? minustegn foran romkomponenten.
For et massel?st foton blir det \(E = P\). Vi ser p? et foton som kun beveger seg i \(x\)-retning og har dermed \(P_\mu^\gamma = (E,E\hat{x_{}}) = (E,E,0,0)\).
Vi skal n? se p? fotonene som blir sendt ut av kollisjonen. Vi skal holde oss til planetsystemet i disse beregningene. I dette systemet har prosjektilene – vi kaller dem A og B – hastighet \(v\) og \(-v\). De m?tes rett over planeten og eksplosjonen st?r stille. Vi finner da b?lgelengden til lyset uten doppler-skift.
Vi antar f?rst at all energien fra eksplosjonen sendes ut i form at to fotoner \(\gamma_1\) og \(\gamma_2\). Vi skal se p? det faktiske tilfellet etterp?. Vi antar ogs? at de to fotonene sendes ut langs \(x\)-aksen i motsatte retninger. Siden vi har antatt at all energien er i disse to fotonene kan vi bruke bevaring av momenergy.
\(\begin{align} P_\mu^{\gamma_1} + P_\mu^{\gamma_2} &= P_\mu(A) + P_\mu(B) \\ (E_1,E_1\hat{x_{}}) + (E_2,E_2(-\hat{x_{}})) &=(m\gamma,m\gamma\vec{v_{}}) + (m_\gamma,m\gamma(-\vec{v_{}})) \\ (E_1,E_1,0,0) + (E_2,-E_2,0,0)&=(m\gamma,m\gamma v,0,0) + (m\gamma,-m\gamma v,0,0) \\ \begin{pmatrix}E_1+E_2\\E_1-E_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}2m\gamma\\0\end{pmatrix} \end{align}\)
Dette viser at de to fotonene m? ha samme energi sett fra planetsystemet.
F?r vi ser p? hva som skjer n?r det er flere fotoner skal vi generalisere det vi nettopp fant til en situasjon der fotonene sendes ut med en vinkel \(\theta\) med \(x\)-aksen. Vi kan definere koordinatsystemet v?rt slik at fotonene ikke beveger seg i \(z\)-retning. Da ender vi opp med
\(\begin{pmatrix} E_1 + E_2 \\ (E_1 - E_2)\cos\theta\\ (E_1 - E_2)\sin\theta\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2m\gamma\\0\\0 \end{pmatrix}\), som igjen viser at fotonene m? ha samme energi.
Vi kan n? se p? det faktiske tilfellet der mange fotoner sendes ut i alle retninger. Vi kan anta at alle de produserte fotonene har samme energi. Vi har sett at hvis to fotoner sendes ut i motsatt retning m? de ha samme energi for at momenergy skal v?re bevart. N?r vi vet at fotonene har samme energi betyr det at momenergy til to fotoner bare er bevart dersom de har motsatt retning. Med andre ord, for hvert foton som sendes ut under eksplosjonen sendes det ut et annet med samme energi i motsatt retning.
Vi kan n? finne b?lgelengden til lyset fra eksplosjonen i planetsystemet. Lysets b?lgelengde er direkte relatert til dets energi, som vi finner med \(E_\gamma= \frac{2m\gamma}{N_\gamma}\), der \(N_\gamma\) er antallet fotoner som blir produsert. Vi fant at fotonene har en b?lgelengde p? \(584\text{?nm}\), som tilsvarer gult lys. Dette stemmer med observasjonene vi gjorde fra planeten.
Vi skal n? se p? observat?ren i romskipsystemet. Her ser vi bare p? fotonene som beveger seg langs \(x\)-aksen, siden der er her effekten av bevegelsen er st?rst. Lorentztransformasjon gir at energien til et slikt foton er \(E' = E\gamma(1-v)\) hvis det beveger seg bort fra observat?ren, og \(E' = E\gamma(1+v)\) hvis det beveger seg mot observat?ren.
N? har vi det som trengs for ? finne den relativistiske dopplereffekten. Ved ? sette inn at \(\lambda\propto1/E\) finner man f?lgende uttrykk:
\(\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \sqrt{\frac{1+v}{1-v}}-1\)
Vi testet denne formelen ved ? regne ut b?lgelengden sett fra romskipsystemet. Vi fikk \(403\text{ nm}\), som er fiolett lys. Det stemmer med det vi ser.
Vi kan se at dette uttrykket er konsistent med det klassiske uttrykket for doppler-skift ved ? regne ut f?rste ordens Taylor approksimasjon rundt \(v = 0\). Dette gir \(\frac{\Delta\lambda}{\lambda}= v\), som vi konverterer tilbake ti SI-enheter for ? f? \(\frac{\Delta\lambda}{\lambda}= \frac{v}{c}\), som er det klassiske uttrykket.