Newtons tredje lov
Newtons tredje lov forteller oss at n?r den massive stjernen drar planetene rundt seg med gravitasjonskraften s? vil ogs? planetene dra litt p? stjernen. (Dette er feilen vi nevnte tidligere om Keplers 1. lov, Stjernen er nemlig ikke brennpunktet i en ellipse siden stjernen ogs? beveger seg litt!) Vi kan da bruke den samme formelen vi brukte tidligere for gravitasjon for planeten for ? finne kraften p? stjernen. Det inneb?rer at vi egentlig skal simulere summen av alle kreftene fra alle planetene samtidig, men dette kan gi en litt merkelig bevegelse til stjernen siden alle planetene drar i sin retning med forskjellige krefter og beveger seg med forskjellige hastigheter. I tillegg s? kan enkelte planeter som er langt unna og har liten masse gj?re nesten ingenting, og kanskje det er en spesiell planet som er s? stor og er s? n?rme at den alene vil utgj?re nesten all kraften p? stjernen. Vi velger derfor ? kun fokusere p? hvordan denne sterkeste planeten vil bevege p? stjernen.
Massesentrum
Vi begynner ? merke et lite dilemma her. Vi har tidligere bestemt at vi skal se alt fra fra stjernens referanse. Men hvis koordinatsystemet er bestemt slik at stjernen er i origo, hvordan skal vi da klare ? se hvordan stjernen beveger seg n?r koordinatsystemet alltid vil f?lge stjernens bevegelser? Hvorfor var vi egentlig interessert i ? ha stjernen som origo? Vi ville vel bruke stjernen som sentrum fordi vi tenkte at hele systemet bevegde seg rundt det, men fra gravitasjonsformelen begynner det ? bli mer trolig at det egentlig er massesenteret til systemet vi bare har tiln?rmet til ? v?re stjernen, siden stjernen har s? mye mer treghet enn noe annen planet. S? hvis vi g?r litt tilbake her og ser om vi kan klare ? lage et nytt koordinatsystem med massesentrum i origo, da m? vi klare ? f? litt oversikt p? hvordan stjernen v?r beveger seg!
(her er “CM”, eller Central Mass, betegnelse for massesentrum)
Dette her er slik vi tenker systemet kommer til ? bevege seg. Istedenfor at planeten g?r i en ellipse rundt massesentrum, alts? stjernen, g?r heller b?de stjernen og planeten i ellipser rundt et delt massesenter. Det betyr ogs? at gjennom hele banen m? stjernen og planeten v?re n?yaktig p? motsatt side av massesentrum. N? som vi har litt forst?else m? vi ogs? se om vi kan anvende dette, alts? om vi kan klare ? konvertere til det nye koordinatsystemet med massesentrum i origo matematisk.
Nytt referansesystem
Vi tror det kan bli vanskelig ? se p? Centermass(CM)-systemet uten ? se det i forhold til et annet system. Vi velger dermed ? finne vektorer i CM-systemet som er gitt av vektorer i et vilk?rlig koordinatsystem som ikke beveger seg med hensyn p? simuleringen. Vi kan starte med ? pr?ve ? formulere CM.
Der det er praktisk ? definere et massesentrum til et legeme der massetettheten ikke er den samme overalt, m? v?re det gjennomsnittlige punktet for massen. Alts? hvis vi har en massel?s stang med et lodd festet i hver ende, m? det gjennomsnittlige stedet for massen v?re et sted i midten, vektet mot den siden der loddet har mest masse. Vi kan uttrykke det som gjennomsnitt av de to massene i forhold til posisjonene:
\(\vec{r}_{CM} = \frac{\vec{r}_1 m_1 + \vec{r}_2 m_2}{m_1 + m_2}\)
der $\vec{r}_{CM}$ er posisjonsvektoren til CM, $\vec{r}_1, \vec{r}_2$ er posisjonsvektorene til hver av loddene med henholdsvise masser $m_1, m_2$.
Herfra kan vi lage posisjonsvektorene i referanse til hver av loddene med referanse for $CM$:
$\vec{r}^{CM}_{1} = \vec{r}_1 - \vec{r}_{CM}$
$\vec{r}^{CM}_{2} = \vec{r}_2 - \vec{r}_{CM}$
der $\vec{r}^{CM}_n$ er posisjonsvektoren til objekt $n$ i referansesystemet fra $CM$.
Da har vi det vi trenger for ? se hvordan stjernen beveger seg i forhold til massesenteret i stjernesystemet. Vi simulerer med et vilk?rlig koordinatsystem, f.eks. der origo er initialposisjonen til stjernen, ogs? samtidig regner vi ut alle posisjonsvektorene i CM-referanse for hvert tidssteg mens vi itererer simulasjonen.
Her ser vi hvordan stjernen blir p?virket av denne ene planeten i stjernesystemet. Her er banen til stjernen plottet der origo (egentlig brennpunktet til ellipsen, men denne banen er veldig n?rme en sirkel og har derfor brennpunkt i midten) er massesenteret til stjerne-planet systemet.
Logg inn for ? kommentere