Ett fritt n?ytron har gjennomsnittlig levetid p? 12 min f?r det henfaller til et proton, et elektron og en n?ytrino. Vi skal se bort fra n?ytrinoer og regne ut hastigheten til protonet og elektronet. For ? gj?re dette plasserer vi oss i n?ytronets referansesystem.
Her skal vi regne med 4-vektorer. En 4-vektor er en vektor der f?rste komponent er tid og de tre andre er rom. Man kan g? mellom 4-vektorer i forskjellige referansesystemer ved ? bruke Lorentztransformasjoner.
I relativistiske situasjoner er ikke energi og bevegelsesmengde bevart hver for seg. Det som er bevart er en kombinasjon av dem som kalles bevegelsesmengdeenergi, eller 'momenergy' fra engelsk, og akkurat som bevegelsesmengde og energi avhenger den av massen og hastigheten. Vi kjenner massen til alle partiklene, s? vi kan bruke konservering av momenergy til ? finne hastigheten til protonet og elektronet. Momenergy til elektronet i n?ytronsystemet finnes ved
\(P_\mu'(e) = m_eV'_\mu(e) = (m_e\gamma'_e, m_e\gamma_e'v_e') = \left( \frac{m_e}{\sqrt{1-(v_e')^2}}, \frac{m_ev_e'}{\sqrt{1-(v_e')^2}} \right)\), og tilsvarende for protonet. Merk at her er de tre romkomponentene i 4-vektoren samlet i ett uttrykk, grunnen til dette er at hastigheten ikke endrer retning, s? bevegelsen har bare én ikke-null romkomponent.
Siden n?ytronet per definisjon er i ro i n?ytronsystemet blir momenergy til n?ytronet
\(P_\mu'(n) = (m_n\gamma_n',0) = \left(\frac{m_n}{\sqrt{1-0^2}},0\right) = (m_n,0)\)
Ved ? l?se \(P_\mu'(n) = P_\mu'(p) + P_\mu'(e)\) f?r man at \(v_p' = \pm 1.26559987\cdot10^{-3}\) og \(v_e' = \mp\ 9.18561522\cdot10^{-1}\).
N?ytronet beveger seg med \(v_n = 0.99\) i laboratoriesystemet. Lorentztransformasjoner gir da hastighetene til protonet og elektronet i laboratoriesystemet: \(v_p =\pm 0.990025154\) og \(v_e =\mp\ 0.999573481\).
Man kan ogs? finne hastigheten til protonet og elektronet i laboratoriesystemet ved ? bruke den relativistiske formelen for hastighetsaddisjon: \(v_e = \frac{v_e'+v_n}{1+v_e'v_n}\), og tilsvarende for \(v_p\). Svarene man f?r er de samme.
N?r vi m?ler massen til partiklene ser vi at \(m_n \neq m_p + m_e\). Dette er fordi noe av massen blir omgjort til energi i l?pet av prosessen. Finnes det situasjoner der massen er bevart? Den generelle l?sningen av \(P_\mu'(n) = P_\mu'(p) + P_\mu'(e)\) er \(\gamma_p' = \frac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_pm_n}\), og dersom massen er bevart blir det \(\gamma_p' = \gamma_e' =1\) for alle verdier av masse og hastighet, og da blir \(v_e' = v_p' = 0\). Det betyr at b?de protonet og elektron ville v?rt p? akkurat samme sted som n?ytronet var, men to partikler kan ikke ha n?yaktig samme posisjon, s? massen kan umulig v?re bevart: det trengs energi for ? gi de nye partiklene forskjellige hastigheter.