I relativitetsteori kaller man et punkt i tid og rom for en hendelse, eller et 'event' fra engelsk. En hendelse har en posisjon og et tidspunkt i alle referansesystemer. Hvis man vet n?r og hvor en hendelse finner sted i et gitt referansesystem kan man bruke tidsdilatasjon og lengdekontraksjon til ? beregne hvor og n?r den finner sted i et hvilket som helst annet referansesystem, s? lenge begge referansesystemene har konstant hastighet.
Vi setter opp et eksperiment der to romskip flyr over planeten med konstant hastighet, og avstand 2d fra hverandre. Romskipene er begge utstyrt med n?yaktige synkroniserte klokker, og begge er programmert til ? skyte en laser mot det andre p? et forh?ndsbestemt tidspunkt, som er det samme for begge romskipene. Vi plasserer ett kamera (M) midt mellom romskipene – men ikke i veien for laserne – og ett (P) p? planetoverflaten.
Vi begynner med ? se situasjonen fra synspunktet til observat?r M, som befinner seg midt mellom de to romskipene. Vi kaller hendelsen "romskip 1 skyer ut en laser" for A, og hendelsen "romskip 2 skyter ut en laser" for B. Vi vet at i romskipsystemet skjer hendelse A og B samtidig. Tiden det tar fra A og B skjer til M observerer dem er tiden det tar for lyset ? g? fra A og B til M. Siden M er midt mellom A og B bruker lyset like lang tid fra A til M som fra B til M. Vi vet alts? at M ser A og B samtidig. S? langt holder intuisjonen.
N? skal vi forutse hva en observat?r P som befinner seg p? overflaten til planeten vil se. F?rst av alt vil P se at begge romskipene, s? vel som M, beveger seg med konstant hastighet i \(x\)-retning. N? begynner intuisjonen snart ? vakle. Lysets hastighet er alltid c, uansett hastigheten til det som sendte ut lyset. Det betyr at P ser at de to lysstr?lene g?r like fort, men M beveger seg med konstant hastighet. Hvis A og B skjer samtidig betyr det at M ser B f?r A. Siden vi har vist at M ser A og B samtidig er det bare én l?sning: A skjer f?r B i planetsystemet, s? lyset fra A har bedre tid og kan treffe M samtidig med lyset fra B.
S? ser vi p? eksplosjonene. I romskipsystemet skjer de samtidig, og M ser begge samtidig. Argumentasjonen vi brukte for ? vise at A skjer f?r B i planetsystemet gjelder ogs? n?. Det er ingen forskjell p? om lyset kommer fra en eksplosjon eller fra en laser, lyset oppf?rer seg likt. Vi kan ogs? se p? hvordan laserne ser ut for P. Vi vet at de krysser hverandre n?r de g?r forbi M. Siden 1 beveger seg mot laseren mens 2 beveger seg bort fra laseren, vil 1 bli truffet og eksplodere f?r 2. Legg merke til at selv om romskip 2 skj?t sist i planetsystemet er det romskip 1 som blir truffet f?rst.
Observat?r P vil alts? se f?lgende: Romskip 2 kommer til syne p? himmelen. Romskip 1 kommer like bak, og g?r like fort. Midt mellom romskipene er det en liten kule – M. Plutselig skyter Romskip 1 en laser mot romskip 2 (A) , s? skyter romskip 2 tilbake (B). Begge laserne g?r like fort og m?tes idet de g?r forbi M. S? flyr romskip 1 rett inn i laseren fra romskip 2 og eksploderer(C). Like etterp? blir romskip 2 truffet og eksploderer(D).
N?r vi ser p? filmen fra P er det akkurat dette vi ser. En ting er imidlertid interessant ? merke seg: N?r vi ser p? filmen f?lger ?rene v?re intuitivt romskipene, s? det ser ut som om laseren fra romskip 2 g?r mye fortere enn laseren fra romskip 1. Det er f?rst n?r man konsentrerer seg om ? holde ?ynene stille at vi faktisk ser situasjonen i planetens referansesystem.
Vi har sett at tiden g?r forskjellig i de to referansesystemene, n? skal vi pr?ve ? regne oss fram til et matematisk uttrykk for denne forskjellen.
Vi begynner med ? skrive ned posisjonene til M, romskip 1, romskip 2 og de to laserne:
\(x_M = tv + \frac{1}{2}L\quad \begin{cases}x_{r1} = vt\\x_{r2} = vt + L\end{cases}\quad \begin{cases}x_{l1} = t \\x_{l2} = vt_B + L - (t-t_B)\end{cases}?\)
Ved ? bruke disse uttrykkene, og kombinere med det vi vet om rekkef?lgen og posisjonen til de forskjellige hendelsene kan vi finne uttrykk for tiden fra de to laserne m?tes i M til lyset fra eksplosjonene m?tes i M i begge referansesystemer: Vi f?r \(\Delta t = \frac{L}{1-v^2}\) i planetsystemet og \(\Delta t' = L\) i romskipsystemet.
Vi ser n? p? forholdet mellom \(\Delta t'\) i romskipsystemet og \(\Delta t\) i planetsystemet:
\(\begin{equation} \frac{\Delta t'}{\Delta t} = \frac{L}{L/(1-v^2)} \Leftrightarrow \Delta t = \frac{\Delta t'}{1-v^2} \end{equation}\) (1)
Det faktiske uttrykket for tidsdilatasjon i spesiell relativitetsteori – ? det man f?r hvis man gj?r n?yaktige m?linger – er \(\Delta t = \gamma\Delta t' = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-v^2}}\). Vi ser at kvadratroten mangler. Hvorfor fikk vi feil uttrykk? Hvis vi ser tilbake p? (1) ser vi at vi har antatt at avstanden L er den samme i begge referansesystemer. Dette er ikke tilfelle: i virkeligheten har man b?de tidsdilatasjon og lengdekontraksjon. Dersom vi n? setter uttrykket for lengdekontraksjon, gitt ved \(L = (1/\gamma) L' = \sqrt{1-v^2}L'\), inn i (1) f?r vi
\(\begin{equation} \frac{\Delta t'}{\Delta t} = \frac{L'}{L/(1-v^2)} = \frac{L'}{L'(\sqrt{1-v^2})/(1-v^2)} = \frac{1-v^2}{\sqrt{1-v^2}} = \sqrt{1-v^2} \Leftrightarrow \Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1-v^2}} \end{equation}\)
Som er det riktige uttrykket. Her har vi imidlertid jukset litt siden vi har brukt spesiell relativitetsteori for ? komme fram til svaret.
Det er mulig ? komme frem til begge uttrykkene kun ved ? gj?re tankeeksperimenter – slik Einstein gjorde det – ved ? ogs? ta med hva observat?r M m?ler p? planeten, men det blir relativt komplisert. M?let her var ikke ? komme frem til uttrykket for lengdekontraksjon, men ? vise at det er n?dvendig for ? f? riktig svar.
Selv om hverken tid eller lengde er bevart mellom systemer, er den totale tidromsavstanden den samme. I spesiell relativitet er denne gitt ved
\(\Delta s^2 = \Delta t^2 - (\Delta x^2+\Delta y^2 + \Delta z^2)\)
Relasjonene for tidsdilatasjon og lengdekontraksjon kalles Lorentz-transformasjoner, og man sier at tidrommet har Lorentz-geometri.